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高中数学集合知识点总结


一:集合 1、分类 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2、列举法:{a,b,c??} R| x-3(3、描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x>2} ,{x| x-3>2} 4、语言描述法: 5、Venn 图: 韦 恩 图 示 性

质 A A=A A Φ=Φ A B=B A ABA ABB A A=A A Φ=A A B=B A ABA ABB (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= Φ .

6、集合的分类: 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” A(即:① 任何一个集合是它本身的子集。A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)(B,且 A(②真子集:如果 A C(C ,那么 A(B, B(③如果 A B(④ 如果 A A 那么 A=B(同时 B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 A B(读作 ‘A 交 B’ ) ,即 A B={x|x A,且 x B} . 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A B(读作 ‘A 并 B’ ) ,即 A B ={x|x A,或 x B}). 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 ,即 CSA= 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函 数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (3)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (4)指数为零底数不可以等于零, (5)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数 关系 y=f(x), (2) 画法 描点法:

图象变换法 1 平移变换 2 伸缩变换 3 对称变换 3、映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 3.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 二.函数的性质 1.函数的单调性 (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增 区间. (2)减函数 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○2 作差 f(x1)-f(x2); ○3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ○5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ○1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;

○3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1 定义域 x>0 定义域 x>0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

函数图象都过定点(1,0)


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