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【2019年整理】9-1常数项级数的概念和性质






1.
R a1

a1 a2

3 2n a1 a2 an

A a1 a2 an

2.

1 3



3 10



3 100



3 1000



3 10n





1. :




un u1 u2 u3 un

n1


()

n

sn u1 u2 un ui



i 1

s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,

2. :


n, un
n1

{ sn}

s,



lim
n

sn



s







un , s un

n1

n1

.s u1 u2 u3

{sn}, un .
n1



()

lim
n

sn

()


rn s sn un1 un2 uni

i 1

sn s

rn

(lim n

rn



0)

1 ()

aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
.
|q | 1
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q

q 1,

lim qn 0
n

a

lim
n

sn



1

q



q 1,

lim qn
n

lim
n

sn





q 1



q 1, sn na



q 1, a a a a



lim
n

sn






aq n
n0

q q



1, 1,

2

1 1

1

.

13 35

(2n 1) (2n 1)



un



(2n



1 1)(2n



1)



1( 1 2 2n

1



1 2n

), 1



sn

1 1 3

1

1

35

(2n 1) (2n 1)

1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )

2 3 23 5

2 2n 1 2n 1

1 (1 1 ), 2 2n 1



lim
n

sn



lim
n

1 (1 2

1) 2n 1



1, 2

, 1 . 2







1 un , kun(k 0).

n1

n1

: ,

.





2 s un , vn ,

n1

n1


(un vn ),s .
n1
: .





3 un , un

n1

n k 1

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uk1 uk2 ukn

n uk1 uk2 ukn

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lim
n



n



lim
n

snk



lim
n

sk



s

sk

.



.

4 .

(u1 u2 ) (u3 u4 u5 )

1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,

,m sn ,



lim
m



m



lim
n

sn



s.



.

(1 1) (1 1)

1111



, .



:

n, un,





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n

un



0.


s un un sn sn1 ,

n1



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n

un



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n

sn



lim
n

sn1



s



s



0.



1.,;

1 2 3 (1)n1 n

234

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2..

1 1 1 1

23

n



lim
n

un

0,

?





s2n



sn



1 n1

1 n

2

1 2n



n 2n



1, 2

, s.

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n

0 1 (n ) 2

.

.

2

2

4

8

(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )

2 3 4 5 6 7 8 9 10

16







(

1 2m

1



1 2m

2







1 2m1

)





1

2m

2

m 1(m 1) 1 2



.

4,.







1.,sn s,;

2.lim n

un



0,;

3..

:



1



x 2



x 24



x 2

4

x 6



an

_______

2

a 2 3



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an

________


3 aqn ,_________

n0

.



1 1 1

1



13 35 57

(2n 1)(2n 1)

.

:

11 1 1 1

369

3n

2( 1 2



1) 3

1 (22



1 32

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1 (23



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)

1 (2n



1 3n

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3 1 2



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1 2n

1 10n

.



n

1

x2

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2n 1

3 q 1, q 1 .

. 1

2

3[ s2n



n k 1

(

1 2k



1 )]. 10k


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