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排列组合的解题技巧


有关排列组合的常用解题技巧
1.相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列. 【例 1】A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 A、B 必须相邻且 B 在 A 的右边, 那么不同的排法种数有[ ] A.60 种 B.48 种 C.36 种 D.24 种 分析 把 A、B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于
4 4 人全排列,P4 =24种,故选D.

2.相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题, 可先把无位置要求的几个元素全排列, 再把规定相离的几个 元素插入上述几个元素间的空位和两端. 【例 2】 七个人并排站成一行, 如果甲乙两个必须不相邻, 那么不同排法的种数是[ ] A.1440 B.3600 C.4820 D.4800

分析 除甲、乙外,其余5个排列数为P55 种,再用甲、乙去插 6个空位有P62 种,不同排法种数是P55 P62 =3600种,故选B.
3.定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法. 【例 3】A、B、C、D、E 五个人并排站成一排,如果 B 必须站 A 的右边(A、B 可不 相邻),那么不同的排法种数有[ ] A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 分析 B 在 A 右边与 B 在 A 左边排法数相同,所以题设的排法只是

1 5个元素全排列数的一半,即 P55 = 60种,故选B. 2
4.标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素, 如此继续下去,依次即可完成. 【例 4】将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数, 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ] A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 分析 先把 1 填入方格,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3× 1=9 种填法,故选 B. 5.有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法.
1

【例 5】有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务,不同的选法总数有[ ] A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种 分析 先从 10 人中选出 2 个承担甲项任务,再从剩下 8 个中选 1 人承担乙项任务,第
1 1 三步从另外 7 人中选 1 个承担两项任务, 不同的选 法共有C1 10 C8 C7 =2520种,故选C.

6.多元问题分类法 元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最 后总计. 【例 6】由数字 0,1,2,3,4,5 组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于 十位数字的共有[ ] A.210 个 B.300 个 C.464 个 D.600 个 分析 按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 分别有P55 个,P4 P3 P3 个、P3 P3 P3 个、P2 P3 P3 个、P3 P3 个,合并总计得300

个,故选B.
【例 7】从 1,2,3,?100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除, 这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? 分析 被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时, 它们的乘积就能被 7 整除, 将这 100 个数组成的集合视为全集Ⅰ,能被 7 整除的数的集合记作 A,则 A={7,14,?98}共有 14 个元素,不能被 7 整除

的数的集合A ? {1,2 ,?99 ,100}共有86个元素.由此可知,从A中任
2 取两数的取法,共有C14 种;从A中任取一个数又从A中任取一个数的取 1 2 1 1 法,共有C1 14 C 86 种,两种情形共得符合要求的取法有C14 ? C14 C 86 ? 1295

【例 8】从 1,2,?100 这 100 个数中,任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计 顺序)有多少? 分析 将Ⅰ={1,2,?,100}分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集 A={4, 8,?, 100} ; 被 4 除余 1 的数集 B={1,5,?,97} ;被 4 除余 2 的数集为 C={2,6,? 98} ;被 4 除余 3 的数集为 D={3,7,?99} ,易见这四个集合,每一个都含 25 个元素; 从 A 中任取两个数符合要求;从 B、D 中各取一个数的取法也符合要求;从 C 中任取两个 数的取法同样符合要求;此外其它取法都
1 1 2 不符合要求.由此即可得符合要求的取法共有C2 25 + C25C25 + C25 ( 种) .

7.交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式 n(A∪B)=n(A)+ n(B)-n(A∩B) 【例 9】从 6 名运动员中选出 4 个参加 4×100m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑 第四棒,共有多少种不同参赛方法?
2

分析 设全集Ⅰ={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲第一棒的排列} ,B={乙 跑第四棒的排列} ,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:

n( Ⅰ) -n(A) - n(B) +n(A∩B) =P64 ? P53 ? P53 ? P42 =252( 种) .
8.定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素. 【例 10】1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的 排法有________种.
1 分析 老师在中间三个位置上选一个位置,有P3 种;然后4 名同学 1 4 在其余4 个位置上有P44 种,共P3 P4 =72 种.

9.多排问题单排法 把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理. 【例 11】6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是[ A.36 B.120 C.720 D.1440. 分析 前后两排可看成一排的两段,因此本题可视为 6 个不同元素

]

排成一排,共P66 =720种,故选C.
【例 12】8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排, 某 1 个元素要排在后排,有多少种排法?(高中代数甲种本第三册 P82,23②).

分析 看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有P42
1 种;某1个元素在后半段四个位置中选一个,有P4 种;其余5个元素任 1 2 5 排在剩余的5个位置上有P55 种,故共有P4 P4 P5 =5760种排法.

10. “至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便. 【例 13】从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机 各一台,则不同取法共有[ ] A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 分析 逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取
3 3 另一种型号的电视机,故不同取法共有C3 9 ? C4 ? C5 =70种.故选C.

11.选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法. 【例 14】四个不同的球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法 共有________种

3

分析 先取四个球中的二个为一组,另二组各一个球的方法有C 2 4
3 种;再排:在四个盒中每次排三个有P43 种,故共有C 2 4 C 4 =144 种.

【例 15】9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多 少种不同分组法?
2 2 分析 先取男、女运动员各二名,有C5 C 4 种;这四名运动员混双练 2 2 2 习有P2 2 种排法,故共有C5 C 4 P2 种分组法.

12.部分合条件问题排除法 在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为所求. 【例 16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ] A.70 个 B.64 个 C.58 个 D.52 个
4 分析 正方体8个顶点,从中每次取四点,理论上可构成C8 个四 面体,但

6 个 表 面 和 6 个 对 角 面 的 四 个 顶 点 共 面 都 不 能 构 成 四 面 体 , 所
4 以四面体实际共有C8 -12=58个,故选 C.

【例 17】正六边形中心和顶点共 7 个点,以其中 3 个点为顶点的三角形共有________ 个.

分析 7 个点中取三点的取法有C 3 7 种,但有三组三点共线不能构成三 角形,故所求三角形C 3 7 - 3= 32 个.

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