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广东省佛山市第一中学2014_2015学年高二数学上学期第一次段考试题理

佛山一中 2014-2015 学年度上学期高二第一次段考 理科数学试题 参考公式:锥体体积:V ? 1 Sh 3 4 球体体积: V ? ?R 3 3 台体体积 : V = 球表面积: 1 ( S上底 + S下底 + 3 S上底 S下底 )h 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. 在空间,下列命题正确的是 ( A. 平行直线的平行投影重合 C.垂直于同一平面的两个平面平行 2. 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) B.②和③ C.③和④ D.②和④ ) B.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3. 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为 1 的正方形(如左下图),则原图 形的面积是 ( ) y’ A. 2 B. 2 C.2 2 D. 4 x’ 4. 一个正方体的展开图如图所示, A、 B、 C、 D 为原正方体的顶点, 则在原来的正方体中( A.AB∥CD B.AB 与 CD 相交 C.AB⊥CD D.AB 与 CD 所成的角为 60° ) 5. P 是平面 ABC 外一点, PO ? 平面 ABC ,垂足为 O ,若 PA, PB, PC 两辆互相垂直, 则 O 是 ?ABC 的 ( ) A. 垂心 B.内心 C.重心 D. 外心 1 6. 某几何体的三视图如左下图所示,它的体积为 A. 72? B. 48? C. 30? ( ) D. 24? 7 . 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 ) D.60+12 5 8. 已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于 A.4 ? B.3 ? C.2 ? ( D. ? ) 二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知圆锥的母线长为 5 cm ,侧面积为 15? cm 2 ,则此圆锥的体积为__________ cm 3 . 10. 正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的内切球的体积为 ______ 11. 已知正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2,A1B1=1,AB=2, 则该四棱台的侧面积等于 12. 如图, ?ABC 中, ?C ? 90 ? , ?A ? 30 ? , BC ? 1 . 在三角形内挖去半圆(圆心 O 在边 AC 上,半圆与 4? , 则这个正方体的外接球的表面积为 3 BC、AB 相切于点 C、M,与 AC 交于 N) ,则图中 阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转体的体积为 . 13. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB , E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为__________ 14.已知正四面体的各棱长都为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 2 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分 12 分) D1 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , AA1 ? AD ? 4 , 点 E 为 AB 中点. (Ⅰ) 求证: BD1 // 平面 A1 DE ; (Ⅱ) 求证: A1 D ? 平面 ABD1 ; A E D C B A1 B1 C1 16.(本题满分 12 分) 如图,在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证: (1)A1C?平面 BDC1; (2)求三棱锥 A1—BDC1 的体积。 A1 B1 D1 C1 D C A B 17.(本题满分 14 分) 如图,三角 ABC 是边长为 4 正三角形, PA ? 底面 ABC , PA ? 点,点 E 在 AC 上,且 DE ? AC . (1) 证明:平面 PDE ? 平面 PAC ; (2)求直线 AD 和平面 PDE 所成角的正弦值. 7 ,点 D 是 BC 的中 18.(本题满分 14 分) 如图, AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 AC 3 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB ? 5a . (1) 证明: EB ? FD ; (2) 求点 B 到平面 FED 的距离. 19.(本题满分 14 分) 如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、 G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(图(2)). (1) 求证:平面 EFG∥平面 PAB; (2) 若点 Q 是线段 PB 的中点,求证:PC⊥平面 ADQ; (3) 求三棱锥 C-EFG 的体积. 20.(本题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 S ? ABC 中 , SA ? 平 面 ABC , S ?ABC ? 90? , SA ? BC ? 2, AB ? 4 , M , N , D 分别是 SC , AB, BC 的中点. (1) 求证: MN ? AB ; (2) 求二面角 S ? ND ? B 的余弦值; (3) 求点 M 到平面 SND 的距离. A N