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18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时一般式学案苏教版必修2

第 3 课时 一般式 学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不同时为 0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 知识点一 直线的一般式方程 思考 1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用 Ax+By+C=0(A,B 不 同时为 0)来表示吗? 思考 2 关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)一定表示直线吗? 思考 3 当 B≠0 时,方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)表示怎样的直线?B=0 呢? 梳理 直线的一般式方程 形式 条件 知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 梳理 1 形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 局限 不能表示斜率不存在的直线 不能表示斜率不存在的直线 y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b 不能表示________________________________ 无 类型一 直线的一般式方程 命题角度 1 求直线的一般式方程 例 1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率是 3,且经过点 A(5,3); (2)斜率为 4,在 y 轴上的截距为-2; (3)经过点 A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在 x 轴,y 轴上的截距分别为-3,-1. 反思与感悟 (1)当 A≠0 时,方程可化为 x+ y+ =0,只需求 , 的值;若 B≠0,则方程 化为 x+y+ =0,只需确定 , 的值,因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程. (2)在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊 形式之一求方程,然后可以转化为一般式. 跟踪训练 1 根据条件写出下列直线的一般式方程: 1 (1)斜率是- ,且经过点 A(8,-6)的直线方程为________________________. 2 (2)经过点 B(4,2),且平行于 x 轴的直线方程为________________________. B A C A B C A A A B C B A C B B 2 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 和-3 的直线方程为________________________. 2 (4)经过点 P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为________________________. 命题角度 2 由含参数的一般式求参数 例 2 设直线 l 的方程为(m -2m-3)x-(2m +m-1)y+6-2m=0. (1)若直线 l 在 x 轴上的截距为-3,则 m=________; (2)若直线 l 的斜率为 1,则 m=________. 反思与感悟 (1)方程 Ax+By+C=0 表示直线,需满足 A,B 不同时为 0. (2)令 x=0 可得在 y 轴上的截距.令 y=0 可得在 x 轴上的截距.若确定直线斜率存在,可将 一般式化为斜截式. (3)解分式方程注意验根. 跟踪训练 2 已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当直线 l1 与直线 l2 的 斜率相等,且 l1 与 l2 不重合时,求 m 的值. 2 2 类型二 直线方程的综合应用 例 3 已知直线 l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围. 反思与感悟 一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距 或两点选择截距式或两点式.另外从所求结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形的面积 或周长,常选用截距式,但最后都可化为一般式. 跟踪训练 3 设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a+1≠0). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; 3 (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 1.已知直线的一般式方程为 2x+y-4=0,且点(0,a)在直线上,则 a=________. 2.已知直线 l 的倾斜角为 60°, 在 y 轴上的截距为-4, 则直线 l 的斜截式方程为________, 一般式方程为________. 3.直线 3x-4y+m=0 在两坐标轴上截距之和为 2,则实数 m=________. 4.直线 l1:(2m -5m+2)x-(m -4)y+5=0 的斜率与直线 l2:x-y+3=0 的斜率相同,则 2 2 m=________. 5.若方程(m -3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0 表示直线. (1)求实数 m 的取值范围; (2)若该直线的斜率 k=1,求实数 m 的值. 2 1.在求解直线的方程时, 要由问题的条件、 结论, 灵活地选用公式, 使问题的解答变得简捷. 2.直线方程的各种形式之间存在着内在的联系,它是直线在不同条件下的不同的表现形式, 要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化,如把一般式 Ax+By+C=0 化为截距式有 两种方法:一是令 x=0,y=0,求得直线在 y 轴上的截距 b 和在 x 轴上的截距 a;二是移常 项,得 Ax+By=-C,两边除以-C(C≠0),再整理即可. 4 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 能. 思考 2 一定. 思考 3 当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得 y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在 y 轴上截距为- 的直线; 当 B=0 时,A≠0,由 Ax+By+C=0,得 x=- , 所以该方程表示一条垂直于 x 轴的直线. 梳理 Ax+By+C=0 不同时为 0 知识点二 梳理 A B C B A B C B C A y-y0=k(x-x0) y=kx+b x1≠x2,y