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陕西省咸阳市2014届高三下学期3月高考模拟考试(二)数学文试题(扫描版)


2014 年咸阳市高考模拟考试试题(二) 文科数学参考答案
一、选择题

二、填空题: 11.

1 9

12.

12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 13 ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 3
B. 30
?

13. 1

14 .

1 4

15. A. (??, ?2] ? [4, ??)

C. 1

三、16.(本小题满分 12 分) 解 由已知及三角形面积公式得 S ?

1 3 ac sin B ? ac cos B, 化简得 sin B ? 3 cos B, 2 2

即 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? , 所以 B ?

?
3

.

(1)解法 1:由 c ? 2a 及正弦定理得, sin C ? 2sin A ,又因为 A ? B ?

2? ,所以 3

sin(

3 2? 2? , 而0 ? A ? , ? A) ? 2sin A ,化简可得 tan A ? 3 3 3
∴A?

?
6

,C ? ? ? (

?

? )? . 3 6 2

?

?

???????????????6


2 2 2 2 2 2 2 解法 2:由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? 4a ? 2a ? 3a , ∴ b ? 3a.



a : b : c ? 1: 3 : 2

,



A?

?
6





C ? ? ? ( ? ) ? .???????????????6 分 3 6 2
(2)由 B ?

?

?

?

?

3

,A?

?

3

, 知 ?ABC 为正三角形,又 a ? 2 ,
???????????????

所以 S?ABC ? 12 分

3 ac cos B ? 3. 2

17. (本小题满分 12 分)

解: (1)证明:当 n ? 1 时,由 S1 ? 4a1 ? 3 得: a1 ? 4a1 ? 3 ,即 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时,由 Sn ? 4an ? 3 及 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 ,相减得: Sn ? Sn ?1 ? 4(an ? an ?1 ) , 即 an ? 4(an ? an ?1 ) ( n ? 2 ) ,即 知数列 {an } 是以 1 为首项,以 分 (2)由(1)知: an ? ( ) n ?1 ,得 bn ?1 ? bn ? ( )n ?1 ,所以

an 4 , ? (n ? 2) an ?1 3

4 为公比的等比数列;???????????????6 3

4 3

4 3

bn ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? (b4 ? b3 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 ) ? b1

4 4 4 4 ? ( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n?2 ? b1 3 3 3 3
4 ? ? 1? ?1 ? ( ) n ?1 ? 4 3 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? 3 ? ( ) n ?1 ???????????????12 分 4 3 1? 3
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)解:易知, AE ? 平面 BCDE , 所以 VA? BCDE ?

1 1 1 S BCDE ? AE ? ?1?1 ? ????????????6 分 3 3 3

(2)证明:∵平面 BCDE ? 平面 ADE , AE ? BE , ∴ AE ? 平面 BCDE ,而 BD 平面 BCDE , ∴ BD ? AE ,又 BD ? CE, AE ? CE ? E , ∴ BD ? 平面 ACE 19.(本小题满分 13) 解(1)根据“某段高速公路的车速( km / h )分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公 司在采样中 ,用到的是系统抽样方法 .( 注意每间隔 50 辆就抽取一辆这一条件)????3 分 ???????????12 分

? 5? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? x (? 设中位数的估计值为为 x ,则 0.01

95) ?

0.5 ,解得

x ? 97.5 ,即中位数的估计值为 97.5 .
(注意中 位 数 是 左 右 两 边 的 矩 形 的 面 积 相 等 的 底 边 的 值 ) ? ? ? ? 6 分

(2)从图中可知,车速在 ?80,85 ? 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) ,分别记为 B1 , B2 ; 车速在 [85,90) 车辆数为 m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ,分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,从这 6 辆

( 车 中 随 机 抽 取 两 辆 共 有 15 种 情 况 : ( A1 , A2 ) ,A 1
( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , A3 ),( A2 , A4 ),

(A A , )1 , A4 ) , , 3

( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , A4 ),( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A4 , B1 ), ( A4 , B2 ), ( B1 , B1 ) , 注意穷举所有的
可能结果) 抽 出 的 2 辆 车 中 车 速 在 [85,90) 的 车 辆 数 为 0 的 只 有 ( B1 , B2 ) 一 种 , 故 所 求 的 概 率

P?

1 .?12 分 15
0?0?2 2

20. (本小题满分 13 分) 解: (1)由直线 l : y ? x ? 2 和圆 O : x ? y ? b 相切得:
2 2 2

? b ,解得 b ? 2 ,

a2 ? 2 1 c 3 又e ? ? ,即 ? ,得 a 2 ? 3 2 a 3 a 3
故椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 ???????????5 分 3 2

(2)解法 1:由(1)知: A(? 3, 0) ,依题意知,直线 m 的斜率存在且不为 0 ,设直线 m

( 的 方 程 为 : y? k

x ? 3 ) (k? , 0 ) 所 以 圆 心 O(0,0) 到 直 线 m 的 距 离
, 因为直线 m 与圆 O 相交, 所以 d ? r ?

d?


0 ? 0 ? 3k k 2 ?1


?

3k k 2 ?1

2, 即


3k k 2 ?1


? 2,


k 2 ? 2且k ? 0

.



线

m





O





RS ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 ?

3k 2 2 2 ? k2 ? , k 2 ?1 k 2 ?1

所以 S?ORS =

3k 1 1 2 2 ? k2 3 , RS ? d ? ? ? ? 2 2 k 2 ?1 k 2 ?1 2
2

解得 k ? 1或k ?
2

5 1 2 ,均适合 k ? 2且k ? 0 ,所以 k ? ?1或k ? ? , 5 5

故直线 m 的方程为 y ? ?( x ? 3)或y ? ?

5 ( x ? 3) .???????????13 分 5

解法 2:由直线 m 过点 A(? 3, 0) ,设直线 m : x ? ty ? 3 ,即 x ? ty ? 3 ? 0 原点 O 到直线 m 的距离为 d ?

3 1? t2



又 RS ? 2 r ? d ? 2 2 ?
2 2

3 1 ,其中 t 2 ? 2 1? t 2

于是 S ?ORS ?

1 3 3 3 3 RS ? d ? ? 2? ? (2 ? ) 2 2 2 1? t 1? t 1? t2 1? t2

依题意得

3 3 3 2 2 (2 ? )? ,解得 t ? 1 或 t ? 5 2 2 1? t 1? t 4

于是直线 m : x ? ? y ? 3 或 m : x ? ? 5 y ? 3 即直线 m 的方程为 x ? y ? 3 ? 0, x ? 5 y ? 3 ? 0. ??????????13 分 21.(本小题满分 14 分) 解 (1)? f ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,∴ f ?( x) ?

1 1? x , ?1 ? x x

∴ f ?(1)=0 ,由导数的几何意义知:曲线 f ( x) 在点 (1, 0) 处的切线的斜率为 0,故所 求切线方程为 y ? 0 . 分 (2)由(1)知: f ?( x) ? ???????????4

1 1? x ,?当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ?1 ? x x

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .? f ( x) ? f (1) ? 0 ,? f ( x) 的最大值为 0 . ??????? 8分 (3)解法 1:依题意 f ( x1 )max ? g ( x2 )max 由(2)知 f ( x1 )max ? f (1) ? 0 问题转化为:存在 x ? [1, 2] ,使得 x ? ax ? 0 ? a ? ( x ) max ? 4 ,其中 x ? [1, 2]
3 2

其中 x1 ? (0, ??) , x2 ? [1, 2]

所以 a ? 4

???????????14 分

解法 2:对任意 x1 ? (0, ??) ,总存在 x2 ? [1, 2] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,等价于

f ( x1 )max ? g ( x2 )max ,其中 x1 ? (0, ??) , x2 ? [1, 2]
由(2)知 f ( x) max ? 0 ,因此只要对任意 x ? [1, 2] 恒有 g ( x) max ? 0 当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? ax 在 x2 ? [1, 2] 时恒为正,满足题意.
3

当 a ? 0 时, g ?( x) ? 3 x ? a ? 3( x ?
2

a a a a )(3 ? ) ,知 g ( x) 在 (??, ? ) 和 ( , ??) 3 3 3 3

上单调递增,在 ( ?

a a , ) 上单调递减. 3 3



a ? 1 即 0 ? a ? 3 时, 由 g ( x)max ? g (2) ? 8 ? 2a ? 0 ,得 a ? 4 ,即 0 ? a ? 3 ; 3 a a a ? 2 即 3 ? a ? 12 时 , g ( x) 在 [1, ] 上 递 减 , 在 [ , 2] 上 递 增 , 而 3 3 3

若 1?

g (1) ? 1 ? a ? 0 , g (2) ? 8 ? 2a 在 (3, 4] 为正,在 (4,12] 为负,可得 3 ? a ? 4 ;


a ? 2 即 a ? 12 时 g (1) ? 0, g (2) ? 0 不合题意. 3
???????????14 分

综上知 a 的取值范围为 a ? 4 .


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