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圆锥曲线知识点整理


高二数学圆锥曲线知识整理
解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹 类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代 入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的 轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系) ,侧重于数的 运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究
? | PF | ? ? e, e ? 0? ,其中 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集: ?P | d ? ?

F 为定点,d 为 P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当 0<e<1 时,点 P 轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 轨迹是双曲线;当 e=1 时,点 P 轨迹是抛物线。 ( 2 ) 椭 圆 及 双 曲 线 几 何 定 义 : 椭 圆 : {P||PF1|+|PF2|=2a , 2a>|F1F2|>0 , F1 、 F2 为 定 点 } , 双 曲 线 {P|||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2 为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、 虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在 x 轴上的方程如下: 椭
x2 a2 ? y2 b2


?1

双 曲 线
x2 a2 ? y2 b2 ?1

抛 物 线 y2=2px(p>0)

标准方程

(a>b>0) 顶 焦 准 中 点 点 线 心 (± a,0) (0,± b) (± c,0) X=±
a2 c

(a>0,b>0) (± a,0) (0,0) (

p ,0) 2 p 2

x= ?

(0,0) P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2 分别为左、右焦点 P 在右支时: |PF1|=a+ex0

焦半径

|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0

|PF2|=-a+ex0 P 在左支时: |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0

|PF|=x0+

p 2

总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌

握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2、直线和圆锥曲线位置关系 (1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0) 。 其中直线和曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一 种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种 情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 (2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法。 3、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二 是建立不等式,通过解不等式求范围。 4、圆锥曲线的弦长公式 椭圆:设直线与椭圆交于 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 P1P2 斜率为 K,则
2 2 |P1P2|=|x1-x2| (1 ? K ) 或|P1P2|=|y1-y2| (1 ? 1/K ) {K=(y2-y1)/(x2-x1)}

2 2 = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]

双曲线: 设直线与双曲线交于 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 P1P2 斜率为 K,则
2 2 |P1P2|=|x1-x2| (1 ? K ) 或|P1P2|=|y1-y2| (1 ? 1/K ) {K=(y2-y1)/(x2-x1)}

2 2 = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]

抛物线: (1)焦点弦:已知抛物线 y? =2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 为抛物线的焦点弦,则 |AB|=x1+x2+p 或|AB|=2p/(sin? ? ){ ? 为弦 AB 的倾斜角}

或 AB ? 2 P ?

k2 (k为弦AB所在直线的斜率 ) 1? k 2

(2)设直线与抛物线交于 P1( x1,y1),P2(x2,y2),且 P1P2 斜率为 K,则
2 2 |P1P2|=|x1-x2| (1 ? K ) 或|P1P2|=|y1-y2| (1 ? 1/K ) {K=(y2-y1)/(x2-x1)}

2 2 = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]

例题研究 例1、 根据下列条件,求双曲线方程。 (1)与双曲线 (2)与双曲线
x 2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ) ; 9 16 x 2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) 。 16 4 x 2 y2 4 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x 9 16 3

分析: 法一: (1)双曲线

4 令 x=-3,y=± 4,因 2 3 ? 4 ,故点(-3, 2 3 )在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3
∴ 双曲线焦点在 x 轴上

?b 4 ? 2 9 ?a ? 3 ?a ? ? 4 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , (a>0,b>0) 有 ? 解之得: ? 2 2 a b ?b 2 ? 4 ? (?3) ? (2 3 ) ? 1 ? ? a2 b2 ?
x2 y2

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? ?1 9 4 4
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a>0,b>0)
2 ? ?a ? 12 解之得: ? 2 ? ?b ? 8

(2)设双曲线方程为
?a 2 ? b 2 ? 20 ? 则 ? (3 2 ) 2 2 2 ? 2 ?1 ? b ? a2

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? ?1 12 8

法二: (1)设双曲线方程为 ∴
(?3) 2 (2 3 ) 2 ? ?? 9 16

x2 y2 ? ? ? (λ≠0) 9 16

∴ ??

1 4

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? ?1 9 4 4

(3 2 ) 2 22 ? ?1 16 ? k 4?k

(2)设双曲线方程为

?16 ? k ? 0 ? y2 x2 ? ?1 ? ?4 ? k ? 0 ? ? 16 ? k 4 ? k ? ?
x 2 y2 ? ?1 12 8

解之得:k=4 评注:与双曲线

∴ 双曲线方程为
x2 a2 ? y2 b2

? 1 共渐近线的双曲线方程为 x2 a2 ? y2 b2

x2 a2

?

y2 b2

? ? (λ≠0) ,当 λ>0 时,焦点在 x 轴上; x2 a2 ? k ? y2 b2 ? k ? 1(a2+k>0,b2-k>0) 。

当 λ<0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线

? 1 共焦点的双曲线为

比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量,特别是充分利用含参数方程的几何意义,可 以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2、设 F1、F2 为椭圆
x 2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一个直角三角形 9 4

的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 解题思路分析:

| P F1 | 的值。 | P F2 |

当题设涉及到焦半径这个信息时,通常联想到椭圆的两个定义。

?| PF 1 | ? | PF 2 |? 6 ? 2 2 2 法一:当∠PF2F1=900 时,由 ?| PF 1 | ?| PF 2 | ? (2c) 得: ? 2 ?c ? 5

| PF 1 |?

14 4 , | PF2 |? 3 3



| PF 7 1 | ? | PF2 | 2

当∠F1PF2=900 时,同理求得|PF1|=4,|PF2|=2 法二:当∠PF2F1=900, x P ? 5 ∴ yP ? ?



| P F1 | ?2 | P F2 |

4 4 ∴ P( 5 , ? ) 3 3

又 F2( 5 ,0) ∴ |PF2|=

4 3

∴ |PF1|=2a-|PF2|=

14 3

?x 2 ? y 2 ? ( 5 ) 2 3 4 ? 当∠F1PF2=90 ,由 ? x 2 y 2 得: P( ? 。下略。 5, ? 5) 5 5 ? ?1 ? 4 ? 9
0

评注:由|PF1|>|PF2|的条件,直角顶点应有两种情况,需分类讨论。 例 3、已知 x2+y2=1,双曲线(x-1)2-y2=1,直线同时满足下列两个条件:①与双曲线交于不同两点;② 与圆相切,且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。 分析:选择适当的直线方程形式,把条件“直线是圆的切线”“切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关于参数的 方程组。 法一:当斜率不存在时,x=-1 满足; 当斜率存在时,设?:y=kx+b 直线与⊙O 相切,设切点为 M,则|OM|=1 ∴
|b| k ?1
2

?1

∴ b2=k2+1



?y ? kx ? b 由? 得:(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 1
当 k≠±1 且△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则中点 M(x0,y0) , x1 ? x 2 ? ∴ y0=kx0+b=

2(1 ? kb) 1? k
2

, x0 ?

1 ? kb 1? k2

k?b 1? k
2

∵ M 在⊙O 上 ∴ x02+y02=1

∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2



? ? 3 3 k? k?? ? ? ? ? 3 3 由①②得: ? 或 ? 2 2 ?b ? ? ?b ? 3 3 ? ? 3 3 ? ?

∴ 直线方程为: y ?

3 2 3 2 x? 3或y?? ? 3 3 3 3 3

法二:设 M(x0,y0) ,则切线 AB 方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时,x0=± 1,显然只有 x=-1 满足; 当 y0≠0 时, y ? ?
x0 1 x? y0 y0

代入(x-1)2-y2=1 得:(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 ∵ y02+x02=1 ∴ 可进一步化简方程为:(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得: x 0 ? ? 解之得:x0=± 1(舍),x0= ∴ y0= ?
3 。下略 2

x02 ? x0 ?1 1 ? 2x 0
2

∴即 2x03-x02-2x0+1=0

1 2

评注:不管是设定何种参数,都必须将形的两个条件(“相切”和“中点”)转化为关于参数的方程组, 所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。 例 4、A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,

(1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线 AB 过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (4)求△AOB 面积的最小值; 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) (1) k OA ?
y1 y , k OB ? 2 x1 x2

∵ OA⊥OB

∴ kOAkOB=-1 ∴

∴ x1x2+y1y2=0
y1 2 y 2 2 ? ? y1 y 2 ? 0 2 p 2p

∵ y12=2px1,y22=2px2 ∵ y1≠0,y2≠0

∴ y1y2=-4p2

∴ x1x2=4p2

(2)∵ y12=2px1,y22=2px2 ∴
y1 ? y 2 2p ? x 1 ? x 2 y1 ? y 2

∴ (y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴ k AB ?
2p y1 ? y 2

∴ 直线 AB: y ? y 1 ? ∴ y?

2p (x ? x 1 ) y1 ? y 2

∴ y?

2px1 2px ? y1 ? y1 ? y 2 y1 ? y 2

y 2 ? 2px1 ? y1 y 2 2px ? 1 y1 ? y 2 y1 ? y 2

∵ y12 ? 2px1 ,

y1 y 2 ? ?4p 2

∴ y?

2px ? 4p 2 ? y1 ? y 2 y1 ? y 2

∴ y?

2p ( x ? 2p) y1 ? y 2

∴ AB 过定点(2p,0) ,设 M(2p,0) (3)设 OA∶y=kx,代入 y2=2px 得:x=0,x= ∴ A(

2p k2

2p 2p ) , k2 k
1 代 k 得 B(2pk2,-2pk) k

同理,以 ?

1 ? x 0 ? p( k 2 ? 2 ) ? ? k ∴ ? 1 ? y ? P( ? k ) 0 ? k ?

∵ k2 ?

1 k ? ( ? )2 ? 2 k k k
2

1



x0 y ? ( 0 )2 ? 2 p p

即 y02=px0-2p2

∴ 中点 M 轨迹方程 y2=px-2p2

(4) S?AOB ? S?AOM ? S?BOM ? ≥ 2p | y1 y 2 | ? 4p 2

1 | OM | (| y1 | ? | y 2 |) ? p(| y1 | ? | y 2 |) 2

当且仅当|y1|=|y2|=2p 时,等号成立 评注:充分利用(1)的结论。 轨迹方程 1、求轨迹方程的几个步骤: (建-设-列-化-证)

a.建系(建立平面直角坐标系,多数情况此步省略) b.设点(求哪个点的轨迹,就设它(x,y) ) c.列式(根据条件列等量关系) d.化简(化到可以看出轨迹的种类) e.证明(改成:修正) (特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问题) 2、求动点轨迹方程的几种方法 a.直接法:题目怎么说,列式怎么列。 b.定义法:先得到轨迹名称 c.代入法(相关点法):设所求点(x,y)另外点( x1 , y 2 )找出已知点和所求点的关系 c.参数法: (x,y)中 x,y 都随另一个量变化而变化—消参 e.待定系数法:先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程 一:定义法 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设 中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特 别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得 出方程。 例 1: 已知 ?ABC 的顶点 A, B 的坐标分别为 (-4, 0) , (4 , 0) , C 为动点, 且满足 sin B ? sin A ? 求点 C 的轨迹。 【解析】由 sin B ? sin A ?

5 sin C , 4

5 5 sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满足椭圆的定义。令 4 4

椭圆方程为

x2 a'
2

?

y2 b'
2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭 25 9

圆(不含左,右顶点) 。 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 二:直接法 此类问题重在寻找数量关系。 例 2: 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程? 解 设 M 点的坐标为 ( x, y ) 由平几的中线定理:在直角三角形 AOB 中, OM=

1 1 AB ? ? 2a ? a, 2 2

? x 2 ? y 2 ? a, x 2 ? y 2 ? a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=

1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直接法有下列几种情况: 2

1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直接将数量关 系代数化的方法求其轨迹。 2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式, 得出其轨迹方程。 3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即 得其轨迹方程。 4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、 性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定 理的方法是求动点轨迹的重要方法. 三:参数法

此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范围。 例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的 中点 M 的轨迹方程。

【解析】 分析 1:从运动的角度观察发现,点 M 的运动是由直线 l1 引发的,可设出 l1 的斜率 k 作为参数,建立 动点 M 坐标(x,y)满足的参数方程。 解法 1:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k(x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则 直 线 l 2的 方 程 为 y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 2 ? l1与x轴 交 点 A的 坐 标 为 (2 ? , 0), l 2 与y轴交点 B的坐标为 (0, 4 ? ), k k
∵M 为 AB 的中点,

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y? ? 2 k ?
消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 分析 2:解法 1 中在利用 k1k2=-1 时,需注意 k1、k2 是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢? 只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性:

| MP |?

1 | AB | 2

解法 2:设 M(x,y) ,连结 MP,则 A(2x,0) ,B(0,2y) , ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形

由直角三角形的性质 ,| MP |?

1 | AB | 2

1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? · (2 x) 2 ? (2 y ) 2 2
化简,得 x+2y-5=0,此即 M 的轨迹方程。 分析 3: :设 M(x,y) ,由已知 l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即可列出轨迹方 程,关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上,由 M 为 AB 的中点,易找出它们的坐标之间 的联系。 解法 3:设 M(x,y) ,∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0) ,B(0,2y) 。 又 l1,l2 过点 P(2,4) ,且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB,从而 kPA· kPB=-1,

而k PA ?

4?0 ,k 2 ? 2x

PB

?

4 ? 2y 2?0

?

4 4 ? 2y · ? ?1,化简,得 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ? 2x 2

注意到 l1⊥x 轴时,l2⊥y 轴,此时 A(2,0) ,B(0,4) 中点 M(1,2) ,经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 【点评】

| MP |? 解法 1 用了参数法, 消参时应注意取值范围。 解法 2, 3 为直接法, 运用了 kPA· kPB=-1,

1 | AB | 2

这些等量关系。 。 用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有 向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它 的取值范围对动点坐标取值范围的影响 练习 一、选择题: 6.抛物线 y ? x 上的点到直线 2 x ? y ? 4 的最短距离是(
2



3 A. 5

3 5 B. 5

2 5 C. 5

3 10 D. 5

4x 2 y 2 ? ?1 PF1 : PF2 ? 4 : 3 F,F 6 8.设 1 2 是椭圆 49 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且 ,则

?PF1 F2 的面积为(
A.4

) B.6 C. 2 2 D. 4 2

x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 (a ? b ? 0) 上一点,两焦点分别为 F1 , F2 ,如果 ?PF1F2 ? 75 b 10.设 P 为椭圆 a

?PF2 F1 ? 15? ,则椭圆的离心率为 (
6 A. 3 3 B. 3



6 C. 2

3 D. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中横线上.

x2 y2 ? ?1 4 14.过椭圆 16 内一点 M ( 2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,则这条弦所在的直线方程是_________.
15.动点 P 在曲线 y ? 2 x ? 1 上移动,则点 P 和定点 A(0, ?1) 连线的中点的轨迹方程是________________
2

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(2)已知双曲线的一条渐近线方程是 x ? 2 y ? 0 ,并经过点 ?

2, 2 ?

,求此双曲线的标准方程.

18.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (0, ? 3) 、(0, 3) 的距离之和等于 4.设 点 P 的轨迹为 C .

??? ? ??? ? y ? kx ? 1 C A 、 B OA ? OB (I)求曲线 C 的方程;(II)设直线 与 交于 两点,若 ,求 k 的值.

3 ? P ( x , y ) A (0, 3) B (0, ? 3) G 20.已知两点 , . 曲线 上的动点 使得直线 PA 、 PB 的斜率之积为 4 .
(I)求 G 的方程;

??? ? ??? ? (II)过点 C (0, ?1) 的直线与 G 相交于 E、 F 两点,且 EC ? 2CF ,求直线 EF 的方程.

???? ???? ? ???? ???? ? P ( x , y ) PF ? PF ? | PF | ? | PF F ( ? 2,0) F ( 2,0) C 2 1 2 |? 2 . 21.已知两点 1 、 2 ,曲线 上的动点 满足 1
(I)求曲线 C 的方程; (II)设直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) ,对定点 A(0, ?1) ,是否存在实数 m ,使直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点

M 、N ,满足 |AM |?| AN | ? 若存在,求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

圆锥曲线测试理科答案 一、选择题(满分 50 分,每题 5 分) 1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 B 7 A 8 B 9 C 10 A

二、填空题(满分 25 分,每题 5 分) 14. x ? 2 y ? 4 ? 0 15. y ? 4 x
2 2

16 解: (2)设双曲线方程为: x - 4 y = λ , ∵双曲线经过点(2,2) ,∴ λ = 2 - 4? 2
y 2 x2 =1 故双曲线方程为: 3 12 .
2 2

2

9分

- 12 ,

12 分

18.解: (Ⅰ)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以为焦距,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴

b ? 2 ? ( 3) ? 1,
2 2

x2 ?
故曲线 C 的方程为

y2 ?1 4 .

4分

? 2 y2 ?x ? ? 1, ? 4 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? ? y ? kx ? 1. , (Ⅱ)设
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx —3=0,(*)
2 2

6分



x1 ? x2 ?

2k 3 , x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

??? ? ??? ? OA ? OB , 即 x1x2 ? y1 y2 ? 0. 若



x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ? ? ? 1 ? 0, k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ,

10 分

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0, 所以

1 1 k ?? . k ?? 2 满足(*)中 ? ? 0 ,故 2 为所求.
yx 3 ,kBP = y+ 3 ( x ? 0) x ,

12 分

20、解: (I)由题知,

k AP =



k AP k BP =

y2 - 3 3 x2 y 2 = ( x ? 0) + = 1( x ? 0) x2 4 3 ,化简得 G 的方程为: 4 .

4分 6分

(II)设

E (x1 , y1 ),F (x2 , y2 )

x = - 2 x2 . ,由 EC = 2CF 得 1
2 2

uuu r

uuu r

设直线 EF 的方程为 y = kx - 1 ,代入 G 的方程可得: (3 + 4k ) x - 8kx - 8 = 0

8分

\ x1 + x2 =

- 8 8k x1 x2 = 2 3 + 4k 2 3 + 4k ,

x = -2 x2 , 又 1

\ - x2 =

- 8 8k - 2 x2 2 = 2 3 + 4k 2 , 3 + 4k ,

10 分

x 将 2 消去得

k2 =

1 1 , k= ? 4 即 2 y= ? 1 x 1 2 .
6分

故直线 EF 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 21、(I)所求曲线的方程为

(II)设

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 线段 MN 的中点为 P( x0 , y0 ) ,联立方程组得,

? y ? kx ? m, ? 2 ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx ? 3m2 ? 3 ? 0. ?x 2 ? ? y ? 1, ?3
2 2 由直线与椭圆有两个交点,得 m ? 3k ? 1 ,

8分 10 分



x0 ? ?

3km m , y0 ? kx0 ? m ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ,
1 ? 3k y0 ? 1 1 ?? m? x0 k ,即 2 ,
2



k AP ? k ? ?1 ?

12 分

1 m ? ( , 2) 2 代入上式得 .
k?

14 分

法二:点差得

x y1 ? y2 y ?1 1 3 1 ?? 0 k ? k ? ?1 ? 0 ?? x ? ? k , y0 ? x1 ? x2 3 y0 ,又 AP x0 k ,故 0 2 2.

2 P( x0 , y0 ) 在椭圆内,得 k 2 ? (0,1), m ? y0 ? kx0 ? 2 ? 2 k ? ( 2 , 2) 点

1

3

1


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