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高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质及应用课件新人教a必修5

【课标要求】 1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等 比数列中的有关问题. 2. 能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列 中的计算问题. 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.

自主学习 |新知预习|

基础认识

等比数列常见性质 若{an}是等比数列,公比是 q,则 (1)an=a1qn-1=a2qn-2=…=amqn-m(n>m); (2)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=aman-m+1(n>m); (3)若 k+l=m+n=2p(k,l,m,n,p∈N*),则 ak· al=am· an =a2 p;

(4)若 m,p,n(m,n,p∈N*)成等差数列,则 am,ap,an 成 等比数列; ?1? (5)数列{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 n}都是等比数列,且公比分别 ? n? 1 是 q,q,q2. ?an? (6)若{bn}是公比为 p 的等比数列,则{anbn}与?b ?也都是等 ? n? q 比数列,公比分别为 pq 和p.

|化解疑难| 等差数列与等比数列的联系与区别

|自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当 q>1 时,{an}为递增数列.( × ) (2)当 q=1 时,{an}为常数列.( √ ) (3){an}是等比数列,若 m+n=p,则 am· an=ap.( × ) (4) 若 等 比 数 列 {an} 的 公 比 是 q , 则 an = amqm - n(m , n∈N*).( × )

2.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16, 则 a10=( ) A.16 B.32 C.64 D.128

解析:由等比数列的性质,知 a2 7=a3a11=16,又数列{an}的 各项都是正数,所以 a7=4,a10=a7×q3=4×23=32. 答案:B

3.将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成 新的数列 a1a2,a2a3,a3a4,…,此数列是( ) A.公比为 q 的等比数列 B.公比为 q2 的等比数列 C.公比为 q3 的等比数列 D.不一定是等比数列

anan+1 an an+1 解析:由于 = × a =q· q=q2,n≥2 且 n∈N*, an-1an an-1 n ∴{anan+1}是以 q2 为公比的等比数列.故选 B. 答案:B

4.(北京人大附中月考)在等比数列{an}中,a4=7,a6=21, 则 a8 的值为( ) A.35 B.63 C.21 3 D.± 21 3

解析:∵{an}是等比数列,∴a4,a6,a8 是等比数列,∴a2 6= 212 a4· a8,即 a8= 7 =63. 答案:B

5. 已知{an}为等比数列, a2=2, a6=162, 则 a10=________. 13 122

? ?a2=a1q=2, 解析:法一:因为? 5 ? ?a6=a1q =162,

2 2 a 162 6 法三:因为{an}为等比数列,所以 a2· a10=a2 , a = 6 10 a2= 2 =13 122. 答案:13 122

所以 q4=81, 所以 a10=a1q9=a1q· q8=2×812=13 122. a6 162 4 法二:因为 q =a = 2 =81, 2 所以 a10=a6q4=162×81=13 122.

课堂探究 互动讲练 类型一 等比数列的性质 [例 1] 已知数列{an}是等比数列, (1)若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式; (2)若 a2a6a10=1,求 a3· a9 的值.

【解析】 ∴a2=2.

3 (1)∵a2 = a a ,代入已知,得 a 2 1 3 2=8,

2 2 设前三项为q,2,2q,则有q+2+2q=7. 1 整理得,2q -5q+2=0,∴q=2 或 q=2. a =4, ? ? ? 1 ?a1=1, ∴? 或? 1 ? q= . ?q=2 ? ? 2 ?1? - n -1 ∴an=2 或 an=4×?2?n 1=23-n. ? ?
2

(2)法一 由等比数列的性质, 有 a2a10=a3a9=a2 6, 由 a2· a6· a10=1,得 a3 6=1, ∴a6=1, ∴a3a9=a2 6=1. 法二 由等比数列通项公式,得 a2a6a10=(a1q)(a1q5)(a1q9)=a3 q15=(a1q5)3=1, 1· ∴a1q5=1, ∴a3a9=(a1q2)(a1q8)=(a1q5)2=1.

方法归纳, 等比数列常用性质 (1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am· an=ap· aq. 特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N*),则 am· an=a2 p. an (2)a =qn-m(m,n∈N*). m (3)在等比数列{an}中,每隔 k 项取出一项,取出的项,按原 来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列. (4) 数列{an} 为等比数列,则数列 {λan}(λ 为不等于 0 的常 ?1? 数)?a ?仍然成等比数列. ? n?

跟踪训练 1 (1)( 揭阳检测 ) 已知各项均为正数的等比数列 {an},a1· a9=16,则 a2· a5· a8 的值为( ) A.16 B.32 C.48 D.64 (2)已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 公式 an=________. 解析:(1)由等比数列的性质可得 a1· a9=a2 5=16, 因为 an>0,所以 a5=4,所以 a2· a5· a8=a3 5=64. a10 a1q9 7 (2)由已知得 a =a q2=q =128=27,故 q=2. 3 1 所以 an=a1qn-1=a1q2· qn-3=a3· qn-3=3×2n-3. 答案:(1)D (2)3×2n-3

类型二 等比数列的设法与求解 [例 2] 已知四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的 积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积是-80,则这四 4 个数为________ . 1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8 【思路点拨】 根据等比数列的定义可以依次设三个数为 a 2 a,aq,aq 或为q,a,aq,然后根据给出的条件列出方程,解方 程组,便可得出结论.

b 【解析】 由题意设此四个数分别为q,b,bq,a,则 b3= - 8 , 解 得 b = - 2 , q 与 a 可 通 过 解 方 程 组 2bq=a+b, ab2q=-80 求出, a=10, b=-2, q=-2 即 为 或 ? 5 ?a=-8, b=-2, q= , 2 ? 4 所以此四个数为 1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

方法归纳 等比数列的“对称设项”方法 (1)当项数 n 为奇数时,先设中间一个数为 a,再以公比为 q a 向两边对称地依次设项即可, 如三个数成等比数列, 可设为q, a, aq;

a (2)当项数 n 为偶数且公比大于 0 时,先设中间两个数为q和 aq,再以公比为 q2 向两边对称地依次设项即可,如四个数成等 a a a a 3 比数列,可设为q3,q,aq,aq ,六个数成等比数列可设为q5, q3, a 3 5 , aq , aq , aq . q

已知三个数成等比数列,其积为 1,第 2 项与 2 5 3 -5,1. ,-2 第 3 项之和为-2,则这三个数依次为________

跟踪训练 2

a 解析:设这三个数分别为q,a,aq. ? 3 3 ? 则 a =1, a+aq=-2, ? 5 解得 a=1,q=-2, 2 5 所以这三个数依次为-5,1,-2.

类型三 等比数列与等差数列的综合问题 [例 3] 已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2 =3,4S2=S4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{2an}是等比数列; (3)求使得 Sn+2>2Sn 成立的 n 的集合.

【解析】 (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ×?2a1+d?=4a1+6d. 由题意,得 a1+d=3, 解得 a1=1,d=2, 所以 an=2n-1. 2n-1 2an 2 (2)依题意,得 = =4, 2an-1 22n-3 所以数列{2an}是首项为 2,公比为 4 的等比数列. (3)由 a1=1,d=2,an=2n-1,得 Sn=n2, 所以 Sn+2>2Sn?(n+2)2>2n2?(n-2)2<8. 所以 n=1,2,3,4, 故 n 的集合为{1,2,3,4}.
? ? ? ? ?

方法归纳 求解等差、等比数列综合的问题的技巧 (1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系. (2)发挥两个数列的基本量 a1,d 或 b1,q 的作用,并用好方 程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.

跟踪训练 3 等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数 列{bn}的通项公式.

? ? ? ? ?

解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3,解得 q=2,an=a1qn-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32. 设 数 列 {bn} 的 公 差 为 d , 首 项 为 b1 , 则 有 b1+2d=8, b1+4d=32. 解得 b1=-16, d=12. 从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28.
? ? ? ? ?

|素养提升| 1.等比数列的“子数列”的特性 若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列. (2)奇数项数列{a2n-1}是公比为 q2 的等比数列;偶数项数列 {a2n}是公比为 q2 的等比数列. (3)若{kn}成等差数列且公差为 d, 则{akn}是公比为 qd 的等比 数列,也就是说等比数列中项的序号若成等差数列,则对应的项 依次成等比数列.

2.等比数列的单调性易误点 (1)易误认为数列{an}的公比 q>1 时,为递增数列,公比 q<1 时,为递减数列. (2)当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,等比数列{an}是递增数 列. 当 q>1, a1<0 或 0<q<1, a1>0 时, 等比数列{an}是递减数列.

|巩固提升| 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 )

解析:由 a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8 得,a3· a9=a2 6≠0, 因此 a3,a6,a9 一定成等比数列.故选 D. 答案:D

an+1 2.数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等比数列且 bn= a , n 若 b10· b11=2,则 a21=( ) A.20 B.512 C.1 013 D.1 024

an+1 解析:∵bn= a ,且 b10· b11=2, n 又{bn}是等比数列, ∴b1· b20=b2· b19=…=b10· b11=2, a2 a3 a4 a21 10 则a · · … = b b b … b = 2 , 1 2 3 20 a a a 1 2 3 20 a21 即 a =1 024, 1 从而 a21=1 024a1=1 024. 答案:D

3.在等比数列{an}中,已知 a1>0,8a2-a5=0,则数列{an} 为________数列.(填“递增”“递减”)

a5 解析:由 8a2-a5=0,可知a =q3=8,解得 q=2. 2 又 a1>0,所以数列{an}为递增数列. 答案:递增