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2015年丰台高三数学(理科)


2015 年 1 月北京市丰台区高三数学(理)期末测试卷 第一部分
(选择题 共 40 分) 2015.01.26

一 选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设集合 A ? {x x2 ? x ? 2 ? 0}, B ? {1, 2,3} ,那么 A (A) {?1, 0,1, 2,3} (B) {?1, 0,3}

B? (

) (D) {1, 2} )

(C) {1, 2,3}

2.已知向量 a ? (2,1) , b ? ( x, y) ,则“ x ? ?4 且 y ? ?2 ”是“ a ∥b ”的(

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况,分成了两个调查小组 分别对高一学生进行抽样调查. 假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理, 则 下列结论正确的是( ) (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等 (D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, b ? 那么 a 等于( (A) 1 ) (B) 2 (C) 4 (D) 1 或 4
y
1

7 ,c ? 3 ,B ?

?
6



5.已知函数 y ? logb ( x ? a) (b>0 且 b≠1)的图象如图所示,那么函数

y ? a? s i n b x 的图象可能是(
y O -1 -2 π 2π 3π

)
y 2 1 π 2π 3π

O
-1
x

1

2

3

4

x

O

x

(A)
y

(B)
y 2

3 2

1
1

O
O π 2π 3π x

π





x

(C)

(D)

1

6.2014 年 11 月,北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议,出席会议 的有 21 个国家和地区的领导人或代表.其间组委会安排这 21 位领导人或代表合影留念, 他们站成两排,前排 11 人,后排 10 人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领 导人站在与中国领导人相邻的两侧, 如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求, 那么 不同的排法共有( )
18 (A) A18 种 2 18 (B) A2 A18 种 2 8 10 (C) A3 A18 A10 种 20 (D) A20 种

7.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该 三棱锥的正视图可能是( )

(A)

(B)

侧视图

俯视图

(C)

(D)

8.在平面直角坐标系 xOy 中,如果菱形 OABC 的边长为 2,点 B 在 y 轴上,则菱形内(不 含边界)的整点(横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是( ) (A) {1,3} (B) {0,1,3} (C) {0,1,3,4} (D) {0,1,2,3,4}

第二部分 (非选择题 共 110 分)
二 填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.在复平面内,复数 z1 , z2 对应的点分别是 A,B(如图所示) ,则复数

z1 的值是 . z2

10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 a1=2,a3+a5=22,那么 S3 等于 .

2

11.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是___. 开始 a=1,b=1,S=2

y A 1 -1 O -1 1 B x
c=a+b S=S+c a= b c>5 是 输出 S 否 b= c

结束

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 12.若变量 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0, 且 z ? x ? y 的最大值是 10,则 k 的值是 . ? y ? k, ?
13.过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O: x 2 ? y 2 ? 1的切线,切点为 N ,如果 y0 =0 ,那么切线的斜 率是 ;如果 ?OMN ?

?
6

,那么 y0 的取值范围是 .

14.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果存在非零常数 T ,对于任意 x ? D ,都有

f ( x ? T ) ? T ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 是“似周期函数”,非零常数 T 为函数 y ? f ( x) 的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:
①如果“似周期函数” y ? f ( x) 的“似周期”为-1,那么它是周期为 2 的周期函数; ②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”; ③函数 f ( x) ? 2 是“似周期函数”;
-x

④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数”,那么“ ? ? k? , k ? Z ”. 其中是真命题的序号是 . (写出所有 满足条件的命题序号) ..

3

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ? ) cos( x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值及相应的 x 的值.

? 4

? ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 , x ? R . 4 4

? 2

16. (本小题共 13 分) 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平, 在全市范围内随机抽取了近千名学生参加 汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图 频率 如图所示,其中样本数据分组区间为 [50,60) , [60,70) , 组距

[70,80) , [80,90) , [90,100] .
(Ⅰ)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩;

0.03 0.025 0.02

(Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学,求 这名同学考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的概率; (Ⅲ) 如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学, 这3 名同学中考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的人数记为 X ,求 X 的分布列及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率)

0.015 0.01

O

50

60

70 80

90 100 考试成绩(分)

4

17. (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA⊥底面 ABCD,M 是棱 PD 的 中点,且 PA=AB=AC=2, BC ? 2 2 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小; (Ⅲ) 如果 N 是棱 AB 上一点, 且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为
P

M

AN 10 ,求 的值. NB 5
A B N C D

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? e ? x ?1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)如果直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x ) 的图象无交点,求 k 的取值范围.

5

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ( 3,0) , 点 M (? 3, ) 在椭圆 C 上. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点,过原点 O 作直线 l 的垂线,垂足 为 P ,如果△ OAB 的面积为

? | AB | ?4
2 | OP |

( ? 为实数) ,求 ? 的值.

20.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? ?an?1 ? 1 , (? ? 1 , n ? 2 且 n ? N*) . (Ⅰ)求证:当 ? ? 0 时,数列 {an ?

1 } 为等比数列; ? ?1

(Ⅱ)如果 ? ? 2 ,求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)如果 [an ] 表示不超过 an 的最大整数,当 ? ? 通项公式.

2 ? 1 时,求数列 {[(? ? 1)an ]}的

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

6

2015 年 1 月北京市丰台区高三数学(理)期末测试卷参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 1 ? i 10.15 12.5 13. ?

11.20 14. ①③④

2 ?1 ? y ? 1 ; 0 2

注:第 13 题第一个空 2 分;第二个空 3 分。 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ?1

? 3 sin( 2 x ?

?
2

) ? cos( 2 x ?

?

2

)

? 3 cos2 x ? sin 2 x
? 2 sin( 2 x ? T ?
???7 分 (Ⅱ)因为 0 ? x ? 所以

?
3

)
????

2? ?? . 2

?
2



?
3

? 2x ?

?
3 ?

?

所以 当 2 x ? 当

?
3

?
2 ?

4? . 3
,即 x ?

?
12

时, ymax ? 2 ; 即

2x ?
n

?
3

4? 3



x?

?
2





ym ? ? i3 .

???????13 分

所以当 x ?

?
12

时,函数有最大值是 2 ;当 x ?

?
2

时,函数有最小值是 ? 3 .

16. 解: (Ⅰ)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:

0.1? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.15 ? 95 ? 76.5 .
分 (Ⅱ)设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A.

??????2

7

P( A) ? 0.025 ?10 ? 0.015 ?10 ? 0.4
0.4. 答 : 被 抽 到 的 这 名 同 学 考 试 成 绩 在 80 分 以 上 的 概 率 为 ?????6 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概 率为

2 , 5
X 可能的取值是 0,1,2,3.

27 0 2 0 3 3 P ( X ? 0) ? C 3 ( ) ( ) ? ; 5 5 125 54 1 2 1 3 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? ; 5 5 125 2 3 36 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? ; 5 5 125 8 3 2 3 3 0 P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? . 5 5 125 X 的分布列为: 0 1 X 27 54 P 125 125
??12 分 所

2

3

36 125

8 125
??? 以

27 54 36 8 6 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? . ?????13 分 125 125 125 125 5 2 2 6 (或 X ~ B (3, ) ,所以 E ( X ) ? np ? 3 ? ? . ) 5 5 5
17. 证明: (Ⅰ)连结 AC. 因为在△ABC 中, AB= AC=2, BC ? 2 2 , 所以 BC ? AB ? AC ,
2 2 2
P

M

所以 AB ? AC . 因为 AB ∥ CD , 所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AC ? PA ? A , 所 PAC. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系, 以

A B N C

D

CD⊥ ??????4 分





8

则 A(0, 0, 0) , P(0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(?2, 2,0) . 因为 M 是棱 PD 的中点,
P z

所以 M (?1,1,1) . 所以 AM ? (?1,1,1) , AB ? (2,0,0) . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 MAB 的法向量, 所以 ? 即 ?
A B x N C y M

D

? ?n ? AM ? 0 , ? n ? AB ? 0 ?

?? x ? y ? z ? 0 , ?2 x ? 0

?x ? 0 ? 令 y ? 1 ,则 ? y ? 1 , ? z ? ?1 ?
所以平面 MAB 的法向量 n ? (0,1,-1) . 因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 AP ? (0,0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量. 所以 cos? n, AP? ?

n ? AP AP n

?

?2 2 . ?? 2 2? 2
的 大 小 为

因为二面角 M-AB-C 为锐二面角, 所 以 二 面 角 M-AB-C

? . 4

??????10 分 (Ⅲ)因为 N 是在棱 AB 上一点,所以设 N ( x,0,0) , NC ? (? x, 2,0) . 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 ? , 因为平面 MAB 的法向量 n ? (0,1,-1) , 所以 sin ? ? cos(
z P

?
2

??) ?

n ? NC n ? NC
M

?

2 2? x ?4
2

?

10 . 5
x

A B N C y

D





x ?1





AN ? 1



NB ? 1







AN ?1. NB

??????14 分
9

18. 解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 因为 f ( x) ? x ? e? x ?1 , 所以 f ?( x) ?

ex ?1 . ex

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

x
f ?( x )
f ( x)
所 以

(??, 0)
↘ 当

0 0 极小值

(0, ??)
+ ↗ 函 数 有 极 小 值

x?0



f ( x)极小值 =f (0) ? 0 .
(Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? 1 ?

??????6 分

1 . ex

1 ? 0 , y ? k ? 0 ? 1 ? ?1 , e0 所以要使 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点,等价于 f ( x) ? kx ? 1 恒成立. 1 令 g ( x) ? x ? 1 ? x ? ( kx ? 1) ,即 g ( x) ? (1 ? k ) x ? e? x , e (1 ? k )e x ? 1 所以 g ?( x) ? . ex 1 ①当 k ? 1 时, g ( x ) ? x ? 0 ,满足 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点; e 1 1 1 1 ) ? (1 ? k ) ? e1?k ? e1?k ? 1 , ②当 k ? 1 时, g ( k ?1 k ?1 1 1 ? 0 , e1? k ? 1 , 而 1? k 1 ) ? 0 ,此时不满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. 所以 g ( k ?1
当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ? 1 ? ③当 k ? 1 时,令 g ?( x) ?

(1 ? k )e x ? 1 ? 0 , 则 x ? ? ln(1 ? k ) , ex

当 x ? (??, ? ln(1 ? k )) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 在 (??, ? ln(1 ? k )) 上单调递减; 当 x ? (? ln(1 ? k ), ??) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 在 (? ln(1 ? k ), ??) 上单调递增; 当 x ? ? ln(1 ? k ) 时, g ( x)min ? g (? ln(1 ? k )) ? (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) . 由 (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) ? 0 得 1 ? e ? k ? 1 ,

10

即 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点. 综 上 所 述 点. ?????13 分 当 k ? (1 ? e,1] 时 ,

y ? kx ? 1 与

f ( x) 无 交

19. 解: (Ⅰ)由题意知: c =

3.

根据椭圆的定义得: 2a = 即a= 2. 所以 b2 = 4 - 3 = 1 . 所 以 椭 圆

(-

3-

1 1 3) 2 + ( ) 2 + , 2 2

C













x ? y 2 ? 1. 4

2

?????4 分

(Ⅱ)由题意知,△ABC 的面积 S?ABC = 整理得

1 ? | AB | ?4 | AB | ? | OP | = , 2 2 | OP |

? = |OP 2| ?

4 . | AB |

① 当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程是 x ? 3 . 此时 | AB |= 1 , | OP |? 3 ,所以 ? = | OP | ?
2

4 = ?1 . | AB |

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k ( x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

3) ,

ì ? x2 2 ? ? + y =1 由 í 4 可得 (4k 2 + 1) x2 - 8 3k 2 x + 12k 2 - 4 = 0 . ? ? ? ? ? y =k ( x - 3) ì ? 8 3k 2 ? x1 + x2 = , ? 2 ? 4 k + 1 ? 显然 ? > 0 ,则 í ? 12k 2 - 4 ? ? x1 x2 = . ? 4k 2 + 1 ? ?
因为 y1 =k ( x1 所以 | AB |=

3) , y2 =k ( x2 -

3) ,
(k 2 + 1)( x1 - x2 ) 2
k2 + 1 . 4k 2 + 1

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 =

=

(k 2 + 1)[( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 ] = 4

11

所以 | OP | = (

2

|-

3k | k2 + 1

)2 =

3k 2 , k2 + 1

此时, ? = 综 上

3k 2 4k 2 ? 1 ? = ?1 . k 2 ?1 k 2 ?1
所 述

?1 .
20. 解: (Ⅰ)当 ? ? 0 时,设 bn ? an ?

? , ?????14 分







1 , ? ?1 1 an ? bn ? ?1 . 则 当 n ? 2 时, ? bn ?1 a ? 1 n ?1 ? ?1
因为 an ? ?an?1 ? 1 ,

? 1 1 ? an?1 ? ? (an?1 ? ) bn ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 所以 ? ? ? ? 为常数. ? 1 1 1 bn ?1 an ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 1 ? ? ?0, 因为 a1 ? ? ?1 ? ?1 1 ? } 是首项为 所 以 数 列 {an ? , 公 比 为 ? 的 等 比 数 ? ?1 ? ?1
? an ?1 ? 1 ?
列. ?????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? 2 时 {an ? 1} 为首项为 所以 an ? 1 ? 2 .
n 2

? ,公比为 ? 的是等比数列, ? ?1

na 2n ? n . n ? n ? n ? 2n , ? n ? 2n?1 . ? 2n ? n ? 2n?1 ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 .
n2 n ? , 2 2 n2 n ? . 2 2
?????9 分

设 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 则 2 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

相减得 An ? ?2 ? 2 ?
2

设 Bn ? 1 ? 2 ?

?n?

Sn ? An ? Bn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ?


Sn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ?

n2 n ? . 2 2

12

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 an ?

? ? ?1

? n?1 ?

1 ? n ?1 . ? ? ?1 ? ?1

设 cn ? (? ?1)an ? ? n ?1 ? ( 2 ?1)n ?1 , 由二项式定理可知 ( 2 ?1)n ? (? 2 ?1)n 为整数,
n n ? ?( 2 ? 1) ? (? 2 ? 1) ? 2, n ? 2k , [ c ] ? 所以 n (k ? N* ) . ? n n ? ?( 2 ? 1) ? (? 2 ? 1) ? 1, n ? 2k ? 1.





[cn ?

?

n

? ?

?

n

3 ? ? ? 2 2

n



????? ] 13 分

(

(若用其他方法解题,请酌情给分)

13


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