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河南省郑州市2013届高三数学第二次质量预测试题 理(含解析)新人教A版


2013 年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求. 1. 分) (5 (2013?郑州二模)复数 ( ) A.第一象限 的共轭复数在复平面内的对应点位于

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题;高考数学专题. 分析: 根据复数除法法则,算出 z= 的值,结合共轭复数的定义找到 的值,再根据复数的几何意义,不 难找到 在复平面内的对应点所在的象限. 解答: 解:∵z1=3+i,z2=1﹣i ∴复数 z= = = (3+3i+i+i )=1+2i
2

因此 z 的共轭复数 =1﹣2i,对应复平面内的点 P(1,﹣2) ,为第四象限内的点 故选 D 点评: 本题给出两个复数,求它们的商的复数对应点所在的象限,着重考查了复数的除法运算、共轭复数 和复数的几何意义等知识,属于基础题. ,则角 θ 的终边一定落在直线( C.24x+7y=0 D.24x﹣7y=0

2. 分) (5 (2013?郑州二模)若 A.7x+24y=0 B.7x﹣24y=0



)上.

考点: 终边相同的角;半角的三角函数. 专题: 计算题. 分析: 由题意确定 的范围,然后求出角 θ 的终边的值,求出直线的斜率,即可得到选项. 解答: 解: , ,所以 在第四象限, ,

θ 是第三象限角,

tan

=﹣ ,所以 tanθ =

=



所以角 θ 的终边一定落在直线 24x﹣7y=0 上. 故选 D 点评: 本题是基础题,考查终边相同的角,直线的斜率,三角函数的化简求值,考查计算能力,常考题型. 3. 分) (5 (2013?郑州二模) 在数列{an}中, n+1=ca(c 为非零常数) 前 n 项和为 Sn=3 +k, a , 则实数 k 为 ( n A.0 B.1 C.﹣1 D.2
n



1

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. n 分析: 由 an+1=can,知{an}是等比数列,由 Sn=3 +k,分别求出 a1,a2,a3,再由 a1,a2,a3 成等比数列,求出 k 的值. . 解答: 解:∵an+1=can,∴{an}是等比数列, ∵a1=S1=3+k, a2=S2﹣S1=(9+k)﹣(3+k)=6, a3=S3﹣S2=(27+k)﹣(9+k)=18, ∵a1,a2,a3 成等比数列, 2 ∴6 =18(3+k) , ∴k=﹣1. 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意等比数列通项公式的合理运用. 4. 分) (5 (2013?郑州二模)设 α 、β 为两个不同的平面,直线 l? α ,则“l⊥β ”是“α ⊥β ”成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 直线与平面垂直的性质;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 面面平行的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得 l⊥β ? α ⊥β .若 α ⊥β ,直线 l? α 则直线 l⊥β ,或直线 l∥β ,或直线 l 与平面 β 相交, 或直线 l 在平面 β 内.由 α ⊥β ,直线 l? α 得不到 l⊥β ,所以所以“l⊥β ”是“α ⊥β ”成 立的充分不必要条件. 解答: 解:面面平行的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 因为直线 l? α ,且 l⊥β 所以由判断定理得 α ⊥β . 所以直线 l? α ,且 l⊥β ? α ⊥β 若 α ⊥β ,直线 l? α 则直线 l⊥β ,或直线 l∥β ,或直线 l 与平面 β 相交,或直线 l 在平面 β 内. 所以“l⊥β ”是“α ⊥β ”成立的充分不必要条件. 故答案为充分不必要. 点评: 解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假,最好用? 来表示,再转换为是什么样 的命题,最后转化是什么样的条件.
﹣1 lnx

5. 分) (5 (2013?郑州二模) x∈ 若 (e , , 1) a=lnx, b= A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c

, c=e , a, c 的大小关系为 则 b, ( D.b>a>c



考点: 有理数指数幂的化简求值;对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0,b>1, <c<1,从而可得答案. 解答: 解:∵x∈(e ,1) ,a=lnx ∴a∈(﹣1,0) ,即 a<0;
2
﹣1

又 y= ∴b=
lnx

为减函数, >
﹣1

=

=1,即 b>1;

又 c=e =x∈(e ,1) , ∴b>c>a. 故选 B. 点评: 本题考查有理数指数幂的化简求值,考查对数值大小的比较,掌握对数函数与指数函数的性质是关 键,属于中档题. 6. 分) (5 (2013?郑州二模)已知函数 f(x)的导函数为 f'(x) ,且满足 f(x)=2xf'(e)+lnx,则 f' (e)=( ) ﹣1 A.1 B.﹣1 C.﹣e D.﹣e 考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 利用求导法则求出 f(x)的导函数,把 x=e 代入导函数中得到关于 f′(e)的方程,求出方程的解 即可得到 f′(e)的值. 解答: 解:求导得:f′(x)=2f'(e)+ , 把 x=e 代入得:f′(e)=e +2f′(e) , ﹣1 解得:f′(e)=﹣e . 故选 C. 点评: 本题要求学生掌握求导法则.学生在求 f(x)的导函数时注意 f′(e)是一个常数,这是本题的易 错点. 7. 分) (5 (2013?怀化三模)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视 图的是( )
﹣1

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题. 分析: 由三视图的作法规则,长对正,宽相等,对四个选项进行比对,找出错误选项. 解答: 解:本题中给出了正视图与左视图,故可以根据正视图与俯视图长对正,左视图与俯视图宽相等来 找出正确选项 A 中的视图满足三视图的作法规则; B 中的视图满足三视图的作法规则; C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等,故其为错误选项;
3

D 中的视图满足三视图的作法规则; 故选 C 点评: 本题考查三视图的作法,解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正,宽相等,高平齐,利用 这些规则即可选出正确选项.

8. 分) (5 (2013?郑州二模)在二项式

的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式 ) D.

中所有的项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( A. B. C.

考点: 二项式定理;等差数列的性质;等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 求出二项展开式的通项,求出前三项的系数,列出方程求出 n;求出展开式的项数;令通项中 x 的 指数为整数,求出展开式的有理项;利用排列求出将 9 项排起来所有的排法;利用插空的方法求出 有理项不相邻的排法;利用古典概型的概率公式求出概率. 解答: 解:展开式的通项为 ∴展开式的前三项系数分别为 ∵前三项的系数成等差数列 ∴ 解得 n=8

所以展开式共有 9 项, 所以展开式的通项为 =

当 x 的指数为整数时,为有理项 所以当 r=0,4,8 时 x 的指数为整数即第 1,5,9 项为有理项共有 3 个有理项 所以有理项不相邻的概率 P= .

故选 D 点评: 解决排列、组合问题中的不相邻问题时,先将没有限制条件的元素排起来;再将不相邻的元素进行 插空.

9. 分) (5 (2013?郑州二模)如图所示,F1,F2 是双曲线

(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标

原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为 A,B,且△F2AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为( )

4

A.

+1

B.

+1

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 连接 AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°,F2F1=2c,AF1=c,AF2= ﹣AF1= ﹣c=2a,变形可得离心率 的值.

,由双曲线的定义可知:AF2

解答: 解:连接 AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°, 由焦距的意义可知 F2F1=2c,AF1=c, 由勾股定理可知 AF2= , 由双曲线的定义可知:AF2﹣AF1=2a,即 ﹣c=2a, 变形可得双曲线的离心率 = =

故选 B 点评: 本题考查双曲线的性质,涉及直角三角形的性质,属中档题. 10. 分) (5 (2011?安徽)函数 f(x)=ax (1﹣x) 在区间(0.1)上的图象如图所示,则 n 可能是(
n 2



A.1

B.2

C.3

D.4

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 先从图象上得出原函数的最值(极值)点小于 0.5,再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求 来找答案即可. 解答: 解:由于本题是选择题,可以用代入法来作, 由图得,原函数的最值(极值)点小于 0.5. 当 n=1 时,f(x)=ax(1﹣x) =a(x ﹣2x +x) ,所以 f'(x)=a(3x﹣1) (x﹣1) ,令 f'(x)=0? x= , x=1,即函数在 x= 处有最值,故 A 对; 当 n=2 时,f(x)=ax (1﹣x) =a(x ﹣2x +x ) ,有 f'(x)=a(4x ﹣6x +2x)=2ax(2x﹣1) (x﹣1) ,
5
2 2 4 3 2 3 2 2 3 2

令 f'(x)=0? x=0,x= ,x=1,即函数在 x= 处有最值,故 B 错; 当 n=3 时,f(x)=ax (1﹣x) ,有 f'(x)=ax (x﹣1) (5x﹣3) ,令 f'(x)=0,? x=0,x=1, x= ,即函数在 x= 处有最值,故 C 错. 当 n=4 时,f(x)=ax (1﹣x) ,有 f'(x)=2x (3x﹣2) (x﹣1) ,令 f'(x)=0,? x=0,x=1, x= ,即函数在 x= 处有最值,故 D 错 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的最值(极值)点与导函数之间的关系.在利用导函数来研究函数的极值时,分 三步①求导函数,②求导函数为 0 的根,③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数取极大值; 若左负右正,原函数取极小值.本本题考查利用极值求对应变量的值.可导函数的极值点一定是导 数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点. 11. 分) (5 (2013?郑州二模)设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(1﹣x)+f(1+x) =0 恒成立.如果实数 m、n 满足不等式组 是( ) A.(3,7) ,那么 m +n 的取值范围
2 2 4 2 3 3 2 2

B.(9,25)

C.(13,49)

D.(9,49)

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 综合题. 2 2 分析: 根据对于任意的 x 都有 f (1﹣x)+f (1+x)=0 恒成立,不等式可化为 f (m ﹣6m+23) (2﹣n +8n) <f , 2 2 2 2 利用 f(x)是定义在 R 上的增函数,可得∴(m﹣3) +(n﹣4) <4,确定(m﹣3) +(n﹣4) =4 2 2 (m>3)内的点到原点距离的取值范围,即可求得 m +n 的取值范围. 解答: 解:∵对于任意的 x 都有 f(1﹣x)+f(1+x)=0 恒成立 ∴f(1﹣x)=﹣f(1+x) 2 2 ∵f(m ﹣6m+23)+f(n ﹣8n)<0, 2 2 ∴f(m ﹣6m+23)<﹣f[(1+(n ﹣8n﹣1)], 2 2 2 ∴f(m ﹣6m+23)<f[(1﹣(n ﹣8n﹣1)]=f(2﹣n +8n) ∵f(x)是定义在 R 上的增函数, 2 2 ∴m ﹣6m+23<2﹣n +8n 2 2 ∴(m﹣3) +(n﹣4) <4 2 2 ∵(m﹣3) +(n﹣4) =4 的圆心坐标为: (3,4) ,半径为 2 ∴(m﹣3) +(n﹣4) =4(m>3)内的点到原点距离的取值范围为( ∵m +n 表示(m﹣3) +(n﹣4) =4 内的点到原点距离的平方 2 2 ∴m +n 的取值范围是(13,49) . 故选 C.
2 2 2 2 2 2

,5+2) ,即(

,7)

6

点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式的含义,解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的 取值范围.

12. 分) (5 (2013?郑州二模)已知函数 f(x)= x﹣cosx,则方程 f(x)= A.0 B. C.

所有根的和为( D.



考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 问题转化为 y=cosx,与 y= 解答: 解:由题意可得方程 f(x)= 即为函数 y=cosx,与 y=

的图象交点的横坐标,作出图象可得结论. 的根等价于 cosx= 的图象交点的横坐标, 的根,

在同一个坐标系中作出它们的图象如图:

可知图象有唯一的交点 x= 故方程 f(x)=

, ,

有唯一的根 x=

故选 C 点评: 本题考查根的存在性及个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题.

7

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分. 13. 分) (5 (2013?郑州二模)等差数列{an}的前 7 项和等于前 2 项和,若 a1=1,ak+a4=0,则 k=

6 .

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等差数列的公差,由前 7 项和等于前 2 项和列式求出公差,然后利用 ak+a4=0 列式求得 k 的值. 解答: 解:设等差数列的公差为 d,设其前 n 项和为 Sn. 由 S7=S2,得 即 7×1+21d=2+d,解得 d= 再由 . . ,

解得:k=6. 故答案为 6. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了学生的计算能力,是基础的运算题.

14. 分) (5 (2013?郑州二模)已知 O 为坐标原点,点 M(3,2) ,若 N(x,y)满足不等式组





的最大值为 12 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,由于

=(3,2)?(x,y)=3x+2y,设 z=3x+2y,再利用 z 的几

何意义求最值,只需求出直线 z=3x+2y 过可行域内的点 A 时,z 最大即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 则 =(3,2)?(x,y)=3x+2y,

设 z=3x+2y, 将最大值转化为 y 轴上的截距最大, 当直线 z=3x+2y 经过交点 A(4,0)时,z 最大, 最大为:12. 故答案为:12.

8

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档 题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性, 非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化. 15. 分) (5 (2013?郑州二模)已知不等式 xy≤ax +2y 对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数 a 的取 值范围是 [﹣1,+∞) . 考点: 不等式的综合. 专题: 常规题型. 分析: 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答时,首先可以游离参数将问题转化为: 对于 x∈[1, 2], y∈[2, 3]恒成立, 然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:不等式 xy≤ax +2y 对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立, 即: ,对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,
2 2 2 2



,则 1≤t≤3,
2

∴a≥t﹣2t 在[1,3]上恒成立, ∵ ∴ymax=﹣1, ∴a≥﹣1 故答案为:[﹣1,+∞) . 点评: 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成 立的思想以及整体代换的技巧.值得同学们体会与反思. 16. 分) (5 (2013?郑州二模)过点 M(2,﹣2p)作抛物线 x =2py(p>0)的两条切线,切点分别为 A,B, 若线段 AB 的中点纵坐标为 6,则 p 的值是 1 或 2 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设过点 M 的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立,利用方程的判别式等于 0,再利用韦达定理, 结合线段 AB 中点的 纵坐标为 6,可求 p 的值. 2 2 解答: 解:设过点 M 的抛物线的切线方程为:y+2p=k(x﹣2)与抛物线的方程 x =2py 联立消 y 得:x ﹣ 2 2pkx+4pk+4p =0 ①. 2 2 根据题意可得,此方程的判别式等于 0,∴pk ﹣4k﹣4p =0. 设切线的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2= , 此时,方程①有唯一解为 x= =pk,∴y= = =2(k+p) .
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 12=y1+y2=2(k1+k2)+4p= +4p,

9

∴p ﹣3p+2=0,解得 p=1 或 p=2, 故答案为 1 或 2. 点评: 本题考查抛物线的切线,考查韦达定理的运用,考查中点坐标公式,属于中档题. 三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2013?郑州二模)如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速度匀 速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向) ,汽车开动的同时,在距汽车出发点 O 点的距离为 5 公里,距离 公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?

2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3,OM=5,可得 OI=4,且 速度为 v 公里/小时,由余弦定理可得

,设骑摩托车的人的 ,求得

,再利用二次函数的性质求得 v 的最小值,以及此时他行驶的距离 vt 的 值. 解答: 解:作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3,∵OM=5,∴ 分) 设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小时, 由余弦定理: ﹣﹣﹣﹣(6 分) ,求得 .﹣﹣﹣﹣(2

,﹣﹣﹣﹣(8 分)

∴当

时,v 的最小值为 30,∴其行驶距离为

公里.﹣﹣﹣﹣(11 分) 公里.﹣

故骑摩托车的人至少以 30 公里/时的速度行驶才能实现他的愿望,他驾驶摩托车行驶了 ﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查二次函数的性质,余弦定理的应用,属于中档题.

18. (12 分) (2013?郑州二模)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的 质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,规定高于 128 厘米的为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米) 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
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乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146 (Ⅰ)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两批树苗的高度作比较, 写出对两种树苗高度的统计结论; (Ⅱ)设抽测的 10 株甲种树苗高度平均值为 ,将这 10 株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算, (如 图)问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义; (Ⅲ)若小王在甲批树苗中随机领取了 5 株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的 “良种树苗”株数 X 的分布列.

考点: 离散型随机变量及其分布列;茎叶图;程序框图. 专题: 概率与统计. 分析: (I)将数据填入茎叶图,然后计算两组数据的平均数进行比较,计算中位数从而可得甲、乙两种树 苗高度的统计结论; (II)根据流程图的含义可知 S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量,根据 方差公式解之可得 S. (III)X 取取值 0,1,2,3,4,5.对于分布列的列出,可先由给定数据算出相应的概率,再列表 得出分布列即可. 解答: 解: (Ⅰ)茎叶图略.﹣﹣﹣(2 分) 统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为 127,乙种树苗的中位数为 128.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散.﹣﹣﹣(4 分) (每写出一个统计结论得 1 分) (Ⅱ) .﹣﹣﹣﹣(6 分)S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程 度的量.S 值越小,表示长得越整齐,S 值越大,表示长得越参差不齐.﹣﹣﹣﹣(8 分) (Ⅲ)由题意,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为 ,则 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 p ﹣﹣﹣(10 分)

4

5

﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 根据新高考服务于新教材的原则,作为新教材的新增内容﹣﹣“茎叶”图是新高考的重要考点,数 学期望的计算也是高考的热点.对于“茎叶图”学习的关键是学会画图、看图和用图,对于概率要
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多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数.对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步 骤.

19. (12 分) (2013?郑州二模)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 2, (Ⅰ)当 λ = 时,求证 AB1⊥平面 A1BD; (Ⅱ)当二面角 A﹣A1D﹣B 的大小为 时,求实数 λ 的值.



. ∈R) (λ

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱,取 BC 边的中点 O,连结 AO,可证 AO 垂直于底面,以 O 为 坐标原点建立空间直角坐标系,由已知求出各点的坐标,得到向量 的坐标,由向

量的数量积等于 0 可证 AB1⊥平面 A1BD; (Ⅱ)把 D 点的坐标用含有 λ 的代数式表示,求出二面角 A﹣A1D﹣B 的两个面的法向量,利用法向 量所成的角为 即可得到 λ 的值.

解答: (Ⅰ)证明:取 BC 的中点为 O,连结 AO 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,面 ABC⊥面 CB1,△ABC 为正三角形,所以 AO⊥BC, 故 AO⊥平面 CB1. 以 O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 O﹣xyz. 则 所以 因为 所以 AB1⊥DA1,AB1⊥DB,又 DA1∩DB=D, 所以 AB1⊥平面 A1BD; (Ⅱ) 解: (1) D 由 得 (﹣1, , , 2λ 0) 所以 , 设平面 A1BD 的法向量 ,平面 AA1D 的法向量 , , , ,B1(1,2,0) ,D(﹣1,1,0) , , , , ,B(1,0,0) . ,

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,得

,取 y=1,得 x=λ ,



所以平面 A1BD 的一个法向量为





,得

,取 u=﹣1,得 x= ,

,y=0.

所以平面 AA1D 的一个法向量



,得

= .

解得

,为所求.

点评: 本题考查了直线与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角.训练了利用平面法向量求二面角的大 小,是中档题.

20. (12 分) (2013?郑州二模)已知椭圆 C:

的右焦点为 F,左顶点为 A,点 P 为曲线 D 上的动

点,以 PF 为直径的圆恒与 y 轴相切. (Ⅰ)求曲线 D 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的△APM?①点 M 在椭圆 C 上;②点 O 为 APM 的重 心.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. (若三角形 ABC 的三点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,C(x3,y3) ,则其重心 G 的坐标为( , ) )

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析:

(I) P 设 (x, , y) 由椭圆 C 的方程可得 F (1, , 0) 由题意可得以 PF 为直径的圆的圆心 利用两点间的距离公式得到 ,化简即可;



(II)不存在.可用反证法证明.若这样的三角形存在,由题可设 ,由条件知点 M 在椭圆上可得 ,由三

角形的重心定理可得 解答:

,及点 A(﹣2,0) ,代入化简即可得到 x2,判断即可. ,

解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由题知 F(1,0) ,所以以 PF 为直径的圆的圆心 则 整理得 y =4x,为所求. (Ⅱ)不存在,理由如下: 若这样的三角形存在,由题可设 ,
2



由条件①知



由条件②得

,又因为点 A(﹣2,0) ,

所以





故 解之得 x2=2 或

, (舍) ,

当 x2=2 时,解得 P(0,0)不合题意, 所以同时满足两个条件的三角形不存在. 点评: 本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础 知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力. 21. (12 分) (2013?郑州二模)已知函数 f(x)=lnx 与 g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于 P,Q 两点, 曲线 y=f(x)在 P,Q 两点处的切线交于点 A. (Ⅰ)当 k=e,b=﹣3 时,求 f(x)﹣g(x)的最大值; 为自然常数) (e (Ⅱ)若 A( , ) ,求实数 k,b 的值.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)构建新函数,求导函数,利用导数确定函数的单调性,从而可求函数的最大值;
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(Ⅱ)先求出切线方程,代入 A 的坐标,进而求出 P,Q 的坐标,即可求实数 k,b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)设 h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ex+3(x>0) , 则 当 当 ,﹣﹣﹣﹣(1 分) 时,h′(x)>0,此时函数 h(x)为增函数; 时,h′(x)<0,此时函数 h(x)为减函数. ,减区间为 . ;﹣﹣﹣﹣(4 分) ,

所以函数 h(x)的增区间为 ∴ 时,f(x)﹣g(x)的最大值为

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与函数 f(x)=lnx 切于点(x0,lnx0) ,则其斜率 故切线 将点 , 代入直线 l 方程得:





,﹣﹣﹣﹣(7 分)



,则



当 当

时,v′(x)<0,函数 v(x)为增函数; 时,v′(x)>0,函数 v(x)为减函数.

故方程 v(x)=0 至多有两个实根,﹣﹣﹣﹣(10 分) 又 v(1)=v(e)=0,所以方程 v(x)=0 的两个实根为 1 和 e, 故 P(1,0) ,Q(e,1) , 所以 为所求.﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查导数的几何意义,解题的关键是构建函 数,正确运用导数知识. 22. 分) (4 (2013?郑州二模)如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为 BD 中点,连接 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F 连接 CE. (1)求证:AG?EF=CE?GD; (2)求证: .

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考点: 圆的切线的性质定理的证明;与圆有关的比例线段. 专题: 证明题;压轴题. 分析: (1)要证明 AG?EF=CE?GD 我们可以分析积等式中四条线段的位置,然后判断它们所在的三角形是否 相似,然后将其转化为一个证明三角形相似的问题. 2 (2) (1) 由 的推理过程, 我们易得∠DAG=∠GDF, 又由公共角∠G, 故△DFG∽△AGD, 易得 DG =AG?GF, 结合(1)的结论,不难得到要证明的结论. 解答: 证明: (1)连接 AB,AC, ∵AD 为⊙M 的直径,∴∠ABD=90°, ∴AC 为⊙O 的直径,∴∠CEF=∠AGD, ∵∠DFG=∠CFE,∴∠ECF=∠GDF, ∵G 为弧 BD 中点,∴∠DAG=∠GDF, ∵∠ECB=∠BAG,∴∠DAG=∠ECF, ∴△CEF∽△AGD, ∴ ,

∴AG?EF=CE?GD (2)由(1)知∠DAG=∠GDF, ∠G=∠G, ∴△DFG∽△AGD, 2 ∴DG =AG?GF, 由(1)知 ,





点评: 证明三角形相似有三个判定定理: (1)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相 似(2)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简 叙为:三边对应成比例,两个三角形相似(3)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分 别对应相等) ,则有两个三角形相似.我们要根据已知条件进行合理的选择,以简化证明过程.

23. 分) (3 (2010?宁夏)已知直线 C1 (Ⅰ)当 α = 时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(t 为参数) 2 ,C

(θ 为参数) ,

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(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并 指出它是什么曲线. 考点: 简单曲线的极坐标方程;轨迹方程;直线和圆的方程的应用;直线的参数方程;圆的参数方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (I)先消去参数将曲线 C1 与 C2 的参数方程化成普通方程,再联立方程组求出交点坐标即可, (II)设 P(x,y) ,利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程,消去参数即得普通方程,由普通方 程即可看出其是什么类型的曲线. 解答: 2 2 解: (Ⅰ)当 α = 时,C1 的普通方程为 ,C2 的普通方程为 x +y =1.

联立方程组



解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)



(Ⅱ)C1 的普通方程为 xsinα ﹣ycosα ﹣sinα =0. 2 A 点坐标为(sin α ,﹣cosα sinα ) ,

故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:



P 点轨迹的普通方程 故 P 点轨迹是圆心为

. ,半径为 的圆.

点评: 本题主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参数方程研究轨迹问题的能 力. 24. 分) (3 (2013?郑州二模)已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)不等式 f(x)≤3 就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤5}相同,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,根据 f(x)+f(x+5)的最小 值≥m,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2. 分) (6

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5) ,

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于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. (12 分) 点评: 本题考查函数恒成立问题,绝对值不等式的解法,考查转化思想,是中档题,

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