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高一数学必修 2 第一章 空间几何体的表面积与体积 基础自测 1. 如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 根 据 图 中 数 据 , 可 得 该 几 何 体 的 表 面 积 是 . 2. 如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 是 A1B1 上一点,且 PB1= A1B1,则多面体 P-BCC1B1 的体积为 . 3.已知正方体外接球的体积为 ,那么正方体的棱长等于 . 4. 若 三 棱 锥 的 三 个 侧 面 两 两 垂 直 , 且 侧 棱 长 均 为 ,则其外接球的表面积 是 . 5 三棱锥 S—ABC 中,面 SAB,SBC,SAC 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形, 且 AB=BC=CA=2,则三棱锥 S—ABC 的表面积是 . 例题精讲 1. 如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且 a>b>c >0. 求沿着长方体的表面自 A 到 C1 到一几何体, 的最短线路的长. 2. 如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得 求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 3 . 如 图 所 示 , 长 方 体 ABCD—A′B′C′D′ 中 , 用 截 面 截 下 一 个 棱 锥 C— A′DD′, 求棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 4. 如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°, E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起, 使 A、B 重合,求形成的三棱锥的外接球的体积. 巩固练习 1. 如 图 所 示 , 在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 , 底 面 为 直 角 三 角 形 , ∠ACB=90°, AC=6,BC=CC1= .P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是 . 2.如图所示,扇形的中心角为 90°,其所在圆的半径为 R,弦 AB 将扇 形分成两个部分,这两部分各以 AO 为轴旋转一周,所得旋转体的体积 V1 和 V2 之比为 . 3.如图所示,三棱锥 A—BCD 一条侧棱 AD=8 cm,底面一边 BC=18 cm, 其余四条棱的棱长都是 17 cm,求三棱锥 A—BCD 的体积. 4. 如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 中,底面边长为 a, 侧棱长为 a. (1)求它的外接球的体积; (2)求它的内切球的表面积. 课后作业 一、填空题 1. 如图所示,E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点,沿线 AF, AE,EF 折起来,则所围成的三棱锥的体积为 . 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,对角线长为 2 ,则这个长 方体的体积是 . 3.已知三棱锥 S—ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO⊥ 底面 ABC,AC= r,则球的体积与三棱锥体积的比值是 ,侧棱长为 . 的正六棱柱的所有顶 4.(2007·辽宁文,15)若一个底面边长为 点都在一个球的面上,则此球的体积为 . 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积 是 . 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的 一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 . 7.(2008·四川理, 15)已知正四棱柱的对角线的长为 角的余弦值为 ,则该正四棱柱的体积等于 ,且对角线与底面所成 . 8.(2008·上海春招)已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均 为 1, 其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积 V= 二、解答题 . 9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是 (1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积. cm, 10.如图所示,正△ABC 的边长为 4,D、E、F 分别为各边中点,M、N、 P 分别为 BE、DE、EF 的中点,将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成了三棱锥以后. (1)∠MNP 等于多少度? (2)擦去线段 EM、EN、EP 后剩下的几何体是什么?其侧面积为多少? 11.如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=1,BB1=2, E 是棱 CC1 上的点,且 CE= CC1. (1)求三棱锥 C—BED 的体积; (2)求证:A1C⊥平面 BDE. 12.三棱锥 S—ABC 中,一条棱长为 a,其余棱长均为 1,求 a 为何值时 VS—ABC 最大,并求最大值. 参考答案 基础自测 1. 12 9 5. 3+ 例题精讲 1.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示. 2. 3. 4. 三个图形甲、乙、丙中 AC1 的长分别为: = 2. 解 , = = , . , ∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0.故最短线路的长为 如图所示,过 C 作 CO1⊥AB 于 O1, 在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= R,BC=R,CO1= = × = × R× R×R= R,∴S 球=4 R2, R= R2, R2,∴S 几何体表=S 球+ + = 又 = R2+ R2= R2,∴旋转所得到的几何体的表面积为 V R2·AO1 R2. 球 R3, = ·AO1· CO12= = BO1· CO12= BO1· R2 ∴V 几何体=V 球-( + )= R3R3= R3. 3. 解 已知长方体可以看成直四棱柱 ADD′A′—BCC′B′. 设它的底面 ADD′A′面积为 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh. 而棱锥 C—A′DD′的底面面积为 S,高是 h, 因此,棱锥 C—A′DD′的体积 VC—A′DD′= × Sh=

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