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广东省佛山市第一中学2014_2015学年高二数学下学期期中试题理

佛山一中 2014-2015 学年度下学期高二期中考试 数学(理数)试题 注意事项:1.本试题 满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.选择题部分,请将选出的答案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上。将答案用黑色签字 (0.5mm)笔填涂在答题卡指定位置。 一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ( A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 2 ( ) ) 2. 某质点的运动方程是 S (t ) ? 2t? (t ? 1)2 ,则在 t ? 2 s 时的瞬时速度为 A.-2 B.-4 C.-5 D.0 3. 已知二次函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ,则它的图象与 x 轴所围图形的面积为 ( 4 A. 3 3 C. 2 ) 2π B. 5 π D. 2 4. 在古希腊毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,?这些数叫做三角形数,因为这 些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图) 则第 n 个三角形数为( A、 n B、 ) 1 n(n ? 1) 2 2 C、 n ? 1 D、 1 n(n ? 1) 2 ) 5. 用 0,1,2,3,4 五个数字,可以组成没有重复的三位数的个数为( A.10 2 6. 在 ( 2 x ? B.24 C.40 D.120 ) 1 5 ) 的二项展开式中 x 的系数为 ( x B. 10 C. -40 D. 40 A. -10 -1- 7. f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数, f ?( x ) 的图象如右图所示,则 f ( x) 的图象只可能是( ) A B C D ( ) 8. 函数 y ? x 3 ? 3x ? 3 在[ ? A. 1 B. 3 ,2 ]上的最小值是 2 C.5 D. 0 33 8 9.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,每家人坐一起,则不同的坐法种数为( A. 3 ? 3! B. 3 ? (3!)3 C. (3!)4 D. 9! ) 10. 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点, 则实数 a 的取 围是( ) B. (0, ) 值范 A. (??,0) 1 2 C. (0,1) D. (0,??) 二、 填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 11. 计算定积分 ? sin xdx ? ?1 1 . 3 12. 用反证法证明命题“ a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的假 设是: “方程 x ? ax ? b ? 0 3 ”. 13.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案有 14. 将正偶数按如图所示的规律排列: 2 4 8 6 10 12 -2- 种(请用数字作答). 14 ?? 16 18 20 则第 n(n≥4)行从左向右的第 4 个数为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答 应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本题满分 12 分) ) 已知复数 z1 ? (a ? 5) ? (3a ? 1)i , z 2 ? (3a ? 1) ? (a ? 3)i , (a ? R, i是虚数单位 2 (1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限内,求实数 a 的取值范围. (2)把复数 z 的共轭复数记为 z ,若 a ? 1 时,求 z1 ? z1 与 z2 z2 . 16.(本题满分 12 分) 某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以增 2 加,且每星期多卖出的件数 t 与商品单价的降低值 x 元( 0 ? x ? 30 )的函数关系为: t ? kx . 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1) 将一个星期的商品的销售利润表示成 x 的函数; (2) 如何定价才能使得一个星期的商品销售利润最大? 17.(本题满分 14 分) (1)求证: 4 sin ? cos 2 ? 2 ? 2 sin ? ? sin 2? . -3- (2)已知: x ? y ? 0 ,且 xy ? 1 ,求证: x2 ? y2 ? 2 2 ,并且求等号成立的条件. x? y 18.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)e x ( x ? R). (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的极值. 3 19.(本题满分 14 分) 设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ 1 ( n ? 1,2,? ). an (1)试写出 a2 , a3 , a4 ; (2)请用数学归纳法,证明 an> 2n ? 1 对一切正整数 n 都成立; -4- (3)令 bn = an n ( n ? 1,2,? ) ,判定 bn 与 bn?1 的大小,并说明理由. 20.(本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? ax2 ? 1 ,其中 e 为自然对数 (1)求函数 f ( x) 的增区间; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; n n ? (3)若 n ? N ,证明: ( ) ? ( ) ? ? ? ( 1 n 2 n n ?1 n n e )