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幂函数练习题及答案解析


1.下列幂函数为偶函数的是(
1

) 3 B.y= x


A.y=x2

C.y=x2 D.y=x 1 解析:选 C.y=x2,定义域为 R,f(-x)=f(x)=x2. - 2.若 a<0,则 0.5a,5a,5 a 的大小关系是( ) -a - a a a A.5 <5 <0.5 B.5 <0.5a<5 a - - C.0.5a<5 a<5a D.5a<5 a<0.5a 1 1 - - 解析:选 B.5 a=( )a,因为 a<0 时 y=xa 单调递减,且 <0.5<5,所以 5a<0.5a<5 a. 5 5 1 3. α∈{-1,1, , 则使函数 y=xα 的定义域为 R, 设 3}, 且为奇函数的所有 α 值为( ) 2 A.1,3 C.-1,3


B.-1,1 D.-1,1,3
1

解析:选 A.在函数 y=x 1,y=x,y=x2,y=x3 中,只有函数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故 α=1,3. 1 1 4.已知 n∈{-2,-1,0,1,2,3},若(- )n>(- )n,则 n=________. 2 3 1 1 1 1 解析:∵- <- ,且(- )n>(- )n, 2 3 2 3 ∴y=xn 在(-∞,0)上为减函数. 又 n∈{-2,-1,0,1,2,3}, ∴n=-1 或 n=2. 答案:-1 或 2 1.函数 y=(x+4)2 的递减区间是( ) A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) C.(4,+∞) D.(-∞,4) 2 解析:选 A.y=(x+4) 开口向上,关于 x=-4 对称,在(-∞,-4)递减. 1 2.幂函数的图象过点(2, ),则它的单调递增区间是( ) 4 A.(0,+∞) C.(-∞,0) 解析:选 C. B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

1 - 幂函数为 y=x 2= 2,偶函数图象如图. x 3.给出四个说法:
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①当 n=0 时,y=xn 的图象是一个点; ②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图象不可能出现在第四象限; ④幂函数 y=xn 在第一象限为减函数,则 n<0. 其中正确的说法个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 解析:选 B.显然①错误;②中如 y=x- 的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知 2 ③、④正确,故选 B. 1 1 1 4.设 α∈{-2,-1,- , , ,1,2,3},则使 f(x)=xα 为奇函数且在(0,+∞)上单调 2 3 2 递减的 α 的值的个数是( ) A.1 C.3 解析:选 A.∵f(x)=xα 为奇函数, 1 ∴α=-1, ,1,3. 3 又∵f(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴α=-1. 5.使(3-2x-x2) 4有意义的 x 的取值范围是( A.R C.-3<x<1 3 解析:选 C.(3-2x-x2)- = 4 4 1 ?3-2x-x ?
2 3


B.2 D.4

3

)

B.x≠1 且 x≠3 D.x<-3 或 x>1 ,

∴要使上式有意义,需 3-2x-x2>0, 解得-3<x<1. - - 6.函数 f(x)=(m2-m-1)xm2 2m 3 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上是减函数,则实数 m =( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2 解析: A.m -m-1=1, m=-1 或 m=2, 选 得 再把 m=-1 和 m=2 分别代入 m2-2m -3<0,经检验得 m=2. 1 7.关于 x 的函数 y=(x-1)α(其中 α 的取值范围可以是 1,2,3,-1, )的图象恒过点 2 ________. 解析:当 x-1=1,即 x=2 时,无论 α 取何值,均有 1α=1, ∴函数 y=(x-1)α 恒过点(2,1). 答案:(2,1) 8.已知 2.4α>2.5α,则 α 的取值范围是________. 解析:∵0<2.4<2.5,而 2.4α>2.5α,∴y=xα 在(0,+∞)为减函数. 答案:α<0 2 -1 3 1 2 1 7 9.把( ) 3,( )2,( )2,( )0 按从小到大的顺序排列____________________. 3 5 5 6

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7 2 -1 2 解析:( )0=1,( ) 3>( )0=1, 6 3 3 31 21 ( )2<1,( )2<1, 5 5 1 ∵y=x 为增函数, 2 2 1 3 1 7 0 2 -1 ∴( )2<( )2<( ) <( ) 3. 5 5 6 3 2 1 3 1 7 0 2 -1 答案:( )2<( )2<( ) <( ) 3 5 5 6 3 10.求函数 y=(x-1) 3的单调区间.
2 2 1 1 - - 解:y=(x-1) 3= ,定义域为 x≠1.令 t=x-1,则 y=t 3,t≠0 为偶 2= ?x-1?3 3 ?x-1?2


2

函数.
2 2 - 因为 α=- <0,所以 y=t 3在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.又 t=x 3

-1 单调递增,故 y=(x-1) 3在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增. 11.已知(m+4) 2<(3-2m) 2,求 m 的取值范围. 解:∵y=x 2的定义域为(0,+∞),且为减函数.
- -



2

1



1

1

?m+4>0 ? ∴原不等式化为?3-2m>0 ?m+4>3-2m ?
1 3 解得- <m< . 3 2 1 3 ∴m 的取值范围是(- , ). 3 2



12.已知幂函数 y=xm2 2m 3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求 y 的解析式,并讨论此 函数的单调性和奇偶性. 解:由幂函数的性质可知 m2+2m-3<0?(m-1)(m+3)<0?-3<m<1, 又∵m∈Z,∴m=-2,-1,0. - 当 m=0 或 m=-2 时,y=x 3, 定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵-3<0, - ∴y=x 3 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数, - - 又∵f(-x)=(-x) 3=-x 3=-f(x), - ∴y=x 3 是奇函数. - 当 m=-1 时,y=x 4,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 1 - - ∵f(-x)=(-x) 4= = 4=x 4=f(x), ?-x?4 x ∴函数 y=x 4 是偶函数. - ∵-4<0,∴y=x 4 在(0,+∞)上是减函数, - 又∵y=x 4 是偶函数,
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∴y=x

-4

在(-∞,0)上是增函数.

1.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是(
1

)

A.y=x3
5

B.y=x



1 2

2

C.y=x3

D.y=x3

2 3 解析:选 D.y=x3= x2,其定义域为 R,值域为[0,+∞),故定义域与值域不同.

1 1 2.如图,图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的大致图象.已知 α 取-2,- , ,2 2 2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 的值依次为( ) 1 1 1 1 A.-2,- , ,2 B.2, ,- ,-2 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- ,-2,2, D.2, ,-2,- 2 2 2 2 解析:选 B.当 x=2 时,22>22>2 2>2 2, 即 C1:y=x2,C2:y=x2,C3:y=x 2,C4:y=x 2. 3.以下关于函数 y=xα 当 α=0 时的图象的说法正确的是( A.一条直线 B.一条射线 C.除点(0,1)以外的一条直线 D.以上皆错 解析:选 C.∵y=x0,可知 x≠0, ∴y=x0 的图象是直线 y=1 挖去(0,1)点. 1 4.函数 f(x)=(1-x)0+(1-x) 的定义域为________. 2 ? ?1-x≠0 解析:? ,∴x<1. ? ?1-x≥0 答案:(-∞,1) 2 ),则 f(4)的值为( 2 1 B. 16 D.2 2 1 ,解得 n=- , 2 2 )
1


1



1



1



1.已知幂函数 f(x)的图象经过点(2, A.16 1 C. 2 解析:选 C.设 f(x)=xn,则有 2n=
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)

1 1 1 - - 即 f(x)=x 2,所以 f(4)=4 2= . 2

2.下列幂函数中,定义域为{x|x>0}的是(
2 3

)
3 4

A.y=x3 C.y=x


B.y=x2
1 3

D.y=x



2 3 1 1 3 - 解析:选 D.A.y=x3= x2,x∈R;B.y=x2= x3,x≥0;C.y=x 3= ,x≠0;D.y=x 3 x 3 1 - ,x>0. 4= 4 3 x

3.已知幂函数的图象 y=xm2-2m-3(m∈Z,x≠0)与 x,y 轴都无交点,且关于 y 轴对 称,则 m 为( ) A.-1 或 1 B.-1,1 或 3 C.1 或 3 D.3 解析:选 B.因为图象与 x 轴、y 轴均无交点,所以 m2-2m-3≤0,即-1≤m≤3.又图 象关于 y 轴对称,且 m∈Z,所以 m2-2m-3 是偶数,∴m=-1,1,3.故选 B. 4.下列结论中,正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限 ②α=0 时,幂函数 y=xα 的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数 y=xα,当 α≥0 时是增函数 ④幂函数 y=xα,当 α<0 时,在第一象限内,随 x 的增大而减小 A.①② B.③④ C.②③ D.①④ α 解析:选 D.y=x ,当 α=0 时,x≠0;③中“增函数”相对某个区间,如 y=x2 在(-∞, 0)上为减函数,①④正确. 5.在函数 y=2x3,y=x2,y=x2+x,y=x0 中,幂函数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 0 解析:选 B.y=x 与 y=x 是幂函数. 6.幂函数 f(x)=xα 满足 x>1 时 f(x)>1,则 α 满足条件( ) A.α>1 B.0<α<1 C.α>0 D.α>0 且 α≠1 解析:选 A.当 x>1 时 f(x)>1,即 f(x)>f(1),f(x)=xα 为增函数,且 α>1. 7.幂函数 f(x)的图象过点(3, 3),则 f(x)的解析式是________. 1 1 解析:设 f(x)=xα,则有 3α= 3=32?α= . 2
1

答案:f(x)=x2 8.设 x∈(0,1)时,y=xp(p∈R)的图象在直线 y=x 的上方,则 p 的取值范围是________. 解析:结合幂函数的图象性质可知 p<1. 答案:p<1

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9.如图所示的函数 F(x)的图象,由指数函数 f(x)=ax 与幂函数 g(x)=xα“拼接”而成, 则 a 、aα、αa、αα 按由小到大的顺序排列为________. 解析:依题意得 1 1 1 a4= a= , 2 16 ? 1 1 1 ? ?α= α= . 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 所以 aa=( )16=[( )4]16,aα=( )2=[( )32]16,αa=( )16,αα=( )2=[( )8]16,由幂函数 16 2 16 2 2 2 2
a

? ? ?

? ? ?

单调递增知 aα<αα<aa<αa. 答案:aα<αα<aa<αa - 10.函数 f(x)=(m2-m-5)xm 1 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定 m 的值. 解:根据幂函数的定义得:m2-m-5=1, 解得 m=3 或 m=-2, 当 m=3 时,f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数; - 当 m=-2 时,f(x)=x 3 在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故 m=3. + - 11.已知函数 f(x)=(m2+2m)·m2 m 1,m 为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例 x 函数;(3)二次函数;(4)幂函数? 解:(1)若 f(x)为正比例函数, ? 2 ?m +m-1=1 则? 2 ?m=1. ?m +2m≠0 ? (2)若 f(x)为反比例函数, ?m2+m-1=-1 ? 则? 2 ?m=-1. ? ?m +2m≠0 (3)若 f(x)为二次函数, ? 2 ?m +m-1=2 -1± 13 则? 2 ?m= . 2 ?m +2m≠0 ? (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, ∴m=-1± 2. - - 12.已知幂函数 y=xm2 2m 3(m∈Z)的图象与 x、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称,求 m 的值,并画出它的图象. 解:由已知,得 m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3. 又∵m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3.
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当 m=0 或 m=2 时,y=x 3 为奇函数,其图象不关于 y 轴对称,不适合题意. ∴m=± 或 m=3.当 m=-1 或 m=3 时,有 y=x0,其图象如图(1). 1 - 当 m=1 时,y=x 4,其图象如图(2).



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