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方程的根与函数的零点1_图文

2016/12/18

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问题1:方程x ? 1 ? 0的根与函数y ? x ? 1与x轴 的交点坐标有什么关系 ?

y

y ? x ?1
2
1
-1

0

1
-1 -2 -3

2

3

x

-4

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问题2:求出表中的一元二次 方程的根,并 画出相应的二次函数图 像的草图。并判断 函数图像与x轴是否有交点。若有, 请写出 交点坐标。

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方程 函数 函 数 的 图 像

2 x -2x+3=0 x -2x+1=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3

x2-2x-3=0
y
2 1

2

y

y

. . -1

.
-1

0

1

2

.

.
x
-1

2 1

. .

.
3 2 1
-1

5

.

4

3

-3
-4

-2

0

.

1

.

.
2

.
1

.
2

.

x

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

函数的图 (-1,0)、(3,0) 像与x轴交 点
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思考:二者之间有何联 系?
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问题3:上述结论推广至一般 的一元二次方 程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)与相应的二次函数
2

y ? ax ? bx ? c会有什么结论?
2

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一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二 次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的图像有如下关系:
判别式 ?=b2-4ac

?>0
y

??0
y

?<0
y

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根

x1

x2

x

x1=x2

x

x

有两个不等的 实数根x1,x2 (x1,0), (x2,0)

有两个相等实 数根x1=x2 (x1,0)

没有实数根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x轴 2016/12/18 的交点

没有交点
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问题4:将上述结论推广至一 般方程f ( x) ? 0 与相应的函数 y ? f ( x)又会有什么结论?
结 论

方程的实数根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。

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1、函数零点的定义
对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实 数x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。

2、结论
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
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问题5:方程的实数根即函数 的零点,如何根据 图像寻找零点呢?观察 函数y ? f ( x)?x ? R ?的图 像,说一说y ? f ( x)有几个零点?
y

0

x

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问题6:如果将定义域改为区间[a,b]观察图像 说一说零点个数的情况,有什么发现?
y

a ab b

a

0

b

x

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结 论

f (a) ? f (b) ? 0

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问题7:如果闭区间 [a, b]上函数y ? f ( x)端点函数值 f (a) ? f (b) ? 0是否一定有零点?
y

0

a

a

b

x

b

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结 论

函数 y ? f ( x) 的图像在闭区间[a,b]上连续不断。
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问题8:满足上述两个条件,能否确定零点 个数呢?
y y 0 a

0 a

b x

b

x

结 论
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有零点,至少有一个,但不确定个数,即存在零点。

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结 论

如果函数y ? f ( x)在区间 [a, b]上的图像是连续 不断的一条曲线,

并且有f (a) ? f (b) ? 0, 那么,函数y ? f ( x)在区 间(a, b)内有零点,

即存在c ? (a, b),使得f (c) ? 0, 这个c也就是方程 f ( x) ? 0的根。
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问题9:求函数f ( x) ? ln x ? 2x ? 6的零点个数。
表3--1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
14 12 10

解:用计算器或计算机作出 x、f ( x) 的对应值表(表3--1)和图像。

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6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x
14

-2
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-4

-6

问题10:为什么上个问题中只有一个零点呢? 说一说理由?
函数f ( x)在( 0, ? ?)是增函数,请证明它 。

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