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最新人教版高中数学选修1.3.3函数的最大(小)值与导数 (2)ppt课件


1.3.3 函数的最值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大,哪个值最小。 观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象, 你能找出它的极大值点,极小值点吗? y ab c 极大值点 d o e f 极小值点 g h b d f x g c e, 你能说出函数的最大值点和最小值点吗? 最大值点 :a , 最小值点:d 图1 y ? f ( x) y 函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b). a o b x 单调函数的最大值和最小值容易被找到。 图2 y y ? f ( x) a x1 x2 o x3 x4 x5 b x 函数y=f (x)在区间[a,b]上 最大值是f (x3), 最小值是f (x4). 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么 它必有最大值和最小值。 怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值 和最小值? 只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。 例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值,最小值。 x f ?( x) (-∞,-2) + 单调递增↗ f(x) -2 0 28 (-2,2) 单调递减↘ y 2 0 -4 (2,+∞) + 单调递增↗ f ( x) ? x3 ? 12x ? 12 -2 o 2 x 例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值,最小值。 解:由上节课的例1知,在[0,3]上, 当x=2时, f(x)=x3-12x+12有极小值, 并且极小值为f (2)=-4. 又由于f (0)=12,f (3)=3, 因此,函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值为12,最小值为-4。 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即端点的函数值) 作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 [-2,2]上的最大值与最小值。 x)36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 解: f ?(= 令 f ?( x ) 解得x1=-2 , x2=1.5 =0, 因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23 所以函数的最大值为57,最小值为-28.75 练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 [-1,1]上的最值。 x )x2-6x+6=3(x2-2x+2) 解: f ?(=3 因为 f ?(在 x) [-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数, 故当x=-1时,f(x)取得最小值-12; 当x=1时,f(x)取得最大值2。 例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值。 解: (1) 令 f ?( =x -) 3x2+6x+9 f ?( x ) 解得x<-1或x>3 <0, 函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞) f (

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