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2.4.1平面向量数量积


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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
1、知识与技能: (1)掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; (2)理解平面向量的数量积与向量投影的关系; (3)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个 向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 一、情景导入、引出新课 提出问题 1: 请同学们回顾一下, 我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么 ? 新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数 量积的物理背景及其含义 二、合作探究,精讲点拨 探究一:数量积的概念 1.提出问题 2 : (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S,那么力 F 所做的功:W= (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ③S(位移)是 量, ②F(力)是 量, . α S F

? 的范围
a · b 的符号

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

(5)探究题组一 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的 夹角是 60°时,分别求 a · b .

探究二:研究数量积的几何意义 1. “投影”的概念:作图

C

量, ④α 是

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 2、明晰数量积的定义 (1)数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 ? , 我们把数量 ︱ a ︱· b ︱cos ? 叫做 a 与 ︱ 角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 2.提出问题 4:数量积的几何意义是什么? 探究三:探究数量积的运算性质 1、数量积的性质:若a和b均为非零向量 (1)a⊥b ? a·b=0 (垂直) (2)a与b同向时,a·b =︱a︱·︱b︱,a与b 反向 时,a·b =-︱a︱·︱b ︱ 特别地:a·a=︱a︱ = a ? a (长度)
2

投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直

b 的数量积(或内积) ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 。
(2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定” :零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 3:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素 有哪些? (4)学生讨论,并完成下表:

(3)cosθ =

a ?b (夹角) a?b

平面向量的数量积

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(4)︱a·b︱ ≤︱a︱·︱b︱(注意等号成立的条件) 2、探究题组二(师生共同完成)已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°, 求( a +2 b )( a -3 b ) · ,并思考此运算过程类似于实数哪种运算?

3.下列命题中,真命题的个数有

(1) 若a ? 0, 则对任意向量b 有a ? b ? 0

?

?

?

? ?

(2) 若a ? 0, 则对任一个非零向量b ,有a ? b ? 0 (3) 若a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) 若a ? b ? 0, 则a , b 中至少有一个为0 ? ? ? ? ? ? , (5) 若a? 0 a?b=a?c,则b=c ? ? ? ? ? ? (6) 若a ? b ? a ? c , 则b ? c , 当且仅当a ? 0时成立 ?
4.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a B.|a· b|=|a|· |b| ) D.|a· b|≤|a|· |b| ) C.λ (a·b)=λa· b

变式: (1)( a + b ) =

2

(2)( a + b )·( a - b )=

5.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120°,则 b 在 a 方向上的投影为( A.2 探究四、数量积的运算律: (1)交换律: (2)对数乘的结合律: (3)分配律: 注意:数量积不满足结合律和消去律,即: (1) (2) ? ? ? ? ? ? ? ? 探究题组 3:已知 a ? 3, b ? 4, a与b 不共线, k为何值时,向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直? 3 B. 2 C.-2 3 D.- 2

AC 6.(2010·湖南)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则 AB · =(
A.-16 B.-8 C.8 D.16

??? ?

????

)

7. 已知 a ? 3, b ? 4, a与b 的夹角? ? 150 0 , 求a ? b , a ? b , a ? b

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

2

?

?

三、思悟小结: 知识线: (1)平面向量的数量积; (2)平面向量的数量积的几何意义; (3)平面向量数量积的重要性质及运算律; (4)平面向量的数量积与向量投影的关系. 思想方法线: (1)公式或定义法; (2)数形结合、分类讨论等思想方法。 四、针对训练 巩固提高: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.下列各式: (1) ??a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? ? b (2) a ? b ? a ? b

? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b ? c ? a ? c ? b ? c

?

?

? ?

? ?

(4) a ? b ? c ? a ? b ? c

? ??
?

? ?

? ?
P106.1.2.3 P108.1.2.3

正确的个数为 2. (2010· 江西)已知向量 a,b 满足|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则 b 在 a 上的投影是
平面向量的数量积

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