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江苏省徐州市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(精品解析含答案)

2015-2016 学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 2 1.抛物线 y =12x 的焦点坐标是 . 2.命题“?x∈R,x2≤0”的否定为 . 3.底面边长为 2,高为 3 的正三棱锥的体积为 . 4.已知椭圆 + =1 的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 是椭圆上一点,则△ PF1F2 的周长为 . .

5.已知正方体的体积为 64,则与该正方体各面均相同的球的表面积为 6.已知函数 f(x)=xsinx,则 f′(π)= . 7.双曲线 ﹣ =1 的焦点到渐近线的距离为 .

8.“m< ”是“方程

+

=1 表示在 y 轴上的椭圆”的

条件. (填写“充分不必要”、“必要

不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一) 9.若直线 4x﹣3y=0 与圆 x2+y2﹣2x+ay+1=0 相切,则实数 a 的值为 10.若函数 f(x)=ex﹣ax 在(1,+∞)上单调增,则实数 a 的最大值为 11.已知 F 为椭圆 C: +

. .

=1(a>b>0)的右焦点,A、B 分别为椭圆 C 的左、上顶点,若 BF 的垂直

平分线恰好过点 A,则椭圆 C 的离心率为 . 12.若直线 l 与曲线 y=x3 相切于点 P,且与直线 y=3x+2 平行,则点 P 的坐标为 . 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆(x﹣m﹣1)2+(y﹣2m)2=4 上有且只有两个点到原点 O 的距离为 3, 则实数 m 的取值范围为 . 14.已知函数 f(x)=a(x﹣1)2﹣lnx,g(x)= ,若对任意的 x0∈(0,e],总存在两个不同的 x1,x2∈ .

(0,e],使得 f(x1)=f(x2)=g(x0) .则实数 a 的取值范围为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.已知 p:4x2+12x﹣7≤0,q:a﹣3≤x≤a+3. (1)当 a=0 时,若 p 真 q 假,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥平面 MDB; (2)PD⊥BC.

1

17.已知直线 l 与圆 C:x2+y2+2x﹣4y+a=0 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M(0,1) . (1)若圆 C 的半径为 ,求实数 a 的值; (2)若弦 AB 的长为 4,求实数 a 的值; (3)求直线 l 的方程及实数 a 的取值范围. 18.如图,ABCD 是长方形硬纸片,AB=80cm,AD=50cm,在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形,再把 它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸箱,设切去的小正方形的白边长为 x(cm) . 2 (1)若要求纸箱的侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若要求纸箱的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?

19.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,连接椭圆 C 的四个顶点所

形成的四边形面积为 4 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图,过椭圆 C 的下顶点 A 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 C 于点 M,N,设直线 AM 的斜率为 k,直线 l:y= x 分别与直线 AM,AN 交于点 P,Q,记△ AMN,△ APQ 的面积分别为 S1,S2,是否

存在直线 l,使得

=

?若存在,求出所有直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

20.已知函数 f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R) . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极大值; (2)若对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤2x 成立,求 a 的取值范围;
2

(3)设 h(x)=f(x)+ax,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1>x2,证明: 成立.





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2015-2016 学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.抛物线 y2=12x 的焦点坐标是 (3,0) . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】确定抛物线的焦点位置,进而可确定抛物线的焦点坐标. 【解答】解:抛物线 y2=12x 的焦点在 x 轴上,且 p=6, ∴ =3, ∴抛物线 y2=12x 的焦点坐标为(3,0) . 故答案为: (3,0) . 2.命题“?x∈R,x2≤0”的否定为 ?x∈R,x2>0 . 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“?x∈R,x2≤0”的否定为:?x∈R,x2>0. 故答案为:?x∈R,x2>0. 3.底面边长为 2,高为 3 的正三棱锥的体积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】求出正三棱锥的底面面积,然后求解体积. 【解答】解:底面边长为 2,高为 3 的正三棱锥的体积为: 故答案为: . = . .

4.已知椭圆

+

=1 的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 是椭圆上一点,则△ PF1F2 的周长为 18 .

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意知 a=5,b=3,c=4,从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8. 【解答】解:由题意作图如右图, ∵椭圆的标准方程为 + =1,

∴a=5,b=3,c=4, ∴|PF1|+|PF2|=2a=10, |F1F2|=2c=8, ∴△PF1F2 的周长为 10+8=18; 故答案为:18.

4

5.已知正方体的体积为 64,则与该正方体各面均相同的球的表面积为 16π . 【考点】球内接多面体;球的体积和表面积. 【分析】由已知求出正方体的棱长为 4,所以正方体的内切球的半径为 2,由球的表面积公式得到所求. 【解答】解:因为正方体的体积为 64,所以棱长为 4, 所以正方体的内切球的半径为 2,所以该正方体的内切球的表面积为 4π?22=16π. 故答案为:16π. 6.已知函数 f(x)=xsinx,则 f′(π)= ﹣π . 【考点】导数的运算. 【分析】直接求出函数的导数即可. 【解答】解:函数 f(x)=xsinx,则 f′(x)=sinx+xcosx, f′(π)=sinπ+πcosπ=﹣π. 故答案为:﹣π.

7.双曲线



=1 的焦点到渐近线的距离为 2 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的焦点坐标,渐近线方程,利用距离公式求解即可. 【解答】解:双曲线 ﹣ =1 的一个焦点( ,0) ,一条渐近线方程为:y= ,

双曲线



=1 的焦点到渐近线的距离为:

=2.

故答案为:2.

5

8.“m< ”是“方程

+

=1 表示在 y 轴上的椭圆”的 必要不充分 条件. (填写“充分不必要”、“必

要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据椭圆的定义,求出 m 的范围,结合集合的包含关系判断充分必要性即可. 【解答】解:若“方程 + =1 表示在 y 轴上的椭圆”,



,解得:1<m< ,

故“m< ”是“方程

+

=1 表示在 y 轴上的椭圆”的必要不充分条件,

故答案为:必要不充分. 9.若直线 4x﹣3y=0 与圆 x2+y2﹣2x+ay+1=0 相切,则实数 a 的值为 ﹣1 或 4 . 【考点】圆的切线方程. 【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标和圆的半径,然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的 距离等于圆的半径,列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣1)2+(y+ )2= 所以圆心坐标为(1,﹣ ) ,半径 r=| |, ,

由已知直线与圆相切,得到圆心到直线的距离 d= 解得 a=﹣1 或 4. 故答案为:﹣1 或 4.

=r=| |,

10.若函数 f(x)=ex﹣ax 在(1,+∞)上单调增,则实数 a 的最大值为 e . 【考点】变化的快慢与变化率. 【分析】根据导数和函数单调性的关系,再分离参数,求出最值即可. 【解答】解:f′(x)=ex﹣a ∵函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增?函数 f′(x)=ex﹣a≥0 在区间(1,+∞)上恒成立, ∴a≤[ex]min 在区间(1,+∞)上成立. 而 ex>e, ∴a≤e. 故答案为:e.

11.已知 F 为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点,A、B 分别为椭圆 C 的左、上顶点,若 BF 的垂直

平分线恰好过点 A,则椭圆 C 的离心率为
6



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段 BF 的垂直平分线的方程,进而得出. 【解答】解:由已知可得:A(﹣a,0) ,B(0,b) ,F(c,0) , 线段 BF 的中点 M ,kBF= ,可得线段 BF 的垂直平分线的斜率为 . ,

∴线段 BF 的垂直平分线的方程为:y﹣ = ∵BF 的垂直平分线恰好过点 A, ∴0﹣ = 化为:2e2+2e﹣1=0, 解得 e= 故答案为: . . ,

12.若直线 l 与曲线 y=x3 相切于点 P,且与直线 y=3x+2 平行,则点 P 的坐标为 (1,1) , (﹣1,﹣1) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 利用直线平行斜率相等求出切线的斜率, 再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率, 列出方程解得即可. 【解答】解:设切点 P(m,m3) , 3 2 由 y=x 的导数为 y′=3x , 可得切线的斜率为 k=3m2, 由切线与直线 y=3x+2 平行, 可得 3m2=3,解得 m=±1, 可得 P(1,1) , (﹣1,﹣1) . 故答案为: (1,1) , (﹣1,﹣1) . 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆(x﹣m﹣1)2+(y﹣2m)2=4 上有且只有两个点到原点 O 的距离为 3, 则实数 m 的取值范围为 (﹣ ,﹣ )∪(0,2) .

【考点】圆的标准方程. 【分析】由已知得圆 C: (x﹣m﹣1)2+(y﹣2m)2=4 与圆 O:x2+y2=9 恰有两个交点,由此能求出实数 m 的 取值范围. 【解答】解:圆(x﹣m﹣1)2+(y﹣2m)2=4 上有且只有两个点到原点 O 的距离为 3, ∴圆 C: (x﹣m﹣1)2+(y﹣2m)2=4 与圆 O:x2+y2=9 恰有两个交点, 圆 C 的圆心 C(m+1,2m) ,半径 r1=2, 圆 O 的圆心 O(0,0) ,半径 r2=3, 圆心距离|OC|= ∴3﹣2< 解得﹣ <3+2, <m<﹣ 或 0<m<2. ,﹣ )∪(0,2) . = ,

∴实数 m 的取值范围为(﹣
7

故答案为: (﹣

,﹣ )∪(0,2) .

14.已知函数 f(x)=a(x﹣1)2﹣lnx,g(x)=

,若对任意的 x0∈(0,e],总存在两个不同的 x1,x2∈ .

(0,e],使得 f(x1)=f(x2)=g(x0) .则实数 a 的取值范围为 a≥

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数与方程的综合运用. 【分析】求导数,确定函数的单调性,即可求函数 f(x)的值域;g(x)∈(0,e],分类讨论,研究 f(x) 的单调性,即可求 a 的取值范围. 【解答】解:g′(x)= ,令 =0,解得 x=1,

∵ex>0,∴x∈(0,1)时,g′(x)>0;x∈(1,e]时,g′(x)<0,g(x)在(0,1]上单调递增,在(1, e]单调单调递减,根据极大值的定义知:g(x)极大值是 g(1)=1,又 g(0)=0,g(e)= 的值域是(0,1]. 函数 f(x)=a(x﹣1)2﹣lnx,x>0,f′(x)=2ax﹣2a﹣ = 令 h(x)=2ax2﹣2ax﹣1,h(x)恒过(0,﹣1) , 当 a=0 时,f′(x)<0,f(x)是减函数,不满足题意. h(x)=0,可得 2ax2﹣2ax﹣1=0,△ =4a2+8a,△ >0 解得 a<﹣2 或 a>0. 当﹣2<a<0 时,h(x)的对称轴为:x= ,h(x)<0 恒成立,f′(x)<0,f(x)是减函数,不满足题意. , ,所以 g(x)

当 a<﹣2 时,x∈(0,

) ,h(x)<0 恒成立,f′(x)<0,f(x)是减函数,

x∈

,f′(x)>0,f(x)是增函数,x∈

,f′(x)<0,f(x)

是减函数, 若对任意的 x0∈(0,e],总存在两个不同的 x1,x2∈(0,e],使得 f(x1)=f(x2)=g(x0) .

可知 f(x)极大值≥1,f(x)极小值≤0.可得





∵f(x)=a(x﹣1)2﹣lnx,

,不等式不成立.

当 a>0 时,x∈(0,
8

) ,h(x)<0 恒成立,f′(x)<0,f(x)是减函数,

x∈

,f′(x)>0,f(x)是增函数,因为 x=1 时,f(1)=0,只需 f(e)≥1.

可得:a(e﹣1)2﹣1≥1, 解得 a≥ .

综上:实数 a 的取值范围为:a≥



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.已知 p:4x2+12x﹣7≤0,q:a﹣3≤x≤a+3. (1)当 a=0 时,若 p 真 q 假,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 【分析】 (1)将 a=0 代入 q,求出 x 的范围即可; (2)根据集合的包含关系得到关于 a 的不等式组,解出即 可. 【解答】解:由 4x2+12x﹣7≤0,解得:﹣ ≤x≤ ,q:a﹣3≤x≤a+3. (1)当 a=0 时,q:﹣3≤x≤3, 若 p 真 q 假,则﹣ ≤x<﹣3; (2)若 p 是 q 的充分条件,





解得:﹣ ≤x≤﹣ , (“=”不同时取到) .

16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥平面 MDB; (2)PD⊥BC.

9

【考点】直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连接 AC,交 BD 与点 O,连接 OM,先证明出 MO∥PA,进而根据线面平行的判定定理证明出 PA∥平面 MDB. (2)先证明出 BC⊥平面 PCD,进而根据线面垂直的性质证明出 BC⊥PD. 【解答】证明: (1)连接 AC,交 BD 与点 O,连接 OM, ∵M 为 PC 的中点,O 为 AC 的中点, ∴MO∥PA, ∵MO?平面 MDB,PA?平面 MDB, ∴PA∥平面 MDB. (2)∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD,BC?平面 ABCD,BC⊥CD, ∴BC⊥平面 PCD, ∵PD?平面 PCD, ∴BC⊥PD.

17.已知直线 l 与圆 C:x2+y2+2x﹣4y+a=0 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M(0,1) . (1)若圆 C 的半径为 ,求实数 a 的值; (2)若弦 AB 的长为 4,求实数 a 的值; (3)求直线 l 的方程及实数 a 的取值范围. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)利用配方法得到圆的标准方程,根据圆 C 的半径为 ,求实数 a 的值; (2)求出直线 l 的方程,求出圆心到直线的距离,根据弦 AB 的长为 4,求实数 a 的值; (3)点与圆的位置关系即可求出 a 的取值范围. 【解答】解: (1)圆的标准方程为(x+1)2+(y﹣2)2=5﹣a, 则圆心 C(﹣1,2) ,半径 r= , ∵圆 C 的半径为 , = , ∴ ∴a=2; (2)∵弦的中点为 M(0,1) .
10

∴直线 CM 的斜率 k=﹣1, 则直线 l 的斜率 k=1, 则直线 l 的方程为 y﹣1=x,即 x﹣y+1=0. 圆心 C 到直线 x﹣y+1=0 的距离 d= 若弦 AB 的长为 4,则 2+4=5﹣a=6, 解得 a=﹣1; (3)由(2)可得直线 l 的方程为 x﹣y+1=0. ∵弦 AB 的中点为 M(0,1) . ∴点 M 在圆内部,即 ∴5﹣a>2,即 a<3. 18.如图,ABCD 是长方形硬纸片,AB=80cm,AD=50cm,在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形,再把 它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸箱,设切去的小正方形的白边长为 x(cm) . (1)若要求纸箱的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若要求纸箱的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值? < , = ,

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】 (1)求出纸箱的侧面积 S,利用基本不等式,求最大值; 2 ( )求出纸箱的容积 V,利用导数,求最大值. 【解答】解: (1)S=2x(50﹣2x+80﹣2x)=2x≤ ? 当且仅当 4x=130﹣4x,即 x= cm,纸箱的侧面积 S(cm2)最大; = ,

(2)V=x(50﹣2x) (80﹣2x) (0<x<12.5) , V′=(50﹣2x) (80﹣2x)﹣2x(80﹣2x)﹣2x(50﹣2x)=4(3x﹣100) (x﹣10) , ∴0<x<10,V′>0,10<x<12.5,V′<0, ∴x=10cm 时,V 最大.

19.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 形成的四边形面积为 4 . (1)求椭圆 C 的标准方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,连接椭圆 C 的四个顶点所

11

(2)如图,过椭圆 C 的下顶点 A 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 C 于点 M,N,设直线 AM 的斜率为 k,直线 l:y= x 分别与直线 AM,AN 交于点 P,Q,记△ AMN,△ APQ 的面积分别为 S1,S2,是否

存在直线 l,使得

=

?若存在,求出所有直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得 a 和 b 的值,可求得椭圆的方程; (2)利用椭圆方程及直线 AM,AN 的方程求得 xM、xN、xP 及 xQ 的值根据三角形面积公式求得 k 的值,求 得直线方程. 【解答】解: (1)由题意可知:e= = 解得 a=2,b= , , = ,且 2ab=4 ,且 a2﹣b2=c2,

∴椭圆的标准方程: (2)由(1)可知,A(0,﹣

) ,则直线 AM 的方程为 y=kx﹣ , 将直线方程代入椭圆方程得:消去并整理得: (3+4k2)x2﹣8 kx=0, 解得 xM= ,

直线 AN 的方程 y=﹣ ﹣

,同理可得:xN=﹣



解得 xP=

k,同理可得 xQ=﹣





=

=丨

丨=

=



即 3k4﹣10k2+3=0, 解得 k2=3 或 k2= ,

12

所以

=

或﹣



故存在直线 l:y=

x,y=﹣

x,满足题意.

20.已知函数 f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R) . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极大值; (2)若对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤2x 成立,求 a 的取值范围; (3)设 h(x)=f(x)+ax,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1>x2,证明: 成立. 【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)a=1 时,f(x)=lnx﹣x+1, (x>0) ,f′(x)= ﹣1= (x)的单调性极值. (2)f(x)≤2x 化为:a≥ ﹣2=g(x) ,利用导数研究函数 g(x)的单调性极值最值即可得出. ,对 x 分类讨论即可得出函数 f > 恒

(3)h(x)=f(x)+ax=lnx+1,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1>x2,



恒成立

?

>ln

.令

=t>1,上式等价于:

>lnt.令

=m>1,则上式等价于:u(m)=

﹣2lnm>0.利用导数研究函数 u(m)的单调性即可得出. 【解答】 (1)解:a=1 时,f(x)=lnx﹣x+1, (x>0) ,f′(x)= ﹣1= ∴0<x<1 时,函数 f(x)单调递增;1<x 时,函数 f(x)单调递减. 因此 x=1 时函数 f(x)取得极大值,f(1)=0. (2)解:f(x)≤2x 化为:a≥ ﹣2=g(x) , ,

g′(x)=

,可知:x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增;

x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减. ∴x=1 时函数 g(x)取得极大值即最大值,g(1)=1﹣2=﹣1. ∴a≥﹣1,∴a 的取值范围是[﹣1,+∞) . (3)证明:h(x)=f(x)+ax=lnx+1, 对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1>x2, > 恒成立? >ln .



=t>1,上式等价于:

>lnt.

13



=m>1,则上式等价于:u(m)=

﹣2lnm>0.

u′(m)=1+

﹣ =

=

>0,因此函数 u(m)在 m∈(1,+∞)上单调递增,

∴u(m)>u(1)=0, ∴ > 恒成立.

14

2016 年 7 月 21 日

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