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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第6章 第5讲_图文

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第5讲 合情推理与演绎推理

第六章 第5讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第六章 第5讲

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1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的 推理,了解合情推理在数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并 能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

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1条重要主线 要联系具体实例,体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎 推理的原理、内涵及特点,并会用这些方法分析、解决具体问 题.

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2点必记注意 1. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想 的结论都要经过进一步严格证明. 2. 演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理 数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.

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3项必须防范 1. 类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷 惑,否则会犯机械类比的错误. 2. 归纳推理所得的结论不一定可靠,但它是由特殊到一 般,由具体到抽象的认知过程,是发现一般规律的重要方法. 3. 应用三段论时,应当首先明确什么是大前提和小前提, 如果前提是显然的,有时可以省略.

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1.合情推理

归纳推理

类比推理

定义 特点 一般步骤

由某类事物的部分对象具有某些特 征,推出该类事物的________都具有 这些特征的推理,或者由个别事实概 括出________的推理
由________到________、由________ 到________的推理
(1)通过观察个别情况发现某些相同性 质;(2)从已知的相同性质中推出一个 明确的一般性命题(猜想)

由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象 的________,推出另一 类对象也具有这些特征 的推理
由________到________ 的推理
(1)找出两类事物之间的 相似性或一致性;(2)用 一类事物的性质去推测 另一类事物的性质,得 出一个明确的命题(猜想)

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归纳推理的结论一定正确吗?

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判断下列推理是否正确 ① 把 a(b + c) 与 loga(x + y) 类 比 , 则 有 loga(x + y) = lgax + lgay( ) ②把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sinx+siny( ) ③把a(b+c)与ax+y类比,则有ax+y=ax+ay.( ) ④ 把 a(b + c) 与 a·(b + c) 类 比 , 则 有 a·(b + c) = a·b + a·c.( )

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2.演绎推理 (1)定义:从________出发,推出________下的结论,我们 把这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由________的推理. (3)模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式:

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“三段论” 的结构
“三段论” 的表示

①大前提——已知的________; ②小前提——所研究的特殊情 况;③结论——根据一般原理, 对________做出的判断.
①大前提——________.②小前提—— ________.③结论——S是P.

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演绎推理所获得的结论一定可靠吗?

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判断下列推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是 两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班级人数超过 50 人

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C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 D.在数列{an}中,a1=1,an=12(an-1+an1-1)(n≥2,n∈ N*),由此归纳出{an}的通项公式

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1. 全部对象 一般结论 已知特征 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊
想一想:提示:不一定,结论是否真实,还需要经过严格 的逻辑证明和实践检验,例如由an=(n2-5n+5)2得a1=a2=a3 =a4=1,由此猜想an=1是错误的,事实上a5=25,….
判一判:①× ②× ③× ④√ 2.一般性的原理 某个特殊情况 一般到特殊 条件 特殊问题 M是P S是M

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想一想:提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是 正确的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的 结论.
选一选:A

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核心要点研究

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例 1 [2012·陕西高考]观察下列不等式 1+212<32, 1+212+312<53, 1+212+312+412<74, …… 照此规律,第.五.个.不等式为________.

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[审题视点] 本小题主要考查了归纳与推理的能力,解题 时关键是对给出的几个事例分析,找出规律,推出所要的结 果.

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[解析] 从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的 左边为:1+212+312+412+512+612,对几个不等式右边分析, 其分母依次为:2,3,4,所以第 5 个式子的分母应为 6,而其 分子依次为:3,5,7,所以第 5 个式子的分子应为 11,所以第 5 个式子应为:1+212+312+412+512+612<161.
[答案] 1+212+312+412+512+612<161

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奇思妙想:根据已知所给式子,我们可以猜想:1+212+ 312+…+201132<________.

解:分母应为 2013,分子为 3,5,7,…,构成等差数列, ∴第 2012 个式子的分子应为 a2012=3+2011·2=4025,∴可 猜想 1+212+312+…+201132<42002153.

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(1)对于一些与正整数n有关的问题,经常利用归纳推理、 归纳猜想得出结论.
(2)归纳推理的一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.

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[变式探究] [2012·湖北高考]回文数是指从左到右读与从 右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回 文 数 有 9 个 : 11,22,33 , … , 99.3 位 回 文 数 有 90 个 : 101,111,121,…,191,202,…,999.则
(1)4位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个. 答案:(1)90 (2)9×10n

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解析:由题意,1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位 回 文 数 有 90 = 9×10 个 , 4 位 回 文 数 有 1001,1111,1221 , … , 1991,2002,…,9999,共90个,故归纳猜想2n+2位回文数与 2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个.

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例 2 [2013·西安模拟]若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列{Snn}为等差数列,公差为d2.类似,若各 项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项的积为 Tn,

则等比数列{n Tn}的公比为( )

q A.2

B.q2

C. q

D.n q

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[解析] 由题设有,Tn=b1·b2·b3·…·bn=b1·b1q·b1q2·…·b1qn -1=b1nq1+2+…+(n-1)=bn1q?n-21?n,
∴n Tn=b1qn-2 1,∴等比数列{n Tn}的公比为 q,故选 C.
[答案] C

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(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其命题有其特点和求 解规律,可以从以下几个方面考虑类比:类比定义、类比性 质、类比方法、类比结构.
(2)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个 明确的命题(猜想).

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[变式探究] 在平面几何中,研究正三角形内任一点与 三边的关系时,我们有真命题:边长为 a 的正三角形内任一 点到各边的距离之和是定值 23a.类比上述命题,请你写出关 于正四面体内任一点与四个面的关系的一个真命题,并给出 简要的证明.

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解:类比所得的真命题是:棱长为 a 的正四面体内任一

点到四个面的距离之和是定值

6 3 a.

证明:设 M 是正四面体 P—ABC 内任一点,M 到面 ABC,

面 PAB,面 PAC,面 PBC 的距离分别为 d1,d2,d3,d4.

由于正四面体四个面的面积相等,故有:

VP—ABC=VM—ABC+VM—PAB+VM—PAC+VM—PBC

第六章 第5讲

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=13·S△ABC·(d1+d2+d3+d4). 而 S△ABC= 43a2,VP—ABC=122a3. 故 d1+d2+d3+d4= 36a(定值).

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例 3 [2013·山东调研]数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已 知 a1=1,an+1=n+n 2Sn(n∈N+).证明:
(1)数列{Snn}是等比数列; (2)Sn+1=4an.

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[审题视点] 在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明 题常常要由几个三段论才能完成.大前提通常省略不写,或者 写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省略,而采取某种 简明的推理模式.

第六章 第5讲

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[证明] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+n 2Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴nS+n+11=2·Snn,(小前提) 故{Snn}是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了)

第六章 第5讲

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(2)由(1)可知nS+n+11=4·nS-n-11(n≥2),

∴Sn+1=4(n+1)·nS-n-11=4·n-n-1+1 2·Sn-1

=4an(n≥2),(小前提) 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条

件)

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演绎推理还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推 理,或结论在确定性上同前提一样的推理.应用演绎推理的过 程中一定要注意大小前提都正确,此前提下得到的结论才正 确.

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[变式探究] 已知函数 f(x)=ax+bx,其中 a>0,b>0,x ∈(0,+∞),试确定 f(x)的单调区间,并证明在每个单调区 间上的增减性.

解:解法一:设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(xa1+bx1)-(xa2+ bx2)=(x2-x1)·(x1ax2-b).

第六章 第5讲

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当 0<x1<x2≤ ab时,x2-x1>0,0<x1x2<ab,x1ax2>b, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0, ab]上是减函数; 当 x2>x1≥ ab时,x2-x1>0,x1x2>ab,x1ax2<b, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[ ab,+∞)上是增函数.

第六章 第5讲

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解法二:∵a>0,b>0,x∈(0,+∞),

∴令 f′(x)=-xa2+b=0,得 x= ab,

当 0<x≤ ab时,-xa2+b≤0,即 f′(x)≤0,

∴f(x)在(0, ab]上是减函数;当 x≥ 即 f′(x)≥0.

ab时,-xa2+b≥0,

∴f(x)在[ ab,+∞)上是增函数.

第六章 第5讲

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【选题·热考秀】 [2012·湖北高考]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常 在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角 形数:

第六章 第5讲

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将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三 角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测:
(1)b2012是数列{an}中的第________项; (2)b2k-1=________.(用k表示)

第六章 第5讲

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[规范解答] 由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,…的一 个通项公式为 an=n?n+ 2 1?,写出其若干项来寻找规律:
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,120,即 b1=a4,b2=a5,b3=a9, b4=a10,b5=a14,b6=a15.

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由上述规律可猜想:b2k=a5k=5k?5k2+1?(k 为正整数), b2k-1=a5k-1=?5k-1??52k-1+1?=5k?5k2-1?,故 b2012=a2×1006 =a5×1006=a5030,即 b2012 是数列{an}中的第 5030 项.

[答案]

(1)5030

5k?5k-1? (2) 2

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析 (1)对于给定的三角形数,不能归纳其规律,更无法寻找能 被5整除的若干项的规律. (2)不能发现新数列{bn}的奇数项和偶数项的规律,不知道 用分类讨论的方法来处理数列的通项公式.

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No.2 角度关键词:备考建议 在解决合情推理的有关问题时,要注意发现两类对象的类 似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律. (1)归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规 律性,然后进行归纳、猜想; (2)类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征,再进行对 比、归纳.

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经典演练提能

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1.[2013· 郑 州 模 拟 ] 已 知 △ ABC 中 , ∠ A = 30° , ∠ B =

60°,求证:a<b.

证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B.

∴a<b,其中,画线部分是演绎推理的( )

A.大前提

B.小前提

C.结论

D.三段论

答案:B

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2.[2012·江西高考]观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数

解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,

|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的

不同整数解(x,y)的个数为( )

A.76

B.80

C.86

D.92

答案:B

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解析:个数按顺序构成首项为4,公差为4的等差数列,因 此|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为4+4(20-1)=80,故 选B.

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3.[2012·江西高考]观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,

a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )

A.28

B.76

C.123

D.199

答案:C

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解析:由于a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7, a5+b5=11,…,通过观察发现,从第三项起,等式右边的常 数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此,a6+b6=11+7 =18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47 +29=76,a10+b10=76+47=123,故选C.

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4.[教材习题改编]给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)= sinαsinβ; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+ 2a·b+b2.

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其中结论正确的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

答案:B

解析:只有③正确.

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5.[2011·江西高考]观察下列各式:55=3125,56=15625,57

=78125,…,则52011的末四位数字为( )

A.3125

B.5625

C.0625

D.8125

答案:D

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解析:5n(n≥5 且 n∈Z)的后两位数字一定为 25,区别 在于通过对其后三四位数的观察,55、56、57 的后三四位数 31、56、81 为等差数列,公差为 25,由此推{5n}的后两位前 的数是以 25 为公差的等差数列.由公式 d=ann--mam得2a0-11-315 =25(其中 a 为 52011 的后两位前的数),
∴a=50181.故选 D.

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