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中山市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题及答案扫描版_图文

中山市高一级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试 数学科试卷参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.2 12. 2 2 13. ? 3 14. y ? 8x ? 24

三、解答题(本大题共 5 小题,共 80 分) 15.解: (I)0; ………………………………………………………………(6 分)

(Ⅱ) f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ?

3 2

3 2

1 2

1 2

1 3 ?1 ? . 2 2

……………………(12 分)

16.解: (I由平行知斜率相等,得 m ? 6 ; ……………………………………(3 分) 再由平行线的距离公式求得 d ? 3 ………………………………………………(7 分)

(Ⅱ)由垂直,得 n ? ?2 ;…………………………………………………………(10 分) 交点为(-1,0) ………………………………………………………………(14 分)

17.(I)证明:由题知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, 所以 BC⊥平面 AC C1A1,又 DC1 ? 平 面 AC C1A1,所以 DC1⊥BC.
o

………………………………………………………(3 分)
o

由题知∠A1 DC1=∠A DC=45 ,所以∠CDC1=90 ,即 DC1⊥DC,

…………………(5 分)

又 DC∩BC=C , 所 以 DC1⊥ 平 面 BDC , 又 DC1 ? 平 面 BDC1 , 故 平 面 BDC1⊥ 平 面 BDC. ……………………………………………………………………………………(7 分)

(Ⅱ)解:设棱锥 B—DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1 = ?

1 1? 2 1 ? 1? 1 ? 3 2 2

…………………………(10 分)

又三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V=1,所以(V-V1):V1=1:1, 故平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为 1:1. 18.解. (I)y=5x +
2

…………………………(13 分)

5 2 15 2 (100—x) = x -500x+25000 (10≤x≤90) ; ………(6 分) 2 2 50000 ? 100 ? ?x? ? + 3 . 3 ? ?
2

(Ⅱ)由 y=

15 2 15 x -500x+25000= 2 2

……………………(10 分)

则当 x=

100 米时,y 最小. 3

…………………………………………(12 分)

100 米时,才能使供电费用最小. …………………………(13 分) 3 2 19.解: (I) a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数的定义域为 R . ……………………(1 分) 2 ?1 2 2 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x ) ? (1 ? x ) …………………………………………(2 分) 2 ?1 2 ?1
故当核电站建在距 A 城 =2?

2?2 x 2 ? x ?x x (2 ? 1)?2 2 ?1
2(2 x ? 1) 2x ? 1
……………………………………………………………(5 分) ………………………………………………(6 分)

=2? =0

∴ a ? 1 时,函数 f ( x) 为奇函数. (Ⅱ)设 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 = , …………(8 分) ) ? ( a ? ) 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x2 , ?2x1 ? 2x2 ? 0, (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ……………………………(10 分)
所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数. (Ⅲ) a ? 3 时, ………………………(11 分)

? 2 x ? 1 ? 1 ,? 0 ?

2 ? 2, 2 ?1
x

??2 ? ?

2 2 ? 0 ,?1 ? 3 ? x ?3. 2 ?1 2 ?1
x

∴ a ? 3 时,函数 f ( x) 的值域为 (1,3) . ………………………………………(14 分) 20. 解: (I)∵ f ( x) ? log 1 ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , 即 log 1
2

1 ? kx 为奇函数 x ? 1 2

………………………………………………………………(1 分) ………………………………………(2 分)

1 ? kx 1 ? kx x ?1 ? ? log 1 ? log 1 ? x ?1 2 x ?1 2 1 ? kx

∴ ∴

1 ? kx x ?1 ? ,即 1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2 ,整理得 k 2 ? 1 . ………………………(3 分) ? x ? 1 1 ? kx
k ? ?1 ( k ? 1 使 f ( x) 无意义而舍去)
…………………………………(4 分)

(Ⅱ) f ( x) ? log 1

1? x . x ? 1 2

1? a 1? a 1? b f (a) ? f (b) ? log 1 ? log 1 ? log 1 a ? 1 1? b a ? 1 b ? 1 2 2 2 b ?1

……………………………………(5 分)

? log 1
2

(1 ? a)(b ? 1) ab ? a ? b ? 1 ? log 1 ………………………………………(6 分) (a ? 1)(1 ? b) 2 ab ? a ? b ? 1

当 a ? b ? 1 时, ab ? a ? b ? 1 ? ab ? a ? b ? 1 ? 0 , ……………………………………(7 分) 所以 0 ?
ab ? a ? b ? 1 ab ? a ? b ? 1 ? log 1 1 ? 0 , ………………………(8 分) ? 1 ,从而 log 1 ab ? a ? b ? 1 2 ab ? a ? b ? 1 2

即 f (a) ? f (b) ? 0 . 所以 f (a ) ? f (b) . ………………………………………………(9 分)

(Ⅲ)由(2)知, f ( x ) 在 (1, ??) 递增, …………………………………………(10 分)
x 所以 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m 在 ?3, 4? 递增.

1 2

…………………………………(11 分)

∵ g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点, ∴ g (3) ? log 1

1?1 1 3 9 ?( ) ?m ? ? ?m ? 0 2 8 2 3 ?1

…………………………………(12 分)

或 g (4) ? log 1

1? 4 1 4 5 1 ? ( ) ? m ? log 1 ? ? m ? 0 , 2 16 2 4 ?1 2 3

……………………(13 分)

∴ m?

9 1 5 ? log 1 . 或m ? 8 16 2 3

……………………………………………(14 分)


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