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习题2-2解答


习题 2-2 解答
1. 计算: ⑴ ? ? 解: ? ?

? 1 6 4? ? ? 2 0 1? ? ? ??? ? ?; ? ? 4 2 8? ? 2 ? 3 4?

? 1 6 4? ? ? 2 0 1 ? ? ?1 6 5 ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?。 ? ? 4 2 8 ? ? 2 ? 3 4 ? ? ? 2 ? 1 12? ? 1 2? ? 2 ? 2? ? ? ??? ? ?。 ?0 1? ?0 3 ?

⑵ ? ? 解: ? ?

? 1 2? ? 2 ? 2? ? ?1 4 ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?。 ? 0 1? ? 0 3 ? ? 0 ? 2?

3 2 1? ?1 2 1 2? ? 4 ? ? ? ? 2. 设 A ? ? 2 1 2 1 ? , B ? ? ? 2 1 ? 2 1 ? ,计算: ? 0 ? 1 0 ? 1? ?1 2 3 4? ? ? ? ?
⑴ 3A ? B ;

3 2 1? ?1 2 1 2? ? 4 ? ? ? ? 解: 3 A ? B ? 3? 2 1 2 1 ? ? ? ? 2 1 ? 2 1 ? ? 1 2 3 4 ? ? 0 ? 1 0 ? 1? ? ? ? ?
3 2 1 ? ? ?1 3 1 5 ? ?3 6 3 6 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ?6 3 6 3 ? ? ?? 2 1 ? 2 1 ? ? ? 8 2 8 2 ? 。 ? 3 6 9 12? ? 0 ? 1 0 ? 1? ? 3 7 9 13? ? ? ? ? ? ?
⑵ 2 A ? 3B ;

3 2 1? ?1 2 1 2? ? 4 ? ? ? ? 解: 2 A ? 3B ? 2? 2 1 2 1 ? ? 3? ? 2 1 ? 2 1 ? ? 1 2 3 4 ? ? 0 ? 1 0 ? 1? ? ? ? ? 6 3 ? ? 14 13 8 7 ? ? 2 4 2 4 ? ? 12 9 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 4 2? ? ? ? 6 3 ? 6 3 ? ? ? ? 2 5 ? 2 5? 。 ? 2 4 6 8 ? ? 0 ? 3 0 ? 3? ? 2 1 6 5? ? ? ? ? ? ?
⑶ 若 X 满足 A ? X ? B ,求 X 。

3 2 1 ? ?1 2 1 2? ? 3 1 1 ?1? ? 4 ? ? ? ? ? ? 解: X ? B ? A ? ? ? 2 1 ? 2 1 ? ? ? 2 1 2 1 ? ? ? ? 4 0 ? 4 0 ? 。 ? 0 ? 1 0 ? 1? ? 1 2 3 4 ? ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ? ?
3. 计算:
《习题 2-2 解答》第 1 页 共 10 页

? 4 3 1 ?? 7 ? ? ?? ? ⑴ ? 1 ? 2 3 ?? 2 ? ; ? 5 7 0 ?? 1 ? ? ?? ? ? 4 3 1 ?? 7 ? ? 28 ? 6 ? 1? ? 35? ? ?? ? ? ? ? ? 解: ? 1 ? 2 3 ?? 2 ? ? ? 7 ? 4 ? 3 ? ? ? 6 ? 。 ? 5 7 0 ?? 1 ? ? 35 ? 14 ? ? 49? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 ?? ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ?? ? ⑵ ? 2 4 6 ?? ? 1 ? 2 ? 4 ? ; ? 3 6 9 ?? 1 2 4 ? ? ?? ? ? 4 ? 8 ? 12 ? ? 0 0 0 ? ? 1 2 3 ?? ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? ? ? ? ? ? ? 8 ? 16 ? 24 ? ? ? 0 0 0 ? 。 解: ? 2 4 6 ?? ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? 4 ? 8 ? 12 ? 3 6 9 ?? 1 ? ? ? ? 2 4 ? ? ?? ? ? ? 3 ? 6 ? 9 ? 6 ? 12 ? 18 ? 12 ? 24 ? 36? ? 0 0 0 ? ? 3? ? ? ⑶ ?1 2 3?? 2 ? ; ?1? ? ? ? 3? ? ? 解: ?1 2 3?? 2 ? ? ?3 ? 4 ? 3? ? ?10? 。 ?1? ? ? ? 3? ? ? ⑷ ? 2 ??1 2 3? ; ?1? ? ? ? 3? ? 3 6 9? ? ? ? ? 解: ? 2 ??1 2 3? ? ? 2 4 6 ? 。 ?1? ? 1 2 3? ? ? ? ? ?1 2 0 ? ? ? 1 2 3 ?? ⑸ ? ? ? 2 1 2? ?? 0 1 1 ? ; ? ?? 3 0 ? 1? ? ? ?1 2 0 ? ? ? 1? 9 2 ? 2 2 ? 3 ? ?10 4 ? 1? ? 1 2 3 ?? ? ? ? ? 0 1 1 ? 解: ? ? ? ? ? 2 1 2? ? ??? ? ?。 ? ?? 3 0 ? 1? ? ? 2 ? 6 ? 4 ? 1 1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? 1? ? ?


?x1

x2

? a11 ? x3 ?? a12 ?a ? 13

a12 a22 a23

a13 ?? x1 ? ?? ? a23 ?? x2 ? 。 ? ? a33 ? ?? x3 ?

《习题 2-2 解答》第 2 页

共 10 页

解: ? x1

x2

? a11 ? x3 ?? a12 ?a ? 13

a12 a22 a23

a13 ?? x1 ? ?? ? a23 ?? x2 ? ? ? a33 ? ?? x3 ?
a12 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? x1 ? ? ? a13 x1 ? a23 x2 ? a33 x3 ?? x2 ? ?x ? ? 3?

? ?a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3

2 2 ? a11 x12 ? a12 x2 ? a13 x3 ? 2a12 x1 x2 ? 2a13 x1 x3 ? 2a23 x2 x3 。

1? 2 3? ?1 1 ?1 ? ? ? ? T 5. 设 A ? ?1 1 ? 1? , B ? ? ? 1 ? 2 4 ? ,求 3 AB ? 2 A 及 A B 。 ?0 ?1 ? 1 1 ? 5 1? ? ? ? ?
2 3 ? ?1 1 1 ? ?1 1 1 ?? 1 ? ?? ? ? ? 解: 3 AB ? 2 A ? 3?1 1 ? 1?? ? 1 ? 2 4 ? ? 2?1 1 ? 1? ?1 ? 1 1 ?? 0 ? ? 5 1? ? ?? ? ?1 ? 1 1 ?

3 ?? 1 2 3? ? 2 2 2 ? ?3 3 ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ? 3 ?? ? 1 ? 2 4 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 3 ? 3 3 ?? 0 ? ? 5 1? ? ?? ? ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? 2 13 22 ? ? 0 15 24? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 15 18 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 17 20 ? 。 ? 6 27 0 ? ? 2 ? 2 2 ? ? 4 29 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
2 3? ? 0 5 8? ?1 1 1 ?? 1 ? ?? ? ? ? A B ? ?1 1 ? 1?? ? 1 ? 2 4 ? ? ? 0 ? 5 6 ? 。 ?1 ? 1 1 ?? 0 ? ? 5 1? ? ?? ? ? 2 9 0?
T

6. 设有线性变换 y ? Ax ,其中系数矩阵 A 分别取 ? ?

?1 0? ? 1 0 ? ?1? ? ? 、? 时,试求出向量 X ? ? ? ? ? ?1? ?在 ? 0 0 ? ? 0 ? 1? ? ?

相应变换下对应的新变量 y ,并指出该变换的几何意义。

? 1 0 ??1? ? 1 ? ?1? ? ? ? ? ,其几何意义是:在线性变换 y ? Ax 下,向量 y ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 0? ? 是平面 ? 0 0 ??1? ? 0 ? ? ? ? 1? x1Ox2 上的向量 x ? ? ? 1? ? 在 x1 轴上的投影,见下图。 ? ? x2 x
解:⑴ y ? Ax ? ? ?
2

1

(1,1)

? 1 0? y?? ? 0 0? ?x ? ?

1

(1,0)

O

1

x1

O

1

x1

《习题 2-2 解答》第 3 页

共 10 页

? 1 0 ??1? ? 1 ? ?1? ? ? ? ? ? ? 其几何意义是 : 在线性变换 下 , 向量 y ? Ax ? y ? ??1? ? ? 1? ? ? 1? ? 是平面 0 ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? ? x1Ox2 上的向量 x ? ? ? 1? ? 在 x1 轴上的反射,见下图。 ? ?
⑵ y ? Ax ? ? ?
x2
x2
(1,1)
?1 0 ? ? ? y?? ?x ? 0 ? 1?

1

O
?1

1

x1

O

1

x1

(1,?1)

7. 已知两个线性变换

? y3 ? y1 ? ?3 z1 ? z 2 ? x1 ? 2 y1 ? ? ? z3 , ? x2 ? ?2 y1 ? 3 y2 ? 2 y3 , ? y2 ? 2 z1 ?x ? 4 y ? ? y 2 ? 5 y3 ? y3 ? ? z 2 ? 3 z3 1 ? 3
求从 z1 , z2 , z3 到 x1 , x2 , x3 的线性变换。

? x1 ? ? 2 0 1 ?? y1 ? ? 2 0 1 ?? ? 3 1 0 ?? z1 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? 0 1 ?? z 2 ? 解: ? x2 ? ? ? ? 2 3 2 ?? y 2 ? ? ? ? 2 3 2 ?? 2 ? x ? ? 4 1 5 ?? y ? ? 4 1 5 ?? 0 ? 1 3 ?? z ? ? 3? ? ?? 3 ? ? ?? ?? 3 ? 1 3 ?? z1 ? ? x1 ? ?6 z1 ? z 2 ? 3 z3 ? ?6 ? ?? ? ? ? ? 12 ? 4 9 ?? z 2 ? ? ? x2 ? 12z1 ? 4 z 2 ? 9 z3 。 ? ? 10 ? 1 16?? z ? ? x ? ?10z ? z ? 16z ? ?? 3 ? ? 3 1 2 3
8. 某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表: 国家 数量 货物 美国 3000 1400 德国 1500 1300 日本 2000 800 单位价格 (万元) 0.5 0.4 单位重量 (吨) 0.04 0.06 单位体积 (m ) 0.2 0.4
3

A1
A2

利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物的总价值、总重量、总体积。

? 3000 1400? ? 2060 204 1160? ? ?? 0.5 0.04 0.2 ? ? ? 解: ? 1500 1300?? ? 0.4 0.06 0.4 ? ? ? ? 1270 138 720 ? , ? ? 1320 128 720 ? ? 2000 800 ?? ? ? ? ?
总价值: 2060 ? 1270 ? 1320 ? 4650 (万元) ; 总重量: 204 ? 138 ? 128 ? 470 (吨) ; 总体积: 1160 ? 720 ? 720 ? 2600 ( m ) 。
3

9. 某商店一周内售出商品甲、乙、丙的数量及单位如下表:
《习题 2-2 解答》第 4 页 共 10 页

日销售量 商品 日 甲 乙 丙 11 12 10 一 9 7 6 二 3 5 4 三 0 8 5 四 10 11 6 五 7 9 10 六 2 0 3 4 3 2 单价(元)

试用矩阵计算和表示每天的销售额。 解:每天的销售额为:

? 11 9 3 0 10 7 2 ? ? ? ?4 3 2??12 7 5 8 11 9 0 ? ? ?100 69 35 34 85 75 14? 。 ?10 6 4 5 6 10 3 ? 日 一 二 三 四 五 六 ? ?
10. 解下列矩阵方程,求出未知矩阵 X 。 ⑴ ? ?

? 2 5? ? 4 ? 6? ? X ?? ? ?2 1 ? ?; ? 1 3? ? ?
? x11 x12 ? ? 2 5 ?? x11 ? ,则有: ? ? ? 1 3? ?? ? x22 ? ? ?? x21

解:设 X ? ? ?x ? 21 即: ? ?

x12 ? ? 4 ? 6 ? ??? ? ? ?, x22 ? ? ?2 1 ?

? 2 x11 ? 5 x21 ? x11 ? 3x21

2 x12 ? 5 x22 ? ? 4 ? 6 ? ??? ? ? ?, x12 ? 3x22 ? ? ?2 1 ?

即: ?

?2 x11 ? 5 x21 ? 4 ?2 x12 ? 5 x22 ? ?6 ,? , ? x11 ? 3 x21 ? 2 ? x12 ? 3 x22 ? 1

解得: x11 ? 2 , x12 ? ?23 , x21 ? 0 , x22 ? 8 ,所以: X ? ? ?0 ?

? 2 ? 23? ?。 8 ? ?

? 1 1 ? 1? ? 2? ? ? ? ? ⑵ ? ? 2 1 1 ?X ? ? 3? 。 ? 1 1 1? ?6? ? ? ? ?
? x1 ? ? 1 1 ? 1?? x1 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? 解:设 X ? ? x2 ? ,则有: ? ? 2 1 1 ?? x2 ? ? ? 3 ? , ? 1 1 1 ?? x ? ? 6 ? ?x ? ? ?? 3 ? ? ? ? 3?

? x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 即: ? ? 2 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? 3 ? ,即: ?? 2 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , ? x ? x ? x ? ?6? ?x ? x ? x ? 6 2 3 ? ? 1 ? ? 2 3 ? 1

《习题 2-2 解答》第 5 页

共 10 页

?1? ? ? 解得: x1 ? 1 , x2 ? 3 , x3 ? 2 ,所以: X ? ? 3 ? 。 ? 2? ? ?
11. 设 A ? ? ?

? 1 1? ? ? ,求所有与 A 可交换的矩阵。 ? 0 1?
? x11 x12 ? ? ,则 x22 ? ?

解:设与 A 可交换的矩阵为: X ? ? ?x ? 21

? x11 ? ?x ? 21
即: ? ?

x12 ?? 1 1? ? 1 1?? x11 ?? ? ? ? ??? ? ?? ? x22 ? ?? 0 1? ? 0 1?? x21 ? x11 ? x21 x11 ? x12 ? ? x11 ? x21 ??? ? x21 ? x22 ? ? ? x21

x12 ? ?, x22 ? ? x12 ? x22 ? ?, x22 ? ?

? x11 ? x11 ? x21 ?x ? x ? 21 21 即: ? ,得: x11 ? x22 ? a , x12 ? b , x21 ? 0 , x ? x ? x ? x 11 12 12 22 ? ? ? x21 ? x22 ? x22
所以与 A 可交换的矩阵为: ? ?

12. 已知 A ? aij 为 n 阶矩阵,写出: ⑴ A 的第 k 行第 l 列的元素;
2

? ?

?a b? ? ? , a ,b? R 。 0 a ? ?

? a11 ? ? a21 解:由 A ? ? ? ? ?a ? n1
2

? a11 ? ? a1n ? ? ?? a22 ? a2 n ? 2 ,则 A ? ? ak1 ? ? ? ?? ? ?? an 2 ? ann ? ? ?a ? n1
a12

? a1n ? ?? a11 ? ? ? ?? ?a ak 2 ? akn ?? 21 ? ? ? ? ? ?? ?a ? an 2 ? ann ?? n1 a12

? a1n ? ? a22 ? a2 n ? , ? ? ?? ? an 2 ? ann ? ? a12

易见 A 的第 k 行第 l 列的元素为:

ak1a1l ? ak 2 a2l ? ? ? aknanl ? ? akj a jl 。
j ?1

n

⑵ AA 的第 k 行第 l 列的元素。

T

? a11 ? ? a21 解:由 A ? ? ? ? ?a ? n1
T

? a11 ? ? a1n ? ? ?? a22 ? a2 n ? T ,则 AA ? ? ak 1 ? ? ? ? ? ? ?? an 2 ? ann ? ? ?a ? n1
a12

a12 ? ak 2 ? an 2

? a1n ? ?? a11 ? ? ?? ?a ? akn ?? 12 ? ? ? ? ?? ?a ? 1n ? ann ? ?

? al1 ? an1 ? ? ? al 2 ? a n 2 ? , ? ? ? ?? ? ? aln ? ann ? ?

易见 AA 的第 k 行第 l 列的元素为:
《习题 2-2 解答》第 6 页 共 10 页

ak1al1 ? ak 2 al 2 ? ? ? akn aln ? ? akj alj 。
j ?1

n

13. 计算下列矩阵(其中 n 为正整数)

?1 1? ⑴ ? ?0 0? ? ; ? ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 解:∵ ? ?0 0? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?,? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?, ? ? ? 0 0 ?? 0 0 ? ? 0 0 ? ? 0 0 ? ? 0 0 ?? 0 0 ? ? 0 0 ? ?1 1? ?1 1? ? ∴ 由此推测: ? ? 0 0? ? ?? ? ?, ? ? ? 0 0?
利用数学归纳法证明:当 k ? 2 时显然成立,设当 k ? n ? 1 时成立,则当 k ? n 时,有:
n n ?1 n 2 3 2

n

? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 1 ? ? ? ? ?0 0? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 0 0 ?? 0 0 ?
n

? 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ?? ?0 0? ?? ? ??? ? ?, ? ?? 0 0 ? ? 0 0 ?

?1 1? ?1 1? ? ∴ 由数学归纳法知, ? ? 0 0? ? ?? ? ?。 ? ? ? 0 0? ?1 ⑵ ? ?? ? ?1 解:∵ ? ?? ? 0? ? ; 1? ? 0? ? 1 ? ?? ? 1? ? ??
2 n

0 ?? 1 0 ? ? 1 ?? ? ? ??? ? 1? ?? ? 1 ? ? 2?
n

0 ? ? 1 0 ? ? 1 0 ?? 1 0 ? ? 1 0 ? ?,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?, 1? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ?? 2? 1 ? ? 3? 1 ?

3

? 1 0? ? 1 0? ? ∴ 由此推测: ? ?? 1? ? ?? ? ?, ? ? ? n? 1 ?
利用数学归纳法证明:当 k ? 2 时显然成立,设当 k ? n ? 1 时成立,则当 k ? n 时,有:
n

0? ? 1 0? ? 1 0 ? ? 1 0 ?? 1 ? ? ?? 1? ? ?? ?? 1? ?? ? (n ? 1)? 1 ? ??? ? ?, ? ? ? ?? ? ? n? 1 ? ? 1 0? ? 1 0? ? ∴ 由数学归纳法知, ? ?? 1? ? ?? ? ?。 ? ? ? n? 1 ?
n

? a 0 0? ? ? ⑶ ? 0 b 0? ; ?0 0 c? ? ?
2 ? a 0 0 ? ? a 0 0 ?? a 0 0 ? ? a ? ? ? ? ?? ? 解:∵ ? 0 b 0 ? ? ? 0 b 0 ?? 0 b 0 ? ? ? 0 ? 0 0 c ? ? 0 0 c ?? 0 0 c ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? 2

n

0 b2 0

0? ? 0 ?, c2 ? ?

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共 10 页

2 ? a 0 0 ? ? a 0 0 ?? a ? ? ? ?? ? 0 b 0 ? ? ? 0 b 0 ?? 0 ? 0 0 c ? ? 0 0 c ?? 0 ? ? ? ?? n ? a 0 0? ? a ? ? ? ∴ 由此推测: ? 0 b 0 ? ? ? 0 ?0 0 c? ? 0 ? ? ? n

3

0 b2 0 0 bn 0

0 ? ? a3 ? ? 0 ??? 0 ? c2 ? ? ?0 0? ? 0 ?, cn ? ?

0 b3 0

0? ? 0 ?, c3 ? ?

利用数学归纳法证明:当 k ? 2 时显然成立,设当 k ? n ? 1 时成立,则当 k ? n 时,有:
n ?1 0 0 ? ? an ? a 0 0 ? ? a 0 0 ?? a ? ? ? ? ? ? ? n ?1 0 ??? 0 ? 0 b 0 ? ? ? 0 b 0 ?? 0 b ? ? 0 0 c ? ? 0 0 c ?? 0 0 c n ?1 ? ? ? ? ?? ? ?0 n ? a 0 0? ? a ? ? ? ∴ 由数学归纳法知, ? 0 b 0 ? ? ? 0 ?0 0 c? ? 0 ? ? ? n n

0 bn 0

0? ? 0 ?, cn ? ?

0 bn 0

0? ? 0 ?。 cn ? ?

?? 1 0 ? ? ? ⑷ ?0 ? 1? 。 ?0 0 ?? ? ?
2 ? ? 1 0 ? ? ? 1 0 ?? ? 1 0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 解:∵ ? 0 ? 1 ? ? ? 0 ? 1 ?? 0 ? 1 ? ? ? 0 ? 0 0 ? ? ? 0 0 ? ?? 0 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 1 0 ? ? ? 1 0 ?? ? ? ? ? ?? ? 0 ? 1 ? ? ? 0 ? 1 ?? 0 ? 0 0 ? ? ? 0 0 ? ?? 0 ? ? ? ?? 3 2

n

2?

?

2

0

1? ? 2? ? , ?2 ? ? 3?2

2?

?

2

0

1 ? ? ?3 ? ? 2? ? ? ? 0 ? ?2 ? ? ?0

?

3

0

3? ? ? 3?2 ? , ?3 ? ?

? n n ?? 1 0 ? ?? ? ? ? ∴ 由此推测: ? 0 ? 1 ? ? ? 0 ?0 0 ?? ? 0 ? ? ? ?

n?n ?1

?n
0

n(n ? 1) n ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? 2) n?n ?1 ?, n ? ? ? ? n(n ? 1) n ? 2 ? ? ? 2 ? n?n ?1 ? n ? ? ? ?

利用数学归纳法证明:当 k ? 2 时显然成立,设当 k ? n 时成立,则当 k ? n ? 1 时,有:

?? 1 0 ? ? ? ?0 ? 1? ?0 0 ?? ? ?

n ?1

? n ? ? 1 0 ?? ? ? ?? ? ? 0 ? 1 ?? 0 ? 0 0 ? ?? 0 ? ?? ?

n?n ?1

?n
0

《习题 2-2 解答》第 8 页

共 10 页

? n ?1 (n ? 1)?n ?? ? ?? 0 ?n ?1 ? 0 0 ? ? ? n n ?? 1 0 ? ?? ? ? ? ∴ 由数学归纳法知, ? 0 ? 1 ? ? ? 0 ?0 0 ?? ? 0 ? ? ? ?
? 1 1? ? 2 3?
T

n(n ? 1) n ?1 ? ? ? 2 ? (n ? 1)?n ? , ? ?n ?1 ? ? n(n ? 1) n ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? 2) 。 n?n ?1 ?, n ? ? ? ?
T
n

n?n ?1

?n
0

14. 已知 ? ? (1,2,3) , ? ? ?1, , ? ,设矩阵 A ? ? T ? ,其中 ? 是 ? 的转置,求 A ( n 为正整 数) 。 解:∵ A2 ?

?? ? ??? ? ? ? ? ??? ?? ? 3?
T T T
n n ?1

T

? ? 3A , A3 ? A2 ? A ? 32 A ,

∴ 由此推测: A ? 3

A ,而

?1? ? ?? 1 A ? ? ? ? ? 2 ??1 ? 3 ?? 2 ? ?
T

? 1 1/ 2 1/ 3 ? ? 1 1/ 2 1/ 3 ? ? ? ? 1? ? n n ?1 ? ? ? 2 1 2 / 3 ? ,∴ A ? 3 ? 2 1 2 / 3 ? 。 3? ? ? ?3 3/ 2 1 ? ?3 3/ 2 1 ? ? ?
T

15. 设 A , B 都是 n 阶对称矩阵,证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB ? BA 。 证:充分性: AB ? BA ? AB ? BT AT ? AB ? ? AB? ,∴ AB 是对称矩阵。 必要性: ? AB? ? AB ? BT AT ? AB ? BA ? AB 。
T

16. 证明:对任意 m ? n 矩阵 A , A A 及 AA 都是对称矩阵。
T T

证一:由转置矩阵的性质,有:

?A A?
T

T

? AT AT

? ?
a12 a22 ? am 2

T

? AT A , AAT
T T

?

? ? ?A ?
T

T T

AT ? AAT ,

根据对称矩阵的定义, A A 及 AA 都是对称矩阵。

? a11 ? ? a21 证二:设 A ? ? ? ? ?a ? m1

? a1n ? ? ? a2 n ? , ? ?? ? ? amn ? ?
T

由转置矩阵的性质, A A 的第 i 行 j 列处的元素为
m

?a
k ?1

m

ki kj

a ,第 j 行 i 列处的元素为
n

? akj aki ,从而 AT A 为对称矩阵。 AAT 的第 i 行 j 列处的元素为 ? aik a jk ,第 j 行
k ?1 k ?1

i 列处的元素为 ? a jk aik ,从而 AAT 为对称矩阵。
k ?1

n

《习题 2-2 解答》第 9 页

共 10 页

17. 设矩阵 A 为三阶矩阵,且已知 A ? m ,求 ? mA 。

? a11 ? 解一:设 A ? ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? ? m a11 ? ? a23 ? ,则 ? m A ? ? ? m a21 ?? ma a33 ? 31 ? ? ? m a12 ? m a22 ? m a32 ? m a13

? m a12 ? m a22 ? m a32

? m a13 ? ? ? m a23 ? , ? m a33 ? ?

? m a11
∴ ? m A ? ? m a21

? m a31

? m a23 ? ?m 3 A ? ?m 4 。 ? m a33

解二: ? mA ? (?m)3 A ? (?m)3 m ? ?m4 。

《习题 2-2 解答》第 10 页

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