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教案:3.4基本不等式(2)


必修 5

3.4 基本不等式(教案)
(第 2 课时)

【教学目标】 1.掌握基本不等式成立的条件; 2. 会应用基本不等式求最值; 3. 掌握基本不等式在实际中的应用. 【重点】 1. 掌握基本不等式成立的条件; 2. 会应用基本不等式适当变形求最值; 3.能正确将实际问题转化为数学问题,并应用基本不等式求最值. 【难点】 1. 抓住定值进行变形应用基本不等式求最值; 2. 将实际问题转化为数学问题,并应用基本不等式求最值.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 99 1. a ? b ? 2 ab 可化为 ab ? (

页~第 101 页) ( a ? 0, b ? 0 ) ;使用该不等式求最值时,要注

a?b 2 ) 2

意的前提条件为: (1) a ? 0, b ? 0 ; (2)积或和为定值; (3)当且仅当 a ? b 时,等号 成立, 即记为“一正,二定,三相等” . 2. 基本不等式的功能在于积与和的互化,便于创造 “定值”这一条件,其应用需要一定的 灵活性和变形技巧即拆项或配项. 3.在解决实际问题设自变量时通常把需求最大或最小值的变量为函数; 设自变量时要注意便 于数学模型的建立. 【基础练习】 1.函数 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值是 8,此时 x ? 2 . 4 .

2.已知 x ? 1, y ? 1, 且 lg x ? lg y ? 4, 那么 lg x ? lg y 的最大值为 3.如果 x ? 0 ,那么 y ? 3 ? (3 x ? ) 的最大值为

1 x

3? 2 3



4.某民用企业的一种电子产品,2003 年的产量在 2002 年基础上增长率为 a ;2004 年又在 2003 年的基础上增长率为 b(a ? 0, b ? 0) ,若这两年的平均增长率为 q ,则 ? C ? .

? A? q ?

a?b 2

? B? q ?

a?b 2

?C ? q ?

a?b 2
1

? D? q,

a?b 的大小关系不确定. 2

5.在直径为 d 的圆内接矩形中,最大面积是多少?这样的矩形长宽之比是多少? 解 : 设 圆 内 接 矩 形 长 与 宽 分 别 为 x, y , 则 x2 ? y 2? d 2, 矩 形 的 面 积 为

s ? xy ?

x2 ? y 2 d 2 ? ,当且仅当 x ? y 时,等号成立. 2 2 d2 ,此时矩形长宽之比是 1:1. 2

故圆内接矩形最大面积是 【典型例题】 例1

1 1 (1) 已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 则 ? 的取值范围 ? D ? . a b

? A? ? 2, ???

? B ? ?2, ??? ? C ? ? 4, ??? ? D? ?4, ??? .
1 1 ? 的最小值. 2a b

(2) (2009 广州模拟)设 a, b 为正数,且 a ? b ? 1 ,求 【审题要津】已知条件等式 a ? b ? 1 求

1 1 1 1 ? 或 ? 的最值,注意“1”的代换. a b 2a b 1 1 a?b a?b a b ? ? 2? ? ? 4. 解: (1) a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,? ? ? a b a b b a 1 1 ? ? 的取值范围 ?4, ??? . a b
(2)

a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,?
3 2? . 2

1 1 a ?b a ?b 3 a b 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ?2 . 2a b 2a b 2 b 2a 2 2

?

1 1 ? 的最小值是 2a b

【方法总结】通过对条件等式中“1”的代换将要求最值的式子转化为能用基本不等式 的类型. 例 2 (1)用篱笆围一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短,最短是篱笆多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园 面积最大,最大面积为多少? 【审题要津】 (1)中当矩形的面积为定值,矩形的长、宽各为多少时,篱笆的长最短; (2)中当矩形的周长为定值,矩形的长、宽各为多少时,篱笆的面积最大. 解: (1)设矩形菜园的长为 xm 、宽为 y m ,则 xy=100, 篱笆的长为 2( x ? y)m .
2

x +y ? xy 得 x ? y ? 2 100,2 ? x ? y ? ? 40. 当且仅当 x ? y 时成立,此时 x ? y=10. 2 故菜园的长为 10m 、宽为 10m 时,所用篱笆最短为 40m.
由 (2)设矩形菜园的长为 xm 、宽为 y m ,则 2( x ? y) ? 36, x ? y ? 18,

2

矩形的面积为 xym2 . 由 xy ?

x +y 18 ? ? 9, 可得 xy ? 81, 当且仅当 x ? y 时成立,此时 2 2

x ? y=9.
故菜园的长为 9m 、宽为 9m 时,所用篱笆的最大面积为 81m . 【方法总结】将实际背景转化数学模型为:已知两正数的和为定值,求积的最最大值; 或已知两正数的积为定值,求和的最小值. 【变式练习】 1.做一个体积为 32m ,高为 2m 的长方形纸盒,底面的长与宽取什么值时用纸最小? 解:设长方形底面的长为 xm 、宽为 y m 、用纸量是 z ,则 xy=16,
3 2

z ? 2xy ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 y ? 32 ? 4( x ? y) ? 32 ? 42 xy ? 64 当且仅当 x ? y=4 时成立.
答:当长方形底面的长为 4m 、宽为 4m 时,用纸量最小. 2.一段长为的 30m 篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院,墙长 18m ,问这个矩形的长与 宽为多少时,小院的面积最大,最大面积为多少? 解:设矩形的长为 xm 、宽为 y m ,小院的面积为 sm2 , 则 x+2y=30,s=xy.

1 1 1 900 225 2 ? s=xy = x ? 2 y ? ? x ? 2 y ? = ? = . 2 2 2 4 2 15 225 . 当 x ? 2 y, 即 x ? 15, y ? 时,小院的面积最大,最大面积为 2 2 例 3 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各方面用 钢筋网围成.(1)现有可围 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使虎
笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24m ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小? 【审题要津】设每间虎笼长 xm ,宽 y m ,则(1)是已知 4 x ? 6 y ? 36 ,求 xy 的最小 值;(2)是已知 xy ,求 4 x ? 6 y 的最小值;易于应用基本不等式解决. 解:设每间虎笼长 xm ,宽 y m ,则由条件得 4 x ? 6 y ? 36 ,即 2 x ? 3 y ? 18. 设每间虎笼面积为 s ,则 s ? xy . 解法 1.由于 2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6 x ? y , ?2 6 x ? y ? 18, 得 xy ? 由?
2

27 27 , 即 s ? , 当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立. 2 2

?2 x ? 3 y ? 18 ? x ? 4.5, 故每间虎笼长 4.5m ,宽 3m. ,得 ? ?2 x ? 3 y ? y ? 3.
3

解法 2. 由 2 x ? 3 y ? 18 得 x ? 9 ?

3 y. 2

x ? 0,?0 ? y ? 6,6 ? y ? 0.

3 ? 3 3 ? 6 ? y ? y ? 27 ? ? s ? xy ? ? 9 ? y ? y ? ? 6 ? y ? y ? ? ? ? ? . 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ?
当且仅当 6 ? y ? y 时,等号成立,即 ?

2

? x ? 4.5, 时等号成立. ? y ? 3.

(2)由条件知 s ? xy ? 24. 设钢筋网总长为 l ,则 l ? 4 x ? 6 y. 解法 1.

2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6xy ? 24, ?l ? 4 x ? 6 y ? 48,

当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立.

由? 解

?2 x ? 3 y ?x ? 6 解得 ? . 故每间虎笼长 6m ,宽 4m 时,可使钢筋网总长最小. xy ? 24 y ? 4 ? ?
法 2. 由

xy ? 24,



x?

24 96 16 16 . ?l ? 4 x ? 6 y ? ? 6 y ? 6( ? y) ? 6 ? 2 ? y ? 48. y y y y 16 ? y 时,即 y ? 4 时,等号成立,此时 x ? 6 . y

当且仅当

答: (1)每间虎笼长 4.5m ,宽 3m 时,面积最大; (2)每间虎笼长 6m ,宽 4m 时,可使钢筋网总长最小. 【变式练习】 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池,其容积为 4800m ,深为 3m .如果池底每平方 米的造价为 150 元,池底每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造 价是多少? 【审题要津】由题意知水池呈长方形,高为 3m ,底面的长与宽不确定,要确定水池总 造价最低,只需确定水池的长与宽的即可. 解:设底面的长为 xm 、宽为 y m ,水池总造价是 z , 则根据题意得: z ? 150 ?
3 3

4800 ? 120 ? 2 ? 3 x ? 2 ? 3 y ? ? 240000 ? 720( x ? y). 3

容积为 4800m ,? 3xy ? 4800, 即 xy ? 1600.

?240000 ? 720( x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy , 即 z ? 240000 ? 720 ? 2 1600.
? z ? 297600. 当 x ? y ? 40 时,等号成立.
4

所以, 将水池的底面设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低,总造价为 297600 元.
【方法总结】本题将实际背景转化数学模型为:已知两正数的积为定值,求和的最小值; 注意总造价的表示是建立数学模型的关键. 例 4 图画柱挂在墙上,它的下边缘在观察者的眼睛上方 a 米处,而上边缘在 b 米处,问 观察者站在离墙多远处才能使视角最大?

【审题要津】要使视角(锐角)最大,只需该视角的某一三角函数值(正切、正弦)最 大. 解:设观察者站在离墙 x 米,则

b a ? a b b?a 如图, tan ? ? , tan ? ? , ? tan ? ? tan( ? ? ? ) ? x x ? . ab ab x x 1? 2 x ? x x

x?
号. 又

ab ab ab b?a 当且仅当 x ? 即 x ? ab 时,取等 ? 2 x? ? 2 ab , ? tan ? ? x x x 2 ab

? ?? x ? ? 0, ? ,? y ? tan x 是增函数. ? 2?

? x ? ab 时,视角有最大值.
【方法总结】 实际中的最值问题往往转化为数学中的函数求最值问题.这里是几何中的最 值问题,以观察者站在离墙的距离 x 米为自变量,得到目标函数 tan ? ?

b?a 是本题的关 ab x? x

键.

1.(2006 年天津)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为每次 4 万元,要 使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ?

20

吨.

2.如图,在某水泥渠道,横断面为等腰梯形,为保证额定流量,面积不得小于 s. 若两侧面的 倾角均为,为使水泥用料最省,则腰长与底宽之比是 ? A? .

5

? A?

1:1

? B?

1: 2

?C ?

2 :1

? D? 2 :3.

3.一批货物随 17 列货车从市以匀速直达市,已知两地间铁路线长为 400 km ,为了安全, 两辆货车间的间距不得小于 ?

? v ? ? km ,那么这批货物全部运到 B 市最快需要 ? B ? . ? 20 ?

2

? A? 6h

? B ? 8h ? C ? 10h ? D? 12h .

4.下列命题中正确的是 ? C ? .

? A? ?C ?

函数 y ? x ?

1 的最小值为 2 x

? B ? 函数 y ?

x2 ? 3 x2 ? 3

的最小值为 2

函数 y ? 2 ? 3 x ?

4 ( x ? 0)的最大值为 2 ? 4 3 x

? D? 函数 y ? 2 ? 3x ? x ( x ? 0)的

4

最小值为 2 ? 4 3 . 5. 已知正数 x, y 满足

4 9 ? ? 1, 则 xy 有 ? C ? . x y

? A?

最小值 12

? B ? 最大值12 ? C ? 最小值144 ? D? 最大值144 .
lg a ? lg b , Q ? 1 a?b ,则 ? D ? . ? lg a ? lg b ? , R ? lg 2 2

6.若 a ? b ? 1, P ?

? A?

R? P?Q

? B?

P?Q? R

? C ? Q ? P ? R ? D? P ? R ? Q.
? b1 ? b2 ?
a1a2
2

7.若实数 x, a1 , a2 , y 成等比数列,且 x, b1 , b2 , y 成等差数列,则

的取值范围 ? C ? .

? A? ?4, ??? ? B ? ? ??, ?4? ?4, ??? ? C ? ? ??,0? ?4, ??? ? D? ? 0, 4? .
8. (2007 年重庆)若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 ? B ? . a ?2 b

? A?

2 5 15

? B?

2 4

?C ?

5 5

? D?

2 . 2

9.(2009 重庆一摸)函数 y ?

x2 ? 2 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值是 x ?1

2 3 ?1

.

10.在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值 为 -2 .

11.若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围.
6

解:

a ? 0, b ? 0,?a ? b ? 2 ab.

ab ? a ? b ? 3,?a ? b ? ab ? 3 ? 2 ab.
?

?

ab

?

2

? 2 ab ? 3 ? 0. ?( ab ? 3)( ab ?1) ? 0. ? ab ? 3.?ab ? 9.

? ab 的取值范围为 ?9, ??? .

b2 ? 1,求 a 1 ? b2 的最大值. 12.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 2
2





a2 ?

b2 2

1

? a 1 ? b2 ?

2 2 2a 2 ? b 2 3 2 ? 2a 2 ?1 ? b2 ? ? ? ? . 2 2 2 4 3 2 . 4

? ,

a2

当且仅当 2a ? 1 ? b 时取等号,故 a 1 ? b2 的最大值为
2 2

1. (2006 年陕西) 已知不等式 ? x ? y ? ? 最大值为 ? C ? . ? A? 8

?1 a? 则正实数 a 的 ? ? ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立, ?x y?
4

? B?

6

?C ?

? D? 2 .

2. (2006 年湖南理)对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清 洁度定义为: 1 ?

污物质量 )为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99.有两种方案可供选 物体质量(含污物)
x ? 0.8 ( x ? a ? 1 ),用 y 质量的 x ?1

择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响 ,其质量变为

a (1≤a≤3).设用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
水第二次清洗后的清洁度是

y ? ac ,其中 c(0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度. y?a

(1)分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (2)若采用方案乙,当 a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量 最少? 解:(1) 设方案甲与方案乙的用水量分别为 x 与 z , 由题意得:

x ? 0.8 ? 0.99, 解得 x ? 19. x ?1

7

由 c ? 0.95 得方案乙初次用水量为 3 ,第二次用水量 y 满足 解得 y ? 4a, 故 z ? 4a ? 3 即两次用水量分别为 19, 4a ? 3.

y ? 0.95a ? 0.99, y?a

因为当 1 ? a ? 3 时, x ? z ? 4(4 ? a) ? 0, 即 x ? z , 故方案乙用水量较少. (2)设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ,类似于(1)得

x?

5c ? 4 , y ? a(99 ? 100c). 5(1 ? c) 5c ? 4 1 ? a(99 ? 100c) ? ? 100a(1 ? c) ? a ? 1. 5(1 ? c) 5(1 ? c)

于是 x ? y ?

当 a 为定值时, x ? y ? 2

1 ?100a(1 ? c) ? a ? 1 ? ?a ? 4 5a ? 1. 5(1 ? c)

当且仅当

1 ? 100a(1 ? c) 时等号成立, 5(1 ? c) 1 1 ? ? 0.8, 0.99 ? . (舍去)或 c ? 1 ? 10 5a 10 5a 1 代入 x 与 y 得 x ? 2 5a ?1 ? a ?1, y ? 2 5a ? a. 10 5a 1 时总用水量最少,此时第一次用水量 2 5a ? 1 ,第二次用水量 10 5a

即 c ? 1?

将 c ? 1?

故 c ? 1?

2 5a ? a, 总用水量为 4 5a ? a ?1.

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