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学高中数学第二章平面向量..平面向量基本定理练习新人教A版必修-课件


2.3.1 平面向量基本定理
一、A组 1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有(  )                     A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,存在λ,μ∈R,使得 a=λe1+μe2 解析:由平面向量基本定理知,D正确. 答案:D 3.在矩形ABCD中,O为对角线的交点,=5e1,=3e2,则=(  ) A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2) C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)

解析:如图,)=) =)=(5e1+3e2). 答案:A

5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足

(  ) A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 解析:如图所示,利用平行四边形法则, 将分解到上, 有,则=m=n,

很明显方向相同,则m>0; 方向相反,则n<0. 答案:B 6.在等边三角形ABC中,O为△ABC所在平面上一点,且2,则的夹角 为    . 解析:∵2, ∴O为BC的中点. 又△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC, ∴的夹角为. 答案: 7.已知向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底 {e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则 λ=     ,μ=     . 解析:由条件可知解得 答案: 8.导学号08720057设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若 =λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为     .

解析:如图,由题意知,D为AB的中点,,

∴ =)=-. ∴λ1=-,λ2=. ∴λ1+λ2=-. 答案: 9.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a,b可以作为一组基底; (2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式. (1)证明:假设a,b共线,则a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得 所以λ不存在,故a,b不共线, 即a,b可以作为一组基底. (2)解:设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得 故c=2a+b. 10.如图所示,在?ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表 示.

解:在△AMD中, ==c-; 在△ABN中, ==d-. 则有=c,=d, 两式联立 解得d-c,c-d. 二、B组

1.已知在?ABCD中,∠DAB=60°,则的夹角为(  ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:如图,

的夹角为120°. 答案:C 2.e1,e2为基底向量,已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共 线,则k的值是(  ) A.2 B.-3 C.-2 D.3

解析:∵A,B,D三点共线,∴共线. 又=e1-ke2,=e1-2e2, ∴e1-ke2=λ(e1-2e2),即∴k=2. 答案:A 3.若=a,=b,=λ(λ≠-1),则等于(  ) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b 解析:由=λ,得=λ(),化简得a+b(λ≠-1). 答案:D 4.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则= (  )

A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 解析:连接CD,OD,∵点C,D是半圆弧的两个三等分点, ∴.∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°. ∵OA=OD,∠ADO=∠DAO=30°, ∴∠CAD=∠ADO=30°. ∴AC∥DO. ∴四边形ACDO为平行四边形,. ∵a,=b,∴a+b.故选D. 答案:D 5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°, 且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为     . 解析:由题意可画出图形,

在△OAB中,∠OAB=60°, 又|b|=2|a|,∴∠ABO=30°. ∴∠BOA=90°,a与c的夹角为180°-∠BOA=90°. 答案:90°

6.如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的 中点,若=λ+μ,则λ+μ=     . 解析:因为AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC, 所以BH=1,BH=BC. 因为点M为AH的中点, 所以) =. 所以λ=,μ=,故λ+μ=. 答案: 7.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点M,N,且(λμ≠0),有人 说无论M,N在AB,AC上如何变动,恒有λ+μ=3成立.你认为上述说法是否 正确?请说明理由.

解:题中说法是正确的. 理由:事实上,不难证明), 由于M,G,N三点共线,则存在实数m,满足=m+(1-m), 于是, 即∴μ+λ=3. 8.导学号08720058如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延 长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.

(1)求x的取值范围. (2)当x=-时,求y的取值范围. 解:(1)因为=x+y,以OA的反向延长线和OB为两邻边作平行四边形, 由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线, 当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(∞,0).

(2)如图所示,当x=-时,在OA的反向延长线上取点C,

使OC=OA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E, 则CD=OB,CE=OB, 要使点P落在指定区域内,则点P应落在DE上,当点P在点D处时,=-, 当点P在点E处时,=-, 所以y的取值范围是.


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