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数学:3.2-3《二倍角、半角的三角函数》教案(北师大版必修4).doc1


3.2 二倍角的正、余弦和正切 一.教学目标:

3.3 半角的三角函数

1.知识与技能 (1)能够由和角公式而导出倍角公式; (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑 推理能力; (3)能推导和理解半角公式; ( 4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的 参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式, 领会从一般化归为特殊的数学思 想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过 做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握 三角函数各个公式的各种变形, 增强学生灵活运用数学知识、 逻辑推理能力和综合分析能 力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归 为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果 ? ? ? ,公式会变得如何? 3、让学生板演得下述二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan 2? ?

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

? ? 是 的倍角. 4 8

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)

例 1.(公式巩固性练习)求值: ①.sin22?30’cos22?30’=

1 2 sin 45? ? 2 4

②. 2 cos

2

? ? 2 ? 1 ? cos ? 8 4 2

③. sin

2

? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? 8 8 4 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos cos cos ? 4 sin cos cos ? 2 sin cos ? sin ? 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2

④. 8 sin

例 2.化简 ①. (sin

5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2 ? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2

②. cos

4

③.

1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
2 2 2

④. 1 ? 2 cos ? ? cos2? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 例 3、已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2 5 ? 12 2 , ? ? ( , ?) 解:∵ sin ? ? ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13 2 13 120 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 169 119 2 cos2? = 1 ? 2 sin ? ? 169 120 tan2? = ? 119

[展示投影]思考:你能否有办法用 sin?、cos?和 tan?表示多倍角的正弦、余弦和正 切函数?你的思路、 方法和步骤是什么?试用 sin?、 cos?和 tan?分别表示 sin3?, cos3?, tan3?. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? ? ? ? ? sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2 例 4. cos20?cos40?cos80? = ? sin 20 ? sin 20?
1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 4 ? ? ? 8 sin 20 ? sin 20 ?

例 5.求函数 y ? cos x ? cos x sin x 的值域.
2

解: y ?

1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习: 教材 P140 练习第 1、2、3 题 [展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示) 你能够证明: sin

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? , cos 2 ? , tan 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? 2 证:1?在 cos2? ? 1 ? 2 sin ? 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ∴ sin 2 2 2 ? 2 2?在 cos2? ? 2 cos ? ? 1 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ∴ cos 2 2 2 1 ? cos ? 2 ? ? 3?以上结果相除得: tan 2 1 ? cos ?
2

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1?左边是平方形式,只要知道

? 角终边所在象限,就可以开平方。 2 ? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 2
3?上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记忆)

sin

? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos?
? sin ? 1 ? cos ? ? ? (课后自己证) 2 1 ? cos ? sin ?

4?还有一个有用的公式: tan

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 6.已知 cos ? ? 例 7.求 cos

? 的值. 8

7 ? ? ? ,求 sin , cos , tan 的值. 25 2 2 2

例 8.已知 sin ? ? ?

4 3? ? ? ? ) ,求 sin , cos , tan 的值. , ? ? (? , 5 2 2 2 2

[展示投影]练习 教材 P145 练习第 1、2、3 题. [学习小结] 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如:

? ? 是 的倍角. 4 8

2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次). 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2

4.半角公式左边是平方形式,只要知道 质”是用?角的余弦表示

? 角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本 2

? 角的正弦、余弦、正切. 2

5.注意公式的结构,尤其是符号. 五、评价设计 1.作业:习题 3.2 A 组第 1、2、3、4 题. 2. 作业:习题 3.3 A 组第 1、2、3、4 题. 六、课后反思:


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