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2014年全国初中数学竞赛预赛试题及答案

2014 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案
(竞赛时间:2014 年 3 月 2 日上午 9:00--11:00) 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 以下每小题均给出了代 号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选 项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1.若 是最大的负整数, 是绝对值最小的有理数, 是倒数等于它本身 的自然数,则
的值为【

】 (D)0

(A)2013 (B)2014 (C)2015 【答】D. 解:最大的负整数是-1,∴ =-1; 绝对值最小的有理数是 0,∴ =0; 倒数等于它本身的自然数是 1,∴ =1. ∴ =

=0.

2. 已知实数 【 】 (A) 【答】A. 解:两式相减得

满足

则代数式

的值是

(B)3

(C)

(D)7

3.如图,将表面展开图(图 1)还原为正方体,按图 2 所示摆放,那么,图 1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【 】 (A) (B) (C) (D)

【答】C. 解: 将图 1 中的平 面图折成正方体,MN 和线段 c 重合.不妨设 图 1 中完整的正方形 为完整面,△AMN 和 △ABM 所在的面为组 合 面 , 则 △AMN 和 △ABM 所在的面为两个相邻的组合面,比较图 2,首先确定 B 点,所以线段 d 与 AM 重合,MN 与线段 c 重合. 4. 已知二次函数 , 【 ( A ) 2 个 , 】 , , 的图象如图所示,则下列 7 个代数式 , ,

中,其值为正的式子的个数为

( B )3 个 (C)4 个 (D)4 个以上

【答】C.

解:由图象可得: 抛物线与





,∴


.当

, =1 时 ,

. ,即

轴有两个交点,∴ .
当 =

时,

,即

.从图象可

得,抛物线对称轴在直线 =1 的左边,即 ∴



.因此 7 个代数式中, 其值为正的式子的

个数为 4 个. 5. 如图,Rt△OAB 的顶点 O 与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,当 A 点在反比例函数 【 】 (x>0)的图象上移动时,B 点坐标满足的函数解析式为

(A)

(x<0)

(B)

(x<0)

(C ) 【答】B.

(x<0)

(D)

(x<0)

解: 如图, 分别过点

分别做 轴的垂线

, 那么







,故

.

6.如图,四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形,点 C、D 在边 AB 上,且 AC=DB=1,点 P 是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作 正方形 AMNP 和正方形 BRQP,E、F 分别为 MN、QR 的中点,连接 EF,设 EF 的中点为 G,则当点 P 从点 C 运动到点 D 时,点 G 移动的路径长为【 】 (A)1 (B)2 (C)3 (D)6

【答】B. 解:设 KH 中点为 S,连接 PE、ES、SF、PF、PS,可证明四边形 PESF 为平行四边形, ∴G 为 PS 的中点, 即 在 点 P 运 动 过 程 中 , G 始 终 为 PS 的 中 点 , 所 以 G 的 运 行 轨 迹 为 △ CSD 的 中 位 线 , ∵ CD = AB -AC -BD = 6 -1 -1= 4 , ∴ 点 G 移动的路径长为 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 7.已知 【答】 . ,化简 得 . =2.

解:∵ 原式=

,∴

, .



8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干 个,其中红色玻璃球有 6 个,黄色玻璃球有 9 个,已知从袋子中随机摸出一个蓝

色玻璃球的概率为

,那么,随机摸出一个为红色玻璃球的概率为

.

【答】



解:设口袋中蓝色玻璃球有 个,依题意,得

,即 =10,所

以 P(摸出一个红色玻璃球)=

.

9. 若 【答】8. 解:∵

,则

=

.

,∴

.



,即

.∴

10.如图,在 Rt△OAB 中,∠AOB=30° ,AB=2,将 Rt△OAB 绕 O 点顺时 针旋转 90° 得到 Rt△OCD,则 AB 扫过的面积为 .

【答】 . 解:∵Rt△OAB 中,∠AOB=30° ,AB=2, ∴AO=CO= ,BO=DO=4, =

∴阴影部分面积=

=

= .

11.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 E 是 AD 上一个动点, 把△BAE 沿 BE 向矩形内部折叠, 当点 A 的对应点 A1 恰落在∠BCD 的平分线上时, CA1= . 【答】 .

解:过 A1 作 A1M⊥BC,垂足为 M,设 CM=A1M=x,则 BM=4-x, 在 Rt△A1BM 中, ,



=

,∴x =A1M=

, .

∴在等腰 Rt△A1CM 中,C A1=

12.已知 a、b、c、d 是四个不同的整数,且满足 a+b+c+d =5,若 m 是关 于 x 的方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=2014 中大于 a、b、c、d 的一个 整数根,则 m 的值为 . 【答】20. 解:∵(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=2014,且 a、b、c、d 是四 个不同的整数,由于 m 是大于 a、b、c、d 的一个整数根,∴(m-a)、(m- b)、(m-c)、(m-d)是四个不同的正整数. ∵2014=1× 2× 19× 53, ∴(m-a)+(m-b)+(m-c)+(m-d)=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5,∴m =20. 三、解答题(第 13 题 14 分,第 14 题 16 分,第 15 题 18 分,共 48 分) 13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本 每本 5 元,大笔记本每本 7 元,钢笔每支 10 元,购买的大笔记本的数量是钢笔 数量的 2 倍,共花费 346 元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数 量各为多少? 解:设购买小笔记本 x 本,大笔记本 y 本,钢笔 z 支, 则有 4分 ∴ , ,即
≥0,即 0<z≤14



.

易知 0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34, … … … … … … … … … … … … … …

.

∵x,y,z 均为正整数, 分

∴z 只能取 14, 9 和 4. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8

①当 z 为 14 时,

=2,

=28.

.

②当 z 为 9 时,

=26,

=18.

.

③当 z 为 4 时,

=50,

=8.

.

综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本 50 本,大笔记本 8 本 , 钢 笔 4 支. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14 分 14.如图,在矩形 ABCD 中,AD=8,直线 DE 交直线 AB 于点 E,交直线 BC 于

F,AE=6.
(1) 若点 P 是边 AD 上的一个动点 (不与点 A、 D 重合) , 设 DP 为 x,四边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式; (2)若 AE=2EB.
①求圆心在直线 BC 上, 且与直线 DE、 AB 都相切的⊙O 的半径长; ②圆心在直线 BC 上,且与直线 DE 及矩形 ABCD 的某一边所在直

线都相切的圆共有多少个?(直接写出满足条件的圆的个数即可.)

14、解:(1)在 Rt

中,

………………………………… …… … … … … … … … 5 分 (2)① ∽ .

……………… ……… 7 分 若⊙ 则可设 与直线 DE、 AB 都相切, 且圆心 在 AB 的左侧, 过点 作 于 ,

.





……………… … 10 分 若⊙ ,则可设 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 在 AB 的右侧,过点 作 于

解得

























6.………………………………… …… … 13 分 ② 6

个.…………………………………………………… … ………………… … … … … … 16 分

15. 如图 1, 等腰梯形 OABC 的底边 OC 在 x 轴上, AB∥OC, O 为坐标原点, OA = AB =BC,∠AOC=60° ,连接 OB,点 P 为线段 OB 上一个动点,点 E 为边 OC 中点.

(1)连接 PA、PE,求证:PA=PE; (2)连接 PC,若 PC+PE= ,试求 AB 的最大值;

(3)在(2)在条件下,当 AB 取最大值时,如图 2,点 M 坐标为(0,-1), 点 D 为线段 OC 上一个动点,当 D 点从 O 点向 C 点移动时,直线 MD 与梯形另一 边交点为 N,设 D 点横坐标为 m,当△MNC 为钝角三角形时,求 m 的范围.

解:(1)证明:如图 1,连接 AE.

……………………………………… … … … … … … … 5 分

(2)∵PC+PE=

,∴PC+PA=

.

显然有 OB=AC≤PC+PA=

.… … … … … 7 分 ,

在 Rt△BOC 中,设 AB=OA=BC=x,则 OC=2x,OB= ∴


,∴ ≤2.

即 AB 的最大值为 2. … … … … … … … … … … 10 分 (3) 当 AB 取最大值时,AB=OA=BC=2,OC=4. 分三种情况讨论: ①当 N 点在 OA 上时,如图 2,若 CN⊥MN 时,此时线段 OA 上 N 点下方的点 (不包括 N、O)均满足△MNC 为钝角三角形. 过 N 作 NF⊥x 轴,垂足为 F, ∵A 点坐标为(1, ),∴ 可设 N 点坐标为( , ),则 DF=a-m,

NF=

, FC=4 - a.

∵△OMD∽△FND∽△FCN ,



.

解得, 分

,即当 0<

<

时,△MNC 为钝角三角形;… 14

②当 N 点在 AB 上时,不能满足△MNC 为钝角三角形;… … … … … … 15 分

③当 N 点在 BC 上时, 如图 3, 若 CN⊥MN 时, 此时 BC 上 N 点下方的点 (不 包括 N、C)均满足△MNC 为钝角三角形.

∴当

<

<4 时,△MNC 为钝角三角形.

综上所述,当 0<

<



<

<4 时,△MNC 为钝角三角形. … 1


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