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2015年浙江省丽水市高考数学一模试卷(文科)含解析答案

2015 年浙江省丽水市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?丽水一模)下列函数既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A. y=x B. y=x C. y=log2x D. y=3
2 3
﹣x

【考点】 : 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可. 2 【解析】 : 解:A.函数 y=x 为偶函数,不满足条件. 3 B.函数 y=x 为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,满足条件. C.y=log2x 的定义域为(0,+∞) ,为非奇非偶函数,不满足条件. ﹣x D.函数 y=3 为奇函数,为减函数,不满足条件. 故选:B 【点评】 : 本题主要考查函数奇偶数和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的性质. 2. (5 分) (2015?丽水一模)等差数列{an}满足 a2=4,a1+a4+a7=24,则 a10=( A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【考点】 : 等差数列的通项公式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 由等差数列的性质易得 a4=8,进而可得公差,再由通项公式可得. 【解析】 : 解:∵等差数列{an}满足 a2=4,a1+a4+a7=24, ∴3a4=24,a4=8, ∴等差数列{an}的公差 d= =2, )

∴a10=a4+6d=8+12=20 故选:C 【点评】 : 本题考查等差数列的通项公式,属基础题.

3. (5 分) (2015?丽水一模)要得到函数 y=sin(2x+ 象( ) 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移

)的图象,只需将函数 y=sin2x 的图

A. 向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : y=sin(2x+ )=sin2(x+ ) ,根据平移规律:左加右减可得答案.

【解析】 : 解:y=sin(2x+ 故要得到 y=2sin(2x+

)=sin2(x+

) , 个单位,

)的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移

故选:C. 【点评】 : 本题考查三角函数图象的平移变换,该类题目要注意平移方向及平移对象,属于 基本知识的考查. 4. (5 分) (2015?丽水一模)“m=4”是“直线 mx+(1﹣m)y+1=0 和直线 3x+my﹣1=0 垂直” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 直线与圆;简易逻辑. 【分析】 : 根据直线垂直的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解析】 : 解:若直线 mx+(1﹣m)y+1=0 和直线 3x+my﹣1=0 垂直, 则 3m+m(1﹣m)=0, 即 m(4﹣m)=0, 解得 m=0 或 m=4, 则“m=4”是“直线 mx+(1﹣m)y+1=0 和直线 3x+my﹣1=0 垂直”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据直线垂直的等价条件是解决本题 的关键.

5. (5 分) (2015?丽水一模)若实数 x,y 满足

则 2x+y 的最大值是(



A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 【解析】 : 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(3,1) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×3+1=6+1=7. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 7.

故选:D

【点评】 : 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学 思想是解决此类问题的基本方法. 6. (5 分) (2015?丽水一模)已知圆 x +y =4,过点 P(0, 点,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最大值是( ) A. B. 2 C. D. 4
2 2

)的直线 l 交该圆于 A,B 两

【考点】 : 直线与圆的位置关系. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 讨论 l 斜率不存在和存在的情况,当斜率存在时,设出方程求出圆心到直线的距 离 d,利用基本不等式求出 S△OAB= 论. 【解析】 : 解:当直线 l 不存在斜率时,S△OAB=0, 当直线存在斜率时,设斜率为 k,则 直线 l 的方程为 y=kx+ , 即 kx﹣y+ =0, ∴圆心到直线的距离 d= , = ,即可得出结

|AB|=2 ∵S△OAB= =

=2



=



∴△OAB 面积的最大值是 2. 故选 B. 【点评】 : 本题考查直线与圆的位置关系,以及基本不等式的应用,属于中档题.

7. (5 分) (2015?丽水一模)在四面体 ABCD 中,下列条件不能得出 AB⊥CD 的是( ) A. AB⊥BC 且 AB⊥BD B. AD⊥BC 且 AC⊥BD C. AC=AD 且 BC=BD D. AC⊥ BC 且 AD⊥BD 【考点】 : 空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 在几何体中选取边长的中点,运用等腰三角形的性质,直线平面的垂直,平面与 平面的垂直问题判断即可得出答案. 【解析】 : 解:① ∵AB⊥BD,AB⊥BC,BD∩ BC=B, ∴AB⊥面 BCD, ∵CD?面 BCD, ∴AB⊥CD, ② 设 A 在面 BCD 射影为 O,AO⊥面 BCD, ∵AD⊥BC,AC⊥BD, ∴O 为△BCD 的垂心 连接 BO,则 BO⊥CD,AO⊥CD ∴CD⊥面 ABO. ∵AB?面 ABO. ∴AB⊥CD, ③ 取 CD 中点 G,连接 BG,AG, ∵AC=AD 且 BC=BD, ∴CD⊥BG,CD⊥AG, ∵BG∩ AG=G, ∴CD⊥面 ABG, ∵AB?面 ABG ∴AB⊥CD, 综上选项 A,B,C 能够得出 AB⊥CD, 故选:D

【点评】 : 本题综合考查了空间几何体中点直线,平面的垂直问题,关键是利用平面几何知 识,空间直线平面的性质定理,判定定理转化直线的位置关系判断即可.

8. (5 分) (2015?丽水一模)已知双曲线


2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、
2 2

F2,P 为双曲线右支上一点,直线 PF1 与圆 x +y =a 相切,且|PF2|=|F1F2|,则该双曲线的离 心率 e 是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 【分析】 : 设直线 PF1 与圆 x +y =a 相切于点 M,取 PF1 的中点 N,连接 NF2,由切线的性 质和等腰三角形的三线合一,运用中位线定理和勾股定理,可得|PF1|=4b,再由双曲线的定 义和 a,b,c 的关系及离心率公式,计算即可得到. 2 2 2 【解析】 : 解:设直线 PF1 与圆 x +y =a 相切于点 M, 则|OM|=a,OM⊥PF1, 取 PF1 的中点 N,连接 NF2, 由于|PF2|=|F1F2|=2c,则 NF2⊥PF1,|NP|=|NF1|, 由|NF2|=2|OM|=2a, 则|NP|= =2b,

即有|PF1|=4b, 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a, 即 4b﹣2c=2a,即 2b=c+a, 2 2 2 2 2 4b =(c+a) ,即 4(c ﹣a )=(c+a) , 4(c﹣a)=c+a,即 3c=5a, 则 e= = . 故选 A.

【点评】 : 本题考查双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,运用中位线定理和双曲线的 定义是解题的关键. 二、填空题(本大题共 7 小题,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分) 2 9. (6 分) (2015?丽水一模)设全集 U=R,集合 A={x|x>2},B={x|x ﹣4x+3<0},则 A∩ B= (2,3) ,A∪B= (1,+∞) ,?UB= (﹣∞,1]∪[3,+∞) . 【考点】 : 交集及其运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集,并集,求出 B 的补集即 可. 【解析】 : 解:由 B 中不等式变形得: (x﹣1) (x﹣3)<0, 解得:1<x<3,即 B=(1,3) , ∵A=(2,+∞) , ∴A∩ B=(2,3) ,A∪B=(1,+∞) ,?UB=(﹣∞,1]∪[3,+∞) . 故答案为: (2,3) ; (1,+∞) ; (﹣∞,1]∪[3,+∞) 【点评】 : 此题考查了交集及其运算,并集及其运算,以及补集的运算,熟练掌握各自的定 义是解本题的关键. 10. (6 分) (2015?丽水一模)已知函数 f(x)=2sin(ωx) (ω>0)的最小正周期为 π,则 ω= 2 ,f( )= ,在(0,π)内满足 f(x0)=0 的 x0= .

【考点】 : 正弦函数的图象. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 根据三角函数的周期公式求出 ω,即可得到结论. 【解析】 : 解:∵三角函数的周期是 π,则 则 ω=2, 则 f(x)=2sin2x, 则 f( )=2sin =2× = , =π,

由 f(x)=0 得 sin2x=0, ∵x∈(0,π) , ∴2x∈(0,2π) ,

则 2x=π,故 x= 故 x0= ,



故答案为:2,



【点评】 : 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据三角函数的周期公式求出 ω 是解决 本题的关键. 11. (6 分) (2015?丽水一模)某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的 体积 V= cm ,表面积 S=
3

cm .

2

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 由三视图可得该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥,根 据标识的各棱长及高,代入棱锥体积、表面积公式可得答案. 【解析】 : 解:由题意,该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥, 所以 V= S= 故答案为: + ; = + . cm , + = .
3

【点评】 : 本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积,其中根据已知分析出几何体的形 状及各棱长的值是解答的关键.

12. (6 分) (2015?丽水一模)已知函数 f(x)= f(x)取到最小值为 2 . 【考点】 : 基本不等式;函数的最值及其几何意义. 【专题】 : 不等式的解法及应用.

(x>1) ,当且仅当 x=

2 时,

【分析】 : 变形利用基本不等式的性质即可得出. 【解析】 : 解:∵x>1,∴x﹣1>0. ∴函数 f(x)= =x﹣1+ =2,当且仅当 x=2 时取等号.

故答案分别为:2;2. 【点评】 : 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

13. (4 分) (2015?丽水一模) 已知 A, B 是单位圆 C 上的两个定点, 对任意实数 λ, | 有最小值 ,则| |= .

﹣λ

|

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 计算题;平面向量及应用. 【分析】 : 由 A,B 是单位圆 C 上的两个定点,则| |=| |=1,令|
22

|=t,运用向量的平方
2

即为模的平方,化简整理,结合余弦定理,可得关于 λ 的二次函数 λ t ﹣λt +1,运用二次函 数的最值,即可得到最小值,解方程进而得到 t. 【解析】 : 解:由 A,B 是单位圆 C 上的两个定点, 则| y=| |=| ﹣λ |=1,令| | =( |?|
2 2

|=t, ﹣λ
2

)= |
22 2 2

2

﹣2λ

+λ |

2

|

2

=1﹣2λ|

|cosA+λ |
22

=1﹣λ(t +1﹣1)+λ t =λ t ﹣λt +1, 当 λ=﹣ = 时,y 取得最小值,且为 t ﹣ t +1=1﹣ t ,
2 2 2

由于对任意实数 λ,| 则 1﹣ t = ,解得 t= 故答案为: .
2

﹣λ .

|有最小值 ,

【点评】 : 本题考查向量的数量积的定义和性质,主要考查向量的平方即为模的平方,运用 二次函数的最值是解题的关键,属于中档题和易错题.

14. (4 分) (2015?丽水一模)已知 f(x)= ∈[0,1],则实数 t 的取值范围是 [log32,1] .

,若 f(f(t) )

【考点】 : 分段函数的应用. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 : 通过 t 的范围,求出 f(t)的表达式,判断 f(t)的范围,然后代入已知函数, 通过函数的值域求出 t 的范围即可. t 【解析】 : 解:当 t∈(0,1],所以 f(t)=3 ∈(1,3], 又函数 f(x)=
t



则 f(f(t)=log2(3 ﹣1) , 因为 f(f(t) )∈[0,1], t t 所以 0≤log2(3 ﹣1)≤1,即 1≤3 ﹣1≤2, 解得:log32≤t≤1, 则实数 t 的取值范围[log32,1]; 当 1<t≤3 时,f(t)=log2(t﹣1)∈(﹣∞,1], 由于 f(f(t) )∈[0,1], 即有 0≤ ≤1,

解得 1<t≤2. 此时 f(t)=log2(t﹣1)≤0,f(f(t) )不存在. 综上可得 t 的取值范围为[log32,1]. 故答案为:[log32,1]. 【点评】 : 本题考查分段函数的综合应用,指数与对数不等式的解法,函数的定义域与函数 的值域,考查计算能力,属于中档题和易错题. 15. (4 分) (2015?丽水一模)已知正项等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项和为 Sn,若对一 * 切 n∈N 都有 an+1≥2Sn,则 q 的取值范围是 [3,+∞) . 【考点】 : 等比数列的性质. 【专题】 : 计算题;等差数列与等比数列. n 【分析】 : 由 an+1≥2Sn,可得 Sn+1≥3Sn,即 q (q﹣3)+2≥0,利用 q>0,即可确定 q 的取 值范围. 【解析】 : 解:∵an+1≥2Sn, ∴Sn+1≥3Sn, n+1 n ∴1﹣q ≥3(1﹣q ) , n ∴q (q﹣3)+2≥0, ∵q>0, ∴q≥3 故答案为:[3,+∞) .

【点评】 : 本题考查 q 的取值范围,考查等比数列的求和公式,考查学生的计算能力,比较 基础. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 16. (14 分) (2015?丽水一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosB ﹣bsinB=c,且 cosA=﹣ . (Ⅰ)求 sinB; (Ⅱ)若 c=7,求△ABC 的面积. 【考点】 : 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : (Ⅰ)利用已知条件结合正弦定理以及三角形的内角和化简表达式,然后求 sinB 的值; (Ⅱ)通过 sinC=sin(A+B) ,结合两角和的增函数,求出 sinC 的值,利用正弦定理求出 b, 即可求△ABC 的面积. 【解析】 : 解: (Ⅰ) 由题意得∵cosA=﹣ . 由 asinB﹣bsinB=c ∴sinAsinB﹣sinBsinB=sin(A+B) ∴﹣sinBsinB=cosAsinB?sinB=﹣cosA ∵ ∴

(Ⅱ)∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = 又由正弦定理得: ?b=3

【点评】 : 本题考查正弦定理的应用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和公式的应 用,考查分析问题解决问题的能力. 17. (15 分) (2015?丽水一模)已知等差数列{an},首项 a1 和公差 d 均为整数,其前 n 项和 为 Sn. (Ⅰ)若 a1=1,且 a2,a4,a9 成等比数列,求公差 d; (Ⅱ)若 n≠5 时,恒有 Sn<S5,求 a1 的最小值. 【考点】 : 等差数列的性质. 【专题】 : 计算题;等差数列与等比数列. 【分析】 : (Ⅰ)利用等比数列的性质,求公差 d; (Ⅱ)n≠5 时,恒有 Sn<S5,可得 S5 最大且有 d<0,结合 a1,d∈Z 求 a1 的最小值. 【解析】 : 解: (Ⅰ)由题意得

将 a1=1 代入得(1+3d) =(1+d)?(1+8d)…(4 分) 解得 d=0 或 d=3…(6 分) (Ⅱ)∵n≠5 时,恒有 Sn<S5,∴S5 最大且有 d<0, 又由 ? ,

2



…(10 分)

又∵a1,d∈Z,d<0 故 当 d=﹣1 时 4<a1<5 此时 a1 不存在,…(12 分) 当 d=﹣2 时 8<a1<10 则 a1=9, 当 d=﹣3 时 12<a1<15,… 易知 d≤﹣3 时 a1>9…(14 分) 综上:a1=9.…(15 分) 【点评】 : 本题考查等比数列的性质,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 18. (15 分) (2015?丽水一模)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E 为线段 AB 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′ DE,使得平面 A′ DE⊥平面 BCDE,F 为线段 A′ C 的中点.

(Ⅰ)求证:BF∥平面 A′ DE; (Ⅱ)求直线 A′ B 与平面 A′ DE 所成角的正切值. 【考点】 : 直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 【专题】 : 空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 : (Ⅰ)取 A'D 的中点 M,连接 FM,EM,由已知得四边形 BFME 为平行四边形, 由此能证明 BF∥平面 A'DE. (Ⅱ) 在平面 BCDE 内作 BN⊥DE, 交 DE 的延长线于点 N, 则 BN⊥平面 A'DE, 连接 A'N, ∠BA'N 为 A'B 与平面 A'DE 所成的角,由此能求出直线 A'B 与平面 A'DE 所成角的正切值. 【解析】 : (Ⅰ)证明:取 A'D 的中点 M,连接 FM,EM. ∵F 为 A'C 中点,∴FM∥CD 且 …(2 分)

∴BE∥FM 且 BE=FM, ∴四边形 BFME 为平行四边形.…(4 分) ∴BF∥EM, 又 EM?平面 A'DE,BF?平面 A'DE,

∴BF∥平面 A'DE…(6 分) (Ⅱ)解:在平面 BCDE 内作 BN⊥DE,交 DE 的延长线于点 N, ∵平面 A'DE⊥平面 BCDE,平面 A'DE∩ 平面 BCDE=DE, ∴BN⊥平面 A'DE,连接 A'N, 则∠BA'N 为 A'B 与平面 A'DE 所成的角,…(8 分) ∵△BNE∽△DAEBE=1, ∴ , …(10 分) ,

在△A'DE 中作 A'P⊥DE 垂足为 P,∵A'E=1,A'D=2, ∴ 又 ∴ ,∵ , …(14 分) , .…(15 分) ,∴在直角△A'PN 中, ,

∴在直角△A'BN 中, ∴直线 A'B 与平面 A'DE 所成角的正切值为

【点评】 : 本题考查线面平行的证明,考查线面角的正切值的求法,考查方程思想、等价转 化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力,是中档题. 19. (15 分) (2015?丽水一模)如图,已知抛物线 C:y =2px(p>0)上有两个动点 A,B, 它们的横坐标分别为 a,a+2,当 a=1 时,点 A 到 x 轴的距离为 ,M 是 y 轴正半轴上的一 点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若 A,B 在 x 轴上方,且|OA|=|OM|,直线 MA 交 x 轴于 N,求证:直线 BN 的斜率 为定值,并求出该定值.
2

【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (Ⅰ)求出 A 的坐标,代入,即可求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)求得直线 MA 的方程,可得 N 的坐标,即可证明直线 BN 的斜率为定值,并求出该 定值. 【解析】 : (Ⅰ)解:由题意得当 a=1 时,点 A 坐标为 由题有 ,∴p=1
2



∴抛物线 C 的方程为:y =2x (Ⅱ)证明:由题 ∵|OA|=|OM|, ∴ , , ,



∴直线 MA 的方程为:y=







=

=

=



∴直线 BN 的斜率为定值,该定值为﹣1. 【点评】 : 本题考查抛物线方程,考查直线斜率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

20. (15 分) (2015?丽水一模)已知函数 f(x)=|x ﹣1|+x. (Ⅰ)若函数 y=f(x)﹣c 恰有两个零点,求实数 c 的取值范围; (Ⅱ)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=f(ax) (a<0)的最大值 M(a) . 【考点】 : 绝对值不等式的解法;函数零点的判定定理. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : (Ⅰ)化简函数 y=f(x)的解析式,求出它的单调区间以及极值、最值,结合 f (x)的图象和直线 y=c 有 2 个交点,求出实数 c 的取值范围. (Ⅱ)当 x∈[﹣1,1]时,分类讨论,利用函数的单调性求出函数 y=f(ax)的最大值. 【解析】 : 解:由题意知(Ⅰ) ,

2

易知 f(x)在(﹣∞,﹣1], 又

上单调递减,在

,[1,+∞)上单调递增.

,y=f(x)﹣c 恰有两个零点, .

即方程 f(x)=c 恰有两个不等实根,∴

(Ⅱ)设 g(x)=f(ax) (a<0) ,

∴g(x)=



∴g(x)在 调递增, (1)当 ,即



上单调递减,在



上单

g(x)在[﹣1,1]上单调递减,
2

∴此时 M(a)=g(﹣1)=﹣a ﹣a+1. (2)当 g(x)在 (3)当 g(x)在 ∴此时, = ,即 上单调递减,∴此时 ,即 a<﹣1 时 g(x)在 , 上单调递增, , ,g(x)在 . 上单调递减, 上单调递增,

=

=



综上所述:M(a)=



【点评】 : 本题主要考查利用单调性求函数的极值和最值,方程根的存在性以及个数判断, 体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.


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