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高艺美3.1.1-3.1.2空间向量及其加减及数乘运算


图中的女生来自河北沧州, 去年毕业于河北衡水中学,现 在就读于香港大学,从高一到 高三基本没扔过”的考卷摞起 来有2.41米。 许多网友对这张图片“深 有同感”,网友@apoqi123就 表示,“这个和我们的有得一 比,我们当年也是一样,做题 做到自己都要吐,那是一个水 深火热的年代,不过不努力就 没有好的结果。”网友@骑猪 的奥特曼分析说,“从应试考 试的角度,题海战术还有效的。

3.1.1-3.1.2空间向量

及其加减与数乘运算运算

问题:课本 P84 问题……
F3 已知F1=2000N, F1 F2=2000N, F3=2000N,

F2

这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?

F3

F2

F1
通过这个实验,我们发现三角形钢板受到的

三个力的特点是:(1)三个力不共面,(2)

三力既有大小又有方向,但不在同一平面上。
所以解决这类问题,需要空间知识,而这种 不在同一平面上的既有大小,又有方向的量, 我们称之为“空间向量”。

这需要进一步来认识空间中的向量 ……

1.平面向量的基本知识

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向量定义: 既有大小又有方向的量叫向量。 重要概念:
(1)零向量: 长度为0的向量,记作0. (2)单位向量:长度为1个单位长度的向量. (3)平行向量:也叫共线向量,方向相同或相反

的非零向量. (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

注意:1)零向量是一个特殊的向量; 2)零向量与非零向量的区别。

思考:如何理解零向量的方向?

B B

A

零向量的方向是任意的

1.平面向量的基本知识

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向 量 几何表示 : 有向线段 ? ??? ? 的 字母表示 : a 、 AB 等 表 坐标表示 : (x,y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =

B(x2,y2)

(x2 - x1 , y2 - y1)

2、平面向量的加法、减法运算及数乘运算

首尾连,指终点b a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

b
共起点,指被减

a

向量减法的三角形法则

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实数与向量的积
?

实数 ? λ与向量的积是一个向量,记作λ , 其长度和方向规定如下: a
? ? la= l a

? ? a 同向; a ?当λ>0时,λ 与 当λ<0时, λ ? ? ? ? a a a 0 与 反向; 当λ=0时,λ = .

3、平面向量的加法和数乘运算律

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加法交换律:

a?b ? b?a

加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律: k ( a + b ) = k a + k b
? ?

4、平面向量的推广:

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(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

类比平面向量,推广到空间

一、空间向量及其加减数乘运算
1.空间向量基本概念

空间中具有大小和方向的量叫做向量. ⑴定义: 与平面向量一样,空间向量也用有向 线段表示。有向线段的长度表示向量的模。 用有向线段的方向表示向量的方向,若向 量 的起点是A,终点是B,则向量 也可 ? ? ? 以记作AB,其模记为 a 或 AB 。

2.特殊向量

2

3.空间向量的加减法和数乘运算
C

a b
O

+
A

b

B

空间向量的加减法

a
l a
l a

(l >0) (l <0)

??? ? ??? ? ??? ? OB= OA+AB ??? ? ??? ? ???? CA= OA- OC
空间向量的数乘

推广
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ?
A1
A2
A3 An

An?1

A1 An

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭 图形,则它们的和为零向量.即:
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2
A3 An

An?1

A4

4.空间向量的运算律

⑴加法交换律: a + b = b + a
? ?

?

?

(a+ b ) + c = a+ (b+ c ) ⑵加法结合律:

?

a

a c
b

b

c

4.空间向量的运算律
? ?

⑶乘法分配律: l(a + b )=l a +l b

l(ma )=(l m ) a ⑷乘法结合律:

?

二、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a ? ?b

已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中 a 叫做直线的 方向向量.或OP=(1-t)OA+tOB P B A O a

推论:如果 l 为经过已知点A且平行

若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)

l

结论:A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

??? ? ??? ? AP ? t AB

??? ? ???? ??? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)
??? ? 1 ??? ? ??? ? 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2

中点公式:

?

?

B
P A O

三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面 向量.
O

a a

A

?

b
b

a a
说明:空间任意两个向量都是共面向量, 但空间任意三个向量既可能是共面的, 也可能是不共面的。

2.共面向量定理:
? ? 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向量 ? ? ? ? p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有序 ? ? ? ? 实数对 ( x , y ) 使 p = xa + yb .
?C b? A a B
?? p

P

思考 1:如图 ,平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线 ? ?
b 的平面,如何表示平面 ? 上的任一点 P 的非零向量 a 、 呢?
?? p

? C b ? B A
a

P

? ? ?? ? ? O 因 a 、b 不共线, P 与 a 、b 共面的充要条件是: ?? ? ? 存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 P = xa + yb .

推论: 空间一点P位于
平面ABC内的充要 条件是存在唯一有序 实数对使

?C b? A a B

?? p

P

???? ???? ???? O AP = xAB + yAC (证明四点共面)

或对空间任一点O,有

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP = OA + x AB + y AC

(3)

(3) 注: 式称为平面 ABC 的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

思考 2(课本 P88 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 B、 C, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 满 足 向 量 关 系 式 OP = xOA + yOB + zOC ( 其 中 x + y + z = 1 )的点 P 与点 A 、 B、 C 是否共面?

??? ? ??? ? ??? ? ???? 由 OP = OA + x AB + y AC 得 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP = OA + x(OB - OA) + y(OC -OA) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP = (1 - x - y )OA + xOB + yOC

结论:空间四点P、A、B、C共面

???? ???? ???? , 使得 AP ? x AB ? y AC ? 存在唯一实数对(x , y) ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

?C b? A a B

C'

?? p

P

O

练.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 ???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 意一点O, OM ? xOA + OB + OC ,则x 3 3 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

练2.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? ? ??? ? ??? ? ???? (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? 2 ???? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量a到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体。
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B

D1 B1

C1

D
B

C

C

记作ABCD—A1B1C1D1,它的六个面都是平行四边形, 每个面的边叫做平行六面体的棱。

例1、 已知平行六面体ABCD - A ' B ' C ' D ', 标出下列向量。 ???? ???? ? ???? ? (1) AB + AD + AA '; D’ ??? ? ???? ???? (2) AB + AA?+ AD A’ ???? ???? ? ???? ? 解: (1) AB + AA ' ???? ? ???? ?+ AD = AC + AA ' ???? ? ????? D   = AC + CC ' ????? = AC ' A
C’ B’

C B

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量

为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

例2. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH ? ? ? ? k, OA OB OC OD D C 求证: A B ⑴四点E、F、G、H共面; H G ⑵平面EG//平面AC. E F

例2 (课本例)已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG. 证明: ∵四边形ABCD为 ① ∴AC ? AB ? AD (﹡)
D

O

EG ? OG ? OE ? kOC ? kOA
? k (OC ? OA)? kAC ? k ( AB ? AD) (﹡)代入 ? k (OB ? OA ? OD ? OA)
A

C

H

B
G

? OF ? OE ? OH ? OE E F ? EF ? EH 所以 E、F、G、H共面。

例2 已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;

②平面AC//平面EG。
证明: ② EF

? OF ? OE ? kOB ? kOA

O

? k (OB ? OA) ? kAB 由①知 EG ? kAC

D

C

? EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:

A
H

B
G

面EG // 面AC

E

F

当堂检测
???? ? ??? ? ???? 1、在平行六面体ABCD ? A , B ,C , D ,中,用AB, AD, AA , , ???? ? ???? ? ???? ? 表示 A ,C , BD , , DB ,

2、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' '

(2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD
A 第 2 题 图 B A B E C D

D’
第 A’ 1 题 图

C’ B’ M

D B

C

D

A

C

当堂检测答案
???? ? ??? ? ???? 1、在平行六面体ABCD ? A , B ,C , D ,中,用AB, AD, AA , , ???? ? ???? ? ???? ? 表示 A ,C , BD , , DB ,

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A ,C ? A , B , ? A , D , ? A , A ??? ? ???? ??? ?, ? AB ? AD ? AA
???? ? ??? ???? ? ? ??? ? BD , ? BA ? BC ? BB , ? ??? ? ???? ???? ? ? AB ? AD ? AA , ???? ? ??? ????? ? ???? DB , ? DA ? DC ? DD ,

D’ A’ D

C’ B’ M

C B

A

? ???? ??? ? ???? ? ? AD ? AB ? AA ,

当堂检测答案
2、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC ' ? x( AB ? BC ? CC ' )
(2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD
A
'

(1) AC ' ? AB ? AD ? AA '

E C

D

?x ?1

? AB ? BC ? CC
'

B A
B

(2) AE ? AA ? A?E
1 , ? AA ? ( AB ? AD) 2

D C

?x ? y ?

1

AB AC ? AD, 【练3】已知三角形ABC中, ? AB AC

则D点位于(D ) A.BC边的中线上 B.BC边的高线上

C.BC边的中垂线上

D. ∠BAC的平分线上

AB 表示与 AB 方向相同的单位向量。 AB AC 表示与 AC 方向相同的单位向量。 AC

品味高考
1.(2009? 山东卷)设P是? ABC所在的平面内的一点, ??? ? ??? ? ??? ? BC ? BA ? 2 BP, 则( ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A.PA ? PB ? 0 B.PB ? PC ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? C.PC ? PA ? 0 D.PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析 : ? BC ? BA ? 2 BP,? BC ? BP ? BA ? BP ? 0 ??? ? ??? ? 即PC ? PA ? 0.
答案:C

2.(2010? 四川卷)设点M是BC的中点, 点A在直线BC外, ??? ?2 ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? BC ? 16,| AB ? AC |?| AB ? AC |, 则 | AM |? ( A.8 C.2 B.4 D.1 )

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 解析 :由 | AB ? AC |?| AB ? AC |?| CB |?| BC |? 4, ???? ? 1 ??? ? ???? 又M为BC的中点, 所以 | AM |? | AB ? AC |? 2. 2
答案:C

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理
? ? ? ? a // b (a ? 0)

? ? a ? ?b

? ? a b

p

共面

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB

OP ? OA ?x AB ? y AC
? OP ? xOA ? yOB ? z OC ? 0 ( x ? y ? z ? 1)

OP ? xOA ? yOB ( x ? y ? 1)

运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或直线 直线平行 平行于平面

作业

?

课本p97 1、2


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