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解析几何高考题汇编含答案


圆锥曲线
一、选择题 1、 (2009 全国卷Ⅱ文)双曲线

x2 y2 ? = 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 相切,则 r= 6 3

2、 (2009 浙江文)已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上, a2 b2
uuu r uuu r

且 BF ⊥ x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP = 2 PB ,则椭圆的离心率是 3、 2009 江西卷文) F1 和 F2 为双曲线 ( 设

x2 y2 ? = 1 ( a > 0, b > 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P (0, 2b) a2 b2

是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 4、(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 = ax ( a ≠ 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若 △OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 5、 (2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y = k ( x + 2)( k > 0) 与抛物线 C: y 2 = 8 x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若 FA = 2 FB ,则 k=

x2 y 2 x2 y 2 ? = 1 的准线过椭圆 + 2 = 1 的焦点, 若直线 y = kx + 2 与 6、 (2009 湖北卷理)已知双曲线 2 2 4 b
椭圆至多有一个交点,则 k 的取值范围为 7、 (2009 湖南卷文)过双曲线 C:

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的一个焦点作圆 x 2 + y 2 = a 2 的两条 a2 b2
o

切线,切点分别为 A,B,若 ∠AOB = 120 (O 是坐标原点) ,则双曲线线 C 的离心率为 8、 (2009 北京理)点 P 在直线 l : y = x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 2 于 A, B 两点, 且 | PA =| AB | ,则称点 P 为“ A.直线 l 上的所有点都是“ B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“ 点” ,那么下列结论中正确的是 点” 点” 点” 点”

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

二、解答题 9.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上一点 2

到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 + y 2 + 2kx ? 4 y ? 21 = 0 ( k ∈ R ) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

10.(2009 江苏卷) (本题满分 10 分) ,其焦点 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M ( m, 0)( m > 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。

1、 【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐近线的距离等于 r,可求 r= 3 2、 【解析】对于椭圆,因为 AP = 2 PB ,则 OA = 2OF ,∴ a = 2c,∴ e =

uuu r

uuu r

1 2

3、 【解析】由 tan

π
6

=

c 3 c 2 2 2 2 = 有 3c = 4b = 4(c ? a ) ,则 e = = 2 , 2b 3 a

4、 【解析】 抛物线 y 2 = ax ( a ≠ 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y = 2( x ? ) ,它与 y 轴 的 交 点 为 A (0, ? ) , 所 以 △ OAF 的 面 积 为

a 4

a 4

a 2

1 a a | | ? | |= 4 , 解 得 a = ±8 . 所 以 抛 物 线 方 程 为 2 4 2

y2 = ± 8x ,
5、 【解析】本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0) ,由

FA = 2 FB 及第二定义知 x A + 2 = 2( xB + 2) 联立方程用根与系数关系可求 k=
2 【法 2】设抛物线 C : y = 8 x 的准线为 l : x = ?2 直线 】

2 2 . 3

y = k ( x + 2 )( k > 0 ) 恒过定点 P ( ?2,0 ) .如图过 A、B
分 别作 AM ⊥ l 于 M , BN ⊥ l 于 N , 由 | FA |= 2 | FB | , 则 | AM |= 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |=

1 | AF | , 2

∴| OB |=| BF | 点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为

(1, 2 2) ∴ k =

2 2 ?0 2 2 = 1 ? (?2) 3
a2 2 = ± = ±1 b 2
x2 y2 + =1 4 3

6、 【解析】易得准线方程是 x = ±

所以 c 2 = a 2 ? b 2 = 4 ? b 2 = 1 即 b 2 = 3 所以方程是

联立 y = kx + 2 可得 3x 2 +(4k 2 +16k)x + 4 = 0 由 ? ≤ 0 可解得 K ∈ ? ?
o o o

? 1 1? , ? 2 2? ? c = 2. a

7、 解析】Q ∠AOB = 120 ? ∠AOF = 60 ? ∠AFO = 30 ? c = 2a , ∴ e = 【 】

8、 解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问 【解析】 题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A ( m, n ) , P ( x, x ? 1) ,则 B ( 2m ? x, 2n ? x ? 2 ) ,

∵ A, B在y = x 上 ,
2

∴?

n = m2 2 ?2n ? x + 1 = (2m ? x) ?
2 2

消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ? 1) x + 2m ? 1 = 0
2 2 2 ∵ ? = (4m ? 1) ? 4(2m ? 1) = 8m ? 8m + 5 > 0 恒成立,

(1)

∴方程(1)恒有实数解,

x2 y2 9 解(1)设椭圆 G 的方程为: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )半焦距为 c; a b

? 2a = 12 ? 则?c 3 , 解得 ? = 2 ?a

? a=6 x2 y2 ? 2 2 2 , ∴ b = a ? c = 36 ? 27 = 9 所求椭圆 G 的方程为: + =1. ? 36 9 ?c = 3 3 ?
(2 )点 AK 的坐标为 ( ? K , 2 ) (3)若 k ≥ 0 ,由 若 k < 0 ,由

1 1 SV AK F1F2 = × F1 F2 × 2 = × 6 3 × 2 = 6 3 2 2

6 2 + 0 2 + 12κ ? 0 ? 21 = 15 + 12κ f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

(?6) 2 + 0 2 ? 12κ ? 0 ? 21 = 15 ? 12κ f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

∴ 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.、
10、


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