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山东省临沂市2015届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1.已知全集 U=R,A={x|x>1},B={x|x ﹣2x>0},则?U(A∪B)=( ) A.{x|x≤2} B.{x|x≥1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2} 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=(x﹣1) B.y=2 C.y=|lnx| D.y= 3.已知命题 p:2≤2;q: 是有理数,则下列命题为真命题的是( ) A. p∧q B. p∧¬q C. ¬p∧q 4.已知 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) ,则 g(x)等于() A. 2x+1 B.2x﹣1 C. 2x﹣3 5.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点, = , A. 6.函数 y= = ,则 =() C. D.
2
﹣x

D. D.

¬p∧¬q

2x+7

B.

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C. =() B. ﹣
a

D.

7.已知角 α 的终边经过点(3,﹣4) ,则 tan A. ﹣

C. 2 D . 3

8.给出下列四个结论:①函数 f(x)=|log2x|是偶函数;②若 9 =9,log3x=a,则 x= ; x x ③若?x∈R,e ≥x+1,则¬p:?x0∈R,e ≤x+1;④“x>3”是“|x﹣2>1|”的充分不必要条件, 其中不正确的结论的个数是() A. 0 B. 1 C. 3 D. 3 9.已知函数 f(x)=sin(x﹣φ) ,且 A. x=
x

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是() C.x= 时, D.x= 恒成立,则实数

B.x=
﹣x

10.设 f(x)=2 ﹣2 .若当

m 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣2) B. (﹣∞,﹣2]∪ 现有以下四个函数: 2 x ①f(x)=x ,x∈(0,+∞) ;②f(x)=e ;③f(x)=lnx;④f(x)=cosx 则具有性质 P 的为(把所有符合条件的函数编号都填上) .

1

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 sin(x+ )cos(x+ )﹣sin(2x﹣π) . (1)求 f(x)的单调增区间; (2)

若将函数 f(x)的图象向右平移 最小值.

个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间上的最大值和

17. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosA= ,2cosC=sinB. (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ ABC 的面积.

18. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围成 的区域(含边界)上. (Ⅰ)若 + + = ,求| |; (Ⅱ)设 =m +n (m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

19. (12 分)已知数列{an}的通项公式为 an=n cos

2

(n∈N ) ,其前 n 项和为 Sn.

*

(1)求 a3n﹣2+a3n﹣1 及 S3n 的表达式; (2)设

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

20. (13 分)根据统计资料,某工厂的日产量不超过 20 万件,每日次品率 P 与日产量 x(万件)之间近似地满足

关系式 p=

,已知每生产 1 件正品可盈利 2 元,而生产 1 件次品亏损 1 元, (该工厂的

日利润 y=日正品盈利额﹣日次品亏损额) . (1)将该过程日利润 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少元?

21. (14 分)设函数 f(x)=



(1)若函数 f(x)在区间(t,t+ )上存在极值,求实数 t 的取值范围; (2)若对任意的 x1,x2,当 x1>x2≥e 时,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥k| |,求实数 k 的取值范围;

(3)是否存在实数 m,n(m<n) ,当 x∈时 f(x)的值域为?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.

2

山东省临沂市 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 2 1. (5 分)已知全集 U=R,A={x|x>1},B={x|x ﹣2x>0},则?U(A∪B)=() A.{x|x≤2} B.{x|x≥1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集确定出 B,根据全集 U=R 求出 B 的补集,找出 A 与 B 并集的补集的并集即可. 解答: 解:由 B 中不等式解得:x ﹣2x>0,得到 B={x|x>2 或 x<0}, ∵全集 U=R, ∴A∪B={x|x>1 或 x<0}, ∴?U(A∪B)={x|0≤x≤1} 故选:C. 点评: 此题考查了并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=(x﹣1)
2 2

B.y=2

﹣x

C.y=|lnx|

D.y=

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的单调性特征,确定各个函数的单调区间,选出正确选项,得到本题结论. 2 解答: 解:选项 A,y=(x﹣1) 在(﹣∞,1)上单调递减,在 考点: 复合命题 的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 容易判断出 p 为真命题,q 为假命题,所以根据 p∧q,¬p,¬q 真假和 p,q 真假的关系即可找出正确 选项. 解答: 解:命题 p 是真命题,q 是假命题; ∴p∧q 为假命题,¬q 为真命题,p∧¬q 为真命题,¬p 为假命题,¬p∧q 为假命题,¬p∧¬q 为假命题; ∴B 正确. 故选 B. 点评: 考查对有理数集的认识,真假命题的概念,以及 p∧q,¬p,¬q 真假和 p,q 真假的关系. 4. (5 分)已知 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) ,则 g(x)等于() A.2x+1 B.2x﹣1 C.2x﹣3 D.2x+7 考点: 专题: 分析: 析式. 解答:
3

函数解析式的求解及常用方法. 计算题. 先根据 f(x)的解析式求出 g(x+2)的解析式,再用 x 代替 g(x+2)中的 x+2,即可得到 g(x)的解 解:∵f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) ,

∴g(x+2)=2x+3=2(x+2)﹣1, ∴g(x)=2x+3=2x﹣1 故选 B 点评: 本题主要考查了由 f(x)与一次函数的复合函数的解析式求 f(x)的解析式,关键是在 g(x+2)中凑 出 x+2,再用 x 代替 x+2 即可.

5. (5 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点,

= ,

= ,则

=()

A.

B.

C.

D.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 连结 CD、OD,由圆的性质与等腰三角形的性质,证出 CD∥AB 且 AC∥DO,得到四边形 ACDO 为平 行四边形,再根据题设条件即可得到用表示向量的式子. 解答: 解:连结 CD、OD, ∵点 C、D 是半圆弧 AB 的两个三等分点, ∴ = ,可得 CD∥AB,∠CAD=∠DAB= ×90°=30°,

∵OA=OD ∴∠ADO=∠DAO=30°, 由此可得∠CAD=∠D AO=30°, ∴AC∥DO. ∴四边形 ACDO 为平行四边形, ∴ = + = + ,

故选:A 点评: 本题给出半圆弧的三等分点,求向量的线性表示式.着重考查了圆周角定理、平行四边形的判定与向量 的线性运算等知识,属于中档题.

6. (5 分)函数 y=

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

4

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据 x 与零的关系对解析式进行化简, 并用分段函数表示, 根据 a 的范围和指数函数的图形选出答案. 解答: 解:当 x>0 时,y= 当 x<0 时,y=
x

=a ,因为 0<a<1,所以函数为减函数,

x

=﹣a ,因为 0<a<1,所以函数为增函数,

只有 D 符合, 故选:D 点评: 本题考查函数的图象,函数是高中数学的主干知识,是 2015 届高考的重点和热点,属于基础题. 7. (5 分)已知角 α 的终边经过点(3,﹣4) ,则 tan A.﹣ B. ﹣ C. 2 =() D.3

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 利用任意角的三角函数的定义先求出 tanα,由二倍角的公式可求出 tan 解答: 解:角 α 的终边上的点 P(3,﹣4) ,故 由任意角的三角函数的定义得 tanα= . 为第 2 或第 4 象限角. 的值.

故有

=

,解得 tan

=﹣ 或 2(舍去)

故选:B. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,二倍角公式的应用,考查计算能力. 8. (5 分)给出下列四个结论: ①函数 f(x)=|log2x|是偶函数; a ②若 9 =9,log3x=a,则 x= ; x x ③若?x∈R,e ≥x+1,则¬p:?x0∈R,e ≤x+1; ④“x>3”是“|x﹣2>1|”的充分不必要条件, 其中不正确的结论的个数是() A.0 B. 1 C. 3

D.3

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: ①,可求得函数 f(x)=|log2x|的定义域,是否关于原点对称可判断①; ②,依题意,可求得 a=1,继而可求得 x 的值,从而可判断②; ③,写出命题 p 的否定,可判断③; ④,利用充分必要条件的概念可判断④.
5

解答: 解:①,∵函数 f(x)=|log2x|的定义域为(0,+∞) ,不关于原点对称,不是偶函数,故①错误; a ②,若 9 =9,则 a=1, ∵log3x=a=1,则 x=3≠ ,故②错误; x x ③,若?x∈R,e ≥x+1,则¬p:?x0∈R,e <x+1,故③错误; ④,若 x>3,则|x﹣2|=x﹣2>1,充分性成立;反之,若|x﹣2|>1,则 x>3 或 x<1,即必要性不成立, ∴“x>3”是“|x﹣2|>1”的充分不必要条件,故④正确. 故选:C. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查函数的奇偶性及函数的求值, 突出考查命题的否定及充分必 要条件的概念,属于中档题.

9. (5 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣φ) ,且 A.x= B.x=

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是() C. x= D. x=

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用 f(x)dx=0 求出 φ 值,然后找出使 f(x)取得最值的 x 即可.

解答: 解: 因为 所以 sin(φ﹣

f (x) dx=0, 即且

sin (x﹣φ) dx=0, 所以﹣cos (x﹣φ) |

=﹣cos (

﹣φ) +cosφ=0,

)=0,解得 φ= ﹣kπ) ,

+kπ,k∈Z;

所以 f(x)=sin(x﹣

所以函数 f(x)的图象的对称轴是 x﹣

﹣kπ=k′π±

,所以其中一条对称轴为 x=



故选 A. 点评: 本题考查了定积分的计算以及三角函数的对称轴的求法, 只要使三角函数取得最值的自变量的值, 就是 三角函数的一条对称轴. 10. (5 分)设 f(x)=2 ﹣2 .若当 则实数 m 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣2) B. (﹣∞,﹣2]∪ 又易知 f(x)=2 ﹣2 所以 也即 m﹣ 当 >3﹣m ,即 时,cosθ∈
2 x
﹣x

x

﹣x

时,

恒成立,

为增函数, 可化为 f( 在当 )>﹣f(m ﹣3)=f(3﹣m ) , 时恒成立,
2 2

6

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先根据三角形的面积公式求出 T 和 ω 的值,进一步求出 A 的值,最后利用 C( ,0) ,求出 φ 的值, 进一步确定函数的解析式. 解答: 解:函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图,B 为图象的最高点,C、D 为图象与 x 轴的交点,△ BCD 为正三角形,且 S△ BCD=4 , 设等边三角形的边长为 x, 则:利用三角形的面积公式: , 解得:x=4, 所以:T=8, , B 的纵坐标为函数的最大值:A= 当 x= 故函数的解析式: , . ,

点评: 本题考查的知识要点:利用函数的图象求函数的解析式,主要确定 A,ω 和 φ 的值.

14. (5 分)已知二次不等式 ax +2x+b>0 的解集{x|x

2

},且 a>b,则

的最小值为 2



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由二次不等式和二次方程的根的关系可得 ab=1,而要求的式子可化为: (a﹣b)+ 求最值可得结果. 解答: 解:∵二次不等式 ax +2x+b>0 的解集{x|x ∴a>0,且对应方程有两个相等的实根为 由根与系数的故关系可得 ,即 ab=1
2

,由基本不等式

},

7



=

=(a﹣b)+



∵a>b,∴a﹣b>0,由基本不等式可得 (a﹣b)+ 当且仅当 a﹣b= 故 ≥2 时取等号 =2 ,

的最小值为:2

故答案为:2 点评: 本题为基本不等式求最小值, 涉及不等式的解集跟对应方程根的关系, 把要求的式子化简成可利用基本 不等式的形式是解决问题的关键,属中档题. 15. (5 分)记函数 f(x)的定义域为 D,若 f(x)满足: (1)?x1,x2∈D,当 x1≠x2 时, > 0;

(2)?x∈D,f(x+2)﹣f(x+1)≥f(x+1)﹣f(x) ,则称函数 f(x)具有性质 P. 现有以下四个函数: 2 x ①f(x)=x ,x∈(0,+∞) ;②f(x)=e ;③f(x)=lnx;④f(x)=cosx 则具有性质 P 的为①②(把所有符合条件的函数编号都填上) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意,在同一直角坐标系中,分别作出①f(x)=x ,x∈(0,+∞) ;②f(x)=e ;③f(x)=lnx; ④f(x)=cosx 的图象,即可得到答案. 解答: 解:由(1)知函数 f(x)为定义域 D 上的增函数; 由(2)知,f(x+2)+f(x)≥2f(x+1) ,即
2 2 x

≥f(x+1) ;
x

在同一直角坐标系中,分别作出①f(x)=x ,x∈(0,+∞) ;②f(x)=e ;③f(x)=lnx;④f(x)=cosx 的 图象,

8

由图可知,具有性质 P 的为①②. 故答案为:①②. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查基本初等函数的单调性与凸性,作图是关键,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 最小值. 考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式化简解析式,再由正弦函数的增区间求出 f(x) 的增区间; (2)根据图象的平移法则求出 g(x)的解析式,由 x 的范围求得 质求出 g(x)的最值. 解答: 解: (1) 由题意得,f(x)=2 =
9

sin(x+

)cos(x+

)﹣sin(2x﹣π) .

个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间上的最大值和

,再由正弦函数得性

sin(x+

)cos(x+

)﹣sin(2x﹣π)

sin2(x+

)+sin2x=

= 由

, 得, ,

所以 f(x)的单调增区间是 (2)将函数 f(x)的图象向右平移 则 g(x)= 由 0≤x≤ 当 当 得,

; 个单位,得到函数 g(x)的图象, = , ,

时,即 x=0 时,g(x)取最小值是 时,即 x= 时,g(x)取最大值是 2



所以函数 g(x)在区间上的最大值和最小值是 2、 . 点评: 本题考查二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式,以及正弦函数的性质的综合应用,属于中档题. 17. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosA= ,2cosC=sinB. (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值,进一步求出正切值. (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosA= , 所以:sinA= , 由于:2cosC=sinBsin(A+C) , 2cosC=sinAcosC+cosAsinC, 解得:tanC=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:tanC=2, 所以:sinC= 由正弦定理得: 解得:c= , ,cosC= , ,

由于:2cosC=sinB,
10

sinB=

, ×

点评: 本题考查的知识要点:同角三角函数的恒等关系式,利用正弦定理求三角形的面积. 18. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围成 的区域(含边界)上. (Ⅰ)若 (Ⅱ)设 + =m + +n = ,求| |;

(m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)先根据 决; (Ⅱ)利用向量的坐标运算,先求出 m﹣n 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)∵A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) , ∴(1﹣x,1﹣y)+(2﹣x,3﹣y)+(3﹣x,2﹣y)=0 ∴3x﹣6=0,3y﹣6=0 ∴x=2,y=2, 即 ∴ (Ⅱ)∵A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) , ∴ ∵ =m +n , , =(2,2) + + = , , ,再根据 =m +n ,表示出 m﹣n=y﹣x,最后结合图形,求出 + + = ,以及各点的坐标,求出点 p 的坐标,再根据向量模的公式,问题得以解

∴(x,y)=(m+2n,2m+n) ∴x=m+2n,y=2m+n ∴m﹣n=y﹣x, 令 y﹣x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m﹣n 的最大值为 1.

11

点评: 本题考查了向量的坐标运算,关键在于审清题意,属于中档题,
2

19. (12 分)已知数列{an}的通项公式为 an=n cos (1)求 a3n﹣2+a3n﹣1 及 S3n 的表达式; (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(n∈N ) ,其前 n 项和为 Sn.

*

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等 比数列. 分析: (1)根据题意和诱导公式分别求出 a3n﹣2、a3n﹣1 和 a3n,再求出一个周期的和:a3n﹣2+a3n﹣1+a3n 的值, 利用分组求和法求出 S3n 的表达式; (2)由(1)和题意求出数列{bn}的通项公式,利用错位相减法能求出数列{bn}的前 n 项和. 解答: 解: (1)由题意得,an=n cos
2

(n∈N ) ,

*

所以 a3n﹣2=

=

=



a3n﹣1= a3n= =9n ,
2

=

则 a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=

=



所以 S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3n﹣2+a3n﹣1+a3n) =( )+( = )+…+( )

=9(1+2+…+n)﹣ = ,

12

(2)由(1)得, 则 Tn= Tn= ①﹣②得, Tn= + +

= ①, ②,

=



=

= 所以 Tn=

= .



点评: 本题考查诱导公式的应用, 等差、 等比数列的前 n 项和公式, 以及数列的前 n 项和的求法: 错位相减法、 分组求和法的合理运用,以及余弦函数周期性的应用. 20. (13 分)根据统计资料,某工厂的日产量不超过 20 万件,每日次品率 P 与日产量 x(万件)之间近似地满足

关系式 p=

,已知每生产 1 件正品可盈利 2 元,而生产 1 件次品亏损 1 元, (该工厂的

日利润 y=日正品盈利额﹣日次品亏损额) . (1)将该过程日利润 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少元? 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;分段函数的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: 本题(1)根据题中的数量关系构造日利润 y(万元)表示为日产量 x(万件)的分段函数,得到本题结 论; (2)利用导函数得到原函数的单调区间,从而研究函数的最值,得到本题结论. 解答: 解: (1)由题意知: 当 0<x≤12 时, y=2x(1﹣p)﹣px, ∴ 当 12<x≤20 时, y=2x(1﹣p)﹣px, =2x(1﹣ )﹣ = . = ,

13





(2)①当 0<x≤12 时, , 当 0<x<10 时,y′>0, 当 10<x≤12 时,y′<0. 当 x= 10 时,y′=0, ∴当 x=10 时,y 取极大值 ②当 12<x≤20 时, y= ≤10, .

∴当 x=20 时,y 取最大值 10. ∵ , . 万元.

∴由①②知:当 x=10 时,y 取最大值

∴该工厂日产量为 10 万件时,该最大日利润是

点评: 本题考查了实际问题的数学建模,还考查了用导函数研究函数的最值,还考查了 分类讨论的数学思想, 本题难度适中,属于中档题.

21. (14 分)设函数 f(x)=



(1)若函数 f(x)在区间(t,t+ )上存在极值,求实数 t 的取值范围; (2)若对任意的 x1,x2,当 x1>x2≥e 时,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥k| |,求实数 k 的取值范围;

(3)是否存在实数 m,n(m<n) ,当 x∈时 f(x)的值域为?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意可得函数 f(x)在区间(t,t+ )上存在极值,即 f′(x)=0 在(t,t+ )上有实数解,利 用导数解得即可; (2)由(1)可得 f(x)在时 f(x)的值域为. 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,考查学生分析问题、解决问题的能力及 运算求解能力,综合性、逻辑性强,属于难题.

14


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