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2013年-高考试卷及答案解析-数学-文科-重庆(精校版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆文)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 ? U ( A ? B ) ? A. {1,3, 4} B. {3, 4} C. {3} D. {4}

2.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 A.对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 C.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 D.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

3.函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
B. (2, ??) D. (2, 4) ? (4, ??)

A. (??, 2) C. (2,3) ? (3, ??)

2 2 4.设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ 的最小值为

A.6

B.4

C.3

D.2

5.执行如题(5)图所示的程序框图,则输出的 k 的值是 A.3 B.4 C.5 D.6

6.下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量 (单位: 台) 的茎叶图, 则数据落在区间[20,30) 内的概率为 A.0.2 C.0.5 B.0.4 (D)0.6 1 2 3 8 1 0 9 2 0 2 3 7 9

-1-

7.关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? A.

5 2

B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

8.某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为 A. 180 B. 200 C. 220 D. 240 9.已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R ) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?
3

A. ?5

B. ?1

C. 3

D. 4

10.设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 600 的直线 A1 B1 和

A2 B2 ,使 A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,
则该双曲线的离心率的取值范围是 A. (

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

二.填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题 卡相应位置上. 11.已知复数 z ? 1 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 12.若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? . . . .

13.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为

OB ? (?2, k ) , 14. OA 为边, 则实数 k ? OA ? (?3,1) , OB 为对角线的矩形中,
2

??? ?

??? ?

15. 设 0 ? ? ? ? ,不 等式 8 x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒 成 立, 则 a 的取 值范 围 为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? 3an , n ? N ? .
-2-

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 .

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ) 、 (Ⅲ)小问各 2 分) 从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位: 千元) 与月储蓄 y(单 i 位:千元)的数据资料,算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

? ?a ?. y ? bx 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ?

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 9 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的 值.

-3-

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如题 (19)图,四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD ,PA ? 2 3 ,BC ? CD ? 2 ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3



(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; ( Ⅱ ) 若 侧 棱 PC 上 的 点 F 满 足 PF ? 7 FC , 求 三 棱 锥

P ? BDF 的体积.

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高 为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/ 平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为 圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V ( r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

-4-

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上, 离心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 2

A? 两点, AA? ? 4 .
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的 圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的 标准方程.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试答案(重庆文)
1.答案:D 解析:∵ A ? B ? {1, 2} ? {2,3} ? {1, 2,3} , U ? {1, 2,3, 4} ,∴ CU ( A ? B) ? {4} 2.答案:A 解析:由全称命题 p : ?x ? D , p ( x) 的否定为 ? p : ?x0 ? D , ?p( x)0 3.答案:C 解析:由题知 ? 4.答案:B
3 2 解析:由圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 知,圆心的坐标为 (3, ?1) ,半径 r ? 2 ,

? x ? 2 ? 0, ?x ? 2 ?x ? 2 ,解得 ? 即? ?x ? 2 ? 1 ?x ? 3 ?log 2 ? x ? 2? ? 0

∴圆心到直线 x ? ?3 的距离 d ?| 3 ? (?3) |? 6 . ∴ | PO |min ? d ? r ? 6 ? 2 ? 4

-5-

5.答案:C 解析: k ? 1, s ? 1 ? (1 ?1)2 ? 1 ; k ? 2, s ? 1 ? (2 ?1)2 ? 2 ; k ? 3, s ? 2 ? (3 ?1)2 ? 6

k ? 4, s ? 6 ? (4 ?1)2 ? 15 ; k ? 5, s ? 15 ? (5 ?1)2 ? 31 ? 15 ,所以 k ? 5
6.答案:B 解析:数据总个数 n ? 10 ,又∵落在区间 [22,30) 内的数据个数为 4, ∴所求的频率为 7.答案:A 解析: 由 x2 ? 2ax ? 8a2 ? 0(a ? 0) , 得 (x ? 4a ( ) x 2? )a 0 ? , 即 ?2a ? x ? 4a , 即 x1 ? ?2a ,

4 ? 0.4 10

x2 ? 4a ∵ x2 ? x1 ? 4a ? (?2a) ? 6a ? 15 ,
所以 a ?

15 5 ? . 6 2

8.答案:D 解析:由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱,

如图所示, S上 =2 ?10=20 ,S下 =8 ?10=80 ,S前 =S后 =10 ? 5=50 ,

1 S左 =S右 = (2 ? 8) ? 4 ? 20 ,所以 S表 ? 240 2
9.答案:C 解析: log 210 ?

1 3 ,所以 lg(log2 10) ? lg(lg 2)?1 ? ? lg(lg 2) .令 g ( x) ? ax ? b sin x , lg2

易 知 g ( x) 为 奇 函 数 . f (lg(log2 10)) ? f (? lg(lg 2)) ? g (? lg(lg 2)) ? 4 ? 5 , 所 以

g (? lg(lg 2)) ? 1 ∴ g (lg(lg 2)) ? ?1 ,即 f (lg(lg 2)) ? g (lg(lg 2)) ? 4 ? ?1 ? 4 ? 3
10.答案:A 解析:不妨令双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由 | A1B1 |?| A2 B2 | 及双曲线的对称 a 2 b2

性知 A1 , A2 , B1 , B2 关于 x 轴对称,如图. 又 因 为 满 足 条 件 的 直 线 只 有 一 对 , 所 以

b t a n ? 3 ?0 a

?

3 b t ,即 a ?n 6 0 ? ? 3. 3 a

1 b2 1 c2 ? a2 2 2 2 ? 3 ,即 所以 ? 2 ? 3 ,∵ b ? c ? a ,∴ ? 3 a 3 a2

-6-

?2 3 ? 4 2 3 ? e 2 ? 4 ,综上 <e≤2,即 e∈ ? 2? ? 3 , 3 3 ? ?
11.答案: 5 解析: z ? 1 ? 2i ,所以 |z| ? 12 ? 22 ? 5 12.答案:

7 2

解析:设公差为 d ,则 c ? a ? 2d ? 2 ? 13.答案:

9?2 7 7 ? 2? ? 5 ?1 4 2

2 3

解析:甲、乙、丙三人随机站在一排有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙 甲,共 6 种. 若甲、 乙两人相邻而站则有甲乙丙、 丙甲乙、 乙甲丙、 丙乙甲, 共 4 种, 故所求的概率为 14.答案:4 解析:∵ OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) , 所以 AB = OB - OA ? (?2, k ) ? (?3,1) ? (1, k ?1) . 又 OA , AB 为矩形相邻两边所对应的向量, 所以 OA ? AB ,即 OA ·AB ? ?3?1 ? 1? (k ?1) ? ?4 ? k ? 0 ,即 k ? 4 . 15.答案: ?0, ? ? ? , π ? ? 6? ? 6 ? 解析:不等式 8x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,
2

4 2 ? 6 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?
?

? π?

? 5π

则有 ? ? (8sin ? ) ? 4 ? 8cos 2? ? 64sin
2

2

? ? 32cos 2? ? 0 ,

即 2sin

2

? ? cos 2? ? 2sin 2 ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) ? 4sin 2 ? ?1 ? 0 .
1 1 1 .即 ? ? sin ? ? . 4 2 2

2 所以 sin ? ?

又 0 ? ? ? ? ,结合下图可知, ? ? ?0, ? ? ? , π ? . ? 6? ? 6 ? 16.解析:(1)由题设知 {an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 an ? 3n?1 , Sn ?

? π?

? 5π

?

1 ? 3n 1 n ? (3 ? 1) . 1? 3 2

(2) b1 ? a2 ? 3 , b3 ? 1 ? 3 ? 9 ? 13 , b3 ? b1 ? 10 ? 2d ,
-7-

所以公差 d ? 5 ,故 T20 ? 20 ? 3 ? 17.解析:(1)由题意知

20 ?19 ? 5 ? 1010 2

n ? 10 , x ?
又 lxx ?
n

1 n 80 1 n 20 , x ? ? 8 y ? yi ? ? 2, ? ? i n i ?1 10 n i ?1 10 ? nx 2 ? 720 ? 10 ? 82 ? 80 ,

?x
i ?1

n

2

i

lxy ? ? xi yi ? nx y ? 184 ? 10 ? 8 ? 2 ? 24 ,
i ?1

由此得 b ?

lxy lxx

?

24 ? 0.3 , a ? y ? bx ? 2 ? 0.3? 8 ? ?0.4 , 80

故所求回归方程为 y ? 0.3x ? 0.4 (2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加( b ? 0.3 ? 0 ),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x ? 7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 (千元) 18.解析:(1)由余弦定理得 cosA ? 又因 0 ? A ? ? ,所以 A ? (2)由(1)得 sin A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 3 . ? ?? 2bc 2bc 2

5π . 6

1 , 2

又由正弦定理及 a ? 3 得

1 1 a sin B S ? bc sin A ? a sin C ? 3sin B sin C , 2 2 sin A
因此, S ? 3cos B cos C ? 3(sin B sin C ? cos B cos C ) ? 3cos( B ? C ) . 所以,当 B ? C ,即 B ?

π? A π ? 时, S ? 3cos B cos C 取最大值 3. 2 12

19.解析:(1)证明:因 BC ? CD ,即 ?BCD 为等腰三角形, 又 ?ACB ? ?ACD ,故 BD ? AC . 因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? BD . 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA , AC 都垂直, 所以 BD ? 平面 PAC . (2)三棱锥 P ? BCD 的底面 BCD 的面积 S?BCD ? 由 PA ? 底面 ABCD ,得
-8-

1 1 2? BC ? CD ? ? 2 ? 2 ? sin ? 3 2 2 3

1 1 VP ? BCD ? ? S ?BCD ? PA ? ? 3 ? 2 3 ? 2 . 3 3
由 PF ? 7 FC ,得三棱锥 F ? BCD 的高为 故 VF ? BCD ?

1 PA , 8

1 1 1 1 1 S ?BCD ? PA ? ? 3 ? ? 2 3 ? , 3 8 3 8 4

所以 VP ? BDF ? VP ? BCD ? VF ? BCD ? 2 ?

1 7 ? 4 4

20.解析: (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100 ? 2? rh ? 200? rh 元, 底面的总成本为 160? r 2 元, 所以蓄水池的总成本为 (200? rh ? 160? r 2 ) 元.
2 又据题意 200? rh ? 160? r ? 12000? ,

所以 h ?

1 (300 ? 4r 2 ) , 5r

2 从而 V (r ) ? ? r h ?

?
5

(300r ? 4r 2 ) .

因 r ? 0 ,又由 h ? 0 可得 r ? 5 3 , 故函数 V (r ) 的定义域为 (0,5 3) . (2)因 V (r ) ?
' 故 V (r ) ?

?
5

(300r ? 4r 3 ) ,

?
5

(300 ? 12r 2 ) .

令 V (r ) ? 0 ,解得 r1 ? 5 , r2 ? ?5 (因 r2 ? ?5 不在定义域内,舍去).
'

当 r ? (0,5) 时, V (r ) ? 0 ,故 V(r)在(0,5)上为增函数;
'

当 r ? (5,5 3) 时, V (r ) ? 0 ,故 V (r ) 在 (5,5 3) 上为减函数.
'

由此可知, V (r ) 在 r ? 5 处取得最大值,此时 h ? 8 . 即当 r ? 5 , h ? 8 时,该蓄水池的体积最大. 21.解析:(1)由题意知点 A(?c, 2) 在椭圆上,则 由e ?

??c ?2 22 4 ? 2 ? 1.从而 e 2 ? 2 ? 1 . 2 b a b

b2 4 2 2 2 ? 8 a ? ? 16 . 得b ? ,从而 1 ? e2 1 ? e2 2 x2 y 2 ? ? 1. 16 8

故该椭圆的标准方程为

(2)由椭圆的对称性,可设 Q( x0 ,0) .

-9-

又设 M ( x, y ) 是椭圆上任意一点,则

| QM |2 ? ( x ? x0 ) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 x0 x ? x0 2 ? 8(1 ?

x2 1 ) ? ( x ? 2 x0 ) 2 ? x0 2 ? 8( x ? [?4, 4]) . 16 2

设 P( x1 , y1 ) ,由题意, P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x ? x1 时取最小值, 又因 x1 ? (?4, 4) ,所以上式当 x ? 2 x0 时取最小值,从而 x1 ? 2 x0 ,且 | QP |2 ? 8 ? x02 . 由对称性知 P' ( x1 , ? y1 ) ,故 | PP' |?| 2 y1 | , 所以 S ?

? x2 ? 1 1 | 2 y1 || x1 ? x0 | ? 2 8 ?1 ? 1 ?|x0 |= 2 (4 ? x0 2 ) x0 2 ? 2 ?( x0 2 ? 2) 2 ? 4 2 2 ? 16 ?

当 x0 ? ? 2 时, ?PP 'Q 的面积 S 取到最大值 2 2 . 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(? 2,0) ,半径 | QP |? 8 ? x0 ?
2

6,

因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为 ( x ? 2)2 ? y2 ? 6 , ( x ? 2)2 ? y2 ? 6 .

- 10 -


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