当前位置:首页 >> 数学 >>

2012年福建省质检、厦门、福州、泉州、漳州、莆田、三明、宁德市质检数学(理)汇编


2012 年福建省普通高中毕业班质量检查


参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=






锥体体积公式

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

4 S ? 4?R2 , V ? ?R3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
目要求的. 1.在复平面上,复数 z ? (?2 ? i)i 的对应点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

D.第四象限 ) D.4 )

2.平面向量 a ? ? 2,1? , b ? ? m, ?2 ? ,若 a 与 b 共线,则 m 的值为( A. ?1 3.双曲线 B. ?4 C.1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 2 x ? y ? 0 ,则其离心率为( a 2 b2
B.
2

A. 5

5 2

C. 3

D.5

4.若集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? a} , 则“ A ? B ? ? ”的充要条件是 A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?1 D. a ? ?1

5. 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 3 , 则正视图中的 x

2

的值是 A.2 B.

9 2

C.

3 2

D.3

6. 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, a1 , a3 , a4 成等比数列, 且 则数列 ?an ? 的前 9 项和等于

A .0

B .8

C .144
1

D .162

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 A. 2 或 2 2 B. 2 2 或 ? 2 2 C. ? 2 或 ? 2 2 D.2 或 ? 2 2

8. a ? 0 , 设 若关于 x 的不等式 x ? 最小值为 A. 16 B. 9

a 恒成立, 则 a 的 ? 5 在 x ? (1 , ? ?) x ?1

C.

4

D. 2

9.有 3 个男生和 3 个女生参加某公司招聘,按随机顺序逐个进行面试,那么 任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是

A.1 2

B.1 4

C. 1 24

D. 1 144

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 及其导函数 f ?( x) 的图象都是连续不断的曲线,且对于实数 a, b(a ? b) ,有

f ?(a) ? 0, f ?(b) ?0 .现给出如下结论:
=0 ? ① ?x0 ? [a, b], f ( x0) ;② ?x0 ? [a, b], f ( x0) f (b) ; ? ? ③ ?x0 ? [a, b], f ( x0) f (a) ;④ ?x0 ? [a, b], f (a) f (b) ? f ?( x0 )(a ? b) .
其中结论正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 第Ⅱ卷(非选择题 D. 4 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.

? ?x
2 ?2
3

3

? 1? dx ?
1 5 ) 展 开式的常数项是 x2

. .

12. ( x ?

13.圆 C 过坐标原点,圆心在 x 轴的正半轴上.若圆 C 被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的方程 是__________.

? x ? 2 y ? 0, ? 14.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 2 x ? y ? 0, ( a ? 0 )表示的平面区域的面积为 5,直线 mx-y+m=0 ?x ? a ?
过该平面区域,则 m 的最大值是 .

x , x 15. 对于非空实数集 A , A* ?{ y ? ?A y ? } . 记 设非空实数集合 M ? P , m ? 1 时, m? P . 现 若 则
给出以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 P* ? M * ; ②对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 M * ?P ? ? ;
2

③对于任意给定符合题设条件的集合 M、P,必有 M ? P* ? ? ; ④对于任意给定符合题设条件的集合 M、 必存在常数 a , P, 使得对任意的 b ? M * , 恒有 a ? b ? P * , 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②
由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ------③

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . cos 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? ?2sin

A? B A? B ; sin 2 2

(Ⅱ)若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2 A ? cos 2B ? 1 ? cos 2C ,试判断 ?ABC 的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 17. (本小题满分 13 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD??BC,BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , ?ABC ? 90 ,如图 (1) 把 ?ABD 沿 BD .
?

翻折,使得平面 ABD ? 平面BCD . (Ⅰ)求证: CD ? AB ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ?若存在,求出 若不存在,说明理由.
?

BN 的值; BC

18. (本小题满分 13 分)
3

2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城市环 保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第三组 第四组 PM2.5(微克/立方米) (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 频数(天) 4 12 8 8 4 4 频率 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1

(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程); (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居民区 的环境是否需要改进?说明理由; (Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环 境空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ( ? ) . 19. (本小题满分 13 分) 已知 F1 (?1,0), F2 (1,0) 为平面内的两个定点,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 2 2 ,记点 P 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)设点 O 为坐标原点,点 A , B , C 是曲线 ? 上的不同三点,且 OA ? OB ? OC ? 0 . (ⅰ)试探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论; (ⅱ)当直线 AB 过点 F1 时,求直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. 20.(本小题满分 14 分) 设函数 f (x) 的图象是由函数 g ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

??? ??? ??? ? ? ?

?

(1)将函数 g (x) 的图象向右平移 数 h( x ) 的图象;

? 个单位,并将横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函 12

1 的图象经下列两个步骤变换得到: 2

(2)将函数 h( x ) 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 m(0 ? m ? 1 ) 倍(横坐标不变) ,并将图象向

2

上平移 1 个单位,得到函数 f (x) 的图象.

4

(Ⅰ)求 f (x) 的表达式; (Ⅱ)判断方程 f ( x) ? x 的实根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)设数列 {a n } 满足 a1 ? 0, an?1 ? f (an ) ,试探究数列 {a n } 的单调性,并加以证明. 21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 、 、 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知向量 ?

?1 ? 1? ? 在矩阵 M ? ? ?0 ? ? 1? ?

m? ? 0? ? 变换下得到的向量是 ? ? ? ?1? . ? 1? ? ?

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求曲线 y ? x ? y ? 0 在矩阵 M ?1 对应的线性变换作用下得到的曲线方程.
2

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 M 的极坐标 为( 2 , 4

?

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? . ) ,曲线 C 的参数方程为 ? (?为参数) 4 ? y ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)求直线 OM 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 设实数 a, b 满足 2a ? b ? 9 . (Ⅰ)若 9 ? b ? a ? 3 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 a, b ? 0 ,且 z ? a b ,求 z 的最大值.
2

5

2012 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.C; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.A; 7.D; 8.C; 9.B; 10.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11.4 ; 12.10; 13. ? x ? 2 ? ? y ? 4 ; 14. 4 ; 15.①④.
2 2

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识,考查运算求 解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ?sin ? sin ? ,------①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,------②……………………………………………2 分
①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? .------③………………………………3 分

A? B A? B , ,? ? 2 2 A? B A? B 代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin .………………………………………6 分 sin 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2B ? 1 ? cos 2C 可化为

1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ?1 ? 2sin 2 C ,……………………………………………9 分
所以 sin A ? sin C ? sin B .……………………………………………10 分
2 2 2

设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 由正弦定理可得 a ? c ? b .…………………………………………12 分
2 2 2

根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.……………………………………………13 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2B ? 1 ? cos 2C 可化为

?2sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 C ,……………………………………………8 分
因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 所以 ? sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? ? sin
2

? A ? B? .
6

又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B ? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2sin A cos B ? 0 .……………………………………………10 分 又 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,故 ?B ?

?
2

.……………………………………………12 分

所以 ?ABC 为直角三角形. ……………………………………………13 分 17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能 力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)由已知条件可得 BD ? 2, CD ? 2, CD ? BD .………………………………2 分 ∵平面 ABD ? 平面BCD , 平面ABD ?平面BCD ? BD . ∴ CD ? 平面ABD .……………………………………3 分 又∵ AB ? 平面ABD ,∴ CD ? AB .……………………………………4 分 (Ⅱ) 以点 D 为原点,BD 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴, 建立空间直角坐标系, 如图. 由 已知可得 A(1,0,1), B(2,0,0), C(0, 2,0), D(0,0,0), M (1,1,0) . ∴ CD ? (0, ?2, 0), AD ? (?1, 0, ?1) .………………6 分 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则 CD ? n, AD ? n ∴ ?

??? ?

????

? y ? 0, ? x ? z ? 0,

令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0,?1) ,

? ???? ? n ? MC 2 .……………………………………………8 分 ∴点 M 到平面 ACD 的距离 d ? ???? ? ? 2 MC
(Ⅲ)假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 .……………………9 分 设 BN ? ? BC , 0 ? ? ? 1 ,则 N (2 ? 2? , 2?,0) , ∴ AN ? (1 ? 2? , 2? , ?1) ,
? 又∵平面 ACD 的法向量 n ? (1,0,?1) 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,
?

????

??? ?

????

7

???? ? AN ? n 3 ,……………………………………………11 分 ∴ sin 600 ? ???? ? ? 2 AN ?n
可得 8? ? 2? ? 1 ? 0 ,
2

∴? ?

1 1 . 或? ? ? (舍去) 4 2
?

综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,此时 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由已知条件可得 AB ? AD , AB ? AD ?

BN 1 ? .…………13 分 BC 4

2 ,∴ S ?ABD ?

1 AB ? AD ? 1 . 2

由(Ⅰ)知 CD ? 平面ABD ,即 CD 为三棱锥 C-ABD 的高,又 CD=2, ∴ VC ? ABD ?

1 2 CD ? S ?ABD ? , 3 3
1 ,…………………………6 分 2

又∵点 M 为线段 BC 中点, ∴ 点 M 到平面 ACD 的距离等于点B到平面 ACD 的距离的 ∴ VM ? ADC ?

1 1 1 VB? ADC ? VC ? ABD ? , 2 2 3

1 AD ? DC ? 2 , 2 设点 M 到平面 ACD 的距离为 d ,则 1 d ? S?ADC ? 1 ,即 1 ? d ? 2 ? 1 3 3 3 3
∵ CD ? AD ,AD= 2 ,CD=2,∴ S ?ACD ? 解得 d =

2 2 ,∴设点 M 到平面 ACD 的距离等于 .…………………………………8 分 2 2

(Ⅲ)同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)∵点 M 为线段 BC 中点, ∴ 点 M 到平面 ACD 的距离等于点B到平面 ACD 的距离的 由已知条件可得 AB ? AD ,由(Ⅰ)知 AB ? CD , 又 AD ? CD ? D ,∴ AB ? 平面ACD , ∴点B到平面 ACD 的距离等于线段 AB 的长. ∵ AB ?

1 ,………………………………6 分 2

2 ,∴设点 M 到平面 ACD 的距离等于

2 ……………………………………………8 分 2

(Ⅲ)同解法一. 18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算
8

求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解:(Ⅰ) 众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米.……………………………………4 分 (Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为

7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立方
米).…………………6 分 因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进.……………………………………………8 分 ( Ⅲ ) 记 事 件 A 表 示 “ 一 天 PM2.5 的 24 小 时 平 均 浓 度 符 合 环 境 空 气 质 量 标 准 ” , 则

P( A) ?

9 .………………9 分 10

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且 ?

? B(2,

9 ). 10

所以 P(? ? k ) ? C2 (
k

9 k 9 ) (1 ? )2?k (k ? 0,1,2) ,…………………………………………11 分 10 10

所以变量 ? 的分布列为

?
p

0

1

2

1 100

18 100

81 100
…………………………………………12 分

E? ? 0 ?

1 18 81 9 ? 1? ? 2? ? 1.8 (天),或 E? ? nP ? 2 ? ? 1.8 (天). ……………………13 分 100 100 100 10

19.本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)由条件可知, 点 P 到两定点 F1 (1,0), F2 (?1,0) 的距离之和为定值 2 2 , 所以点 P 的轨迹是以 F1 (1,0), F2 (?1,0) 为焦点的椭圆.…………………………………………2 分 又 a ? 2 , c ? 1 ,所以 b ? 1, 故所求方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………4 分 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由 OA ? OB ? OC ? 0 ,得 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 .…………………………5 分
9

??? ??? ??? ? ? ?

?

(ⅰ)可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? n (k ? 0) , 代入 x ? 2 y ? 2 并整理得, (1 ? 2k ) x ? 4knx ? 2n ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2 2

4kn 2n , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2n ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 4kn 2n 1 从而可得点 C 的坐标为 ( ,? ) , kOC ? ? . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2k 1 因为 k AB ? kOC ? ? ,所以直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.……………………………8 分 2
依题意, ? ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? (ⅱ)若 AB ? x 轴时, A(?1,

??? ??? ??? ? ? ? ? 2 2 ), B(?1, ? ) ,由 OA ? OB ? OC ? 0 , 2 2

得点 C (2,0) ,所以点 C 不在椭圆 ? 上,不合题意. 因此直线 AB 的斜率存在.……………………………9 分 由(ⅰ)可知,当直线 AB 过点 F1 时, 有 n ? k ,点 C 的坐标为 (

4k 2 2k ,? ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

代入 x ? 2 y ? 2 得,
2 2

16k 4 8k 2 ? ? 2 ,即 4k 2 ? 1 ? 2k 2 , 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
……………………………11 分

所以 k ? ?

2 . 2

(1)当 k ?

2 2 1 时,由(ⅰ)知, k ? kOC ? ? ,从而 kOC ? ? . 2 2 2 1 2 2 ? ? , 2 2 4

故 AB 、 其底边长为 1 , 且底边上的高 h ? OC 及 x 轴所围成三角形为等腰三角形,

所求等腰三角形的面积 S ?

1 2 2 ? 1? ? . 2 4 8

(2)当 k ? ?

2 2 1 时,又由(ⅰ)知, k ? kOC ? ? ,从而 kOC ? , 2 2 2

同理可求直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为

2 . 8 2 .…………………13 分 8

综合(1) ,直线 AB 、 OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为 (2) 解法二: (Ⅰ)同解法一.

10

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由 OA ? OB ? OC ? 0 得: x1 ? x2 ? x3 ? 0 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 .………………………5 分 (ⅰ)因为点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在椭圆上,所以有: x1 ? 2 y1 ? 2 , x2 ? 2 y2 ? 2 ,
2 2 2 2

??? ??? ??? ? ? ?

?

两式相减,得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 从而有

y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ?? . x1 ? x2 x1 ? x2 2 y3 , x3

又 y1 ? y2 ? ? y3 , kOC ? 所以 k AB ? kOC ? ?

1 ,即直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.………………………………8 分 2

(ⅱ)同解法一. 20.本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识,考查运 算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分 14 分. 解:(Ⅰ) g ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? …………………2 分 2 2 2 2

?

1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin ? 2 x ? ? …………………………3 分 2 2 6? ?

? h ? x ? ? sin x ,…………………………4 分 f ? x ? ? m sin x ? 1 .…………………………5 分
(Ⅱ)方程 f ( x) ? x 有且只有一个实根. …………………………6 分 理由如下: 由(Ⅰ)知 f ? x ? ? m sin x ? 1 ,令 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? m sin x ? x ? 1 , 因为 F ? 0 ? ? 1 ? 0 ,又因为 0 ? m ?

? 3 ? 1 ?? ? ,所以 F ? ? ? m ? ? 1 ? ? ? 0 . 2 2 2 2 ?2?

所以 F ? x ? ? 0 在 ? 0,
'

? ?? ? 至少有一个根. …………………………7 分 ? 2?

又因为 F ? x ? ? m cos x ? 1 ? m ? 1 ? ? 所以函数 F ? x ? 在 R 上单调递减,

1 ? 0, 2

11

所以函数 F ? x ? 在 R 上有且只有一个零点, 即方程 f ? x ? ? x 有且只有一个实根. …………………………9 分 (Ⅲ)因为 a1 ? 0, an ?1 ? f ? an ? ? m sin an ? 1, 所以a2 ? 1 ? a1 , 又 a3 ? m sin1 ? 1 ,因为 0 ? 1 ? ? ,所以 0 ? sin1 ? 1,所以 a3 ? 1 ? a2 .

2

由此猜测 an ? an ?1 (n ? 2) ,即数列 ?an ? 是单调递增数列. …………………………11 分 以下用数学归纳法证明: n ? N , 且 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 0 成立. (1)当 n ? 2 时, a2 ? 1, a1 ? 0 ,显然有 a2 ? a1 ? 0 成立. (2)假设 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 ak ? ak ?1 ? 0(k ? 2) .…………………………12 分 则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? f ? ak ? ? m sin ak ? 1 , 因为 0 ? m ?

又 sin x 在 0, ? 上单调递增, 0 ? ak ?1 ? ak ?

? 2?

1 1 ? ,所以 ak ? f ? ak ?1 ? ? m sin ak ?1 ? 1 ? m ? 1 ? ? 1 ? . 2 2 2

?

2



所以 sin ak ? sin ak ?1 ? 0 ,所以 m sin ak ? 1 ? m sin ak ?1 ? 1 , 即 sin ak ?1 ? m sin ak ?1 ? 1 ? f (ak ?1 ) ? ak ? 0 , 即 n ? k ? 1 时,命题成立. …………………………13 分 综合(1) ,(2), n ? N , 且 n ? 2 时, an ? an ?1 成立. 故数列 ?an ? 为单调递增数列. …………………………14 分 21. (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (1) 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.潢分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 ? ? 所以 ? ?

?1 ?0

m ?? 1 ? ?1 ? m ? ?? ? ? ? ?, 1 ?? ? 1? ? ? 1 ? ?? ? ? ?

?1 ? m ? ? 0 ? ? ? ? ? ,即 m =1.…………………………………………3 分 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? ?1 1? ?1 ? ,所以 M ?1 ? ? ? 1? ?0 ? 1? ? .…………………………………4 分 1?

(Ⅱ)因为 M ? ? ?0 ?
2

?1 设曲线 y ? x ? y ? 0 上任意一点 ( x , y) 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是 ( x? , y?) .

12

由?

? x? ? ? 1 ? 1 ? ? x ? ? x ? y ? ??? ?? ? ? ? ?, ? y? ? ? 0 1? ? y ? ? y ?

……………………………………………5 分

所以 ?

? x ? y ? x?, ? x ? x? ? y?, 2 2 得? 代入曲线 y ? x ? y ? 0 得 y ? ? x? .………………………6 分 ? y ? y? ? y ? y?

由 ( x , y) 的任意性可知, 曲线 y ? x ? y ? 0 在矩阵 M ?1 对应的线性变换作用下的曲线方程为 y ? x . ………………7 分
2 2

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ( 2 , 4

?
4

4 ) 得点 M 的直角坐标为 ( , 4) ,

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .…………………………………………3 分 (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ?
2 2

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ? ?

(?为参数)

化为普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 2 ,……………………………5 分 圆心为 A(1, 0) , ,半径为 r ? 2 . 由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为 MA ? r ? 5 ? 2 .…………7 分 (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想.满 分 7 分. 解: (Ⅰ)由 2a ? b ? 9 得 9 ? b ? 2a ,即 | 6 ? b |? 2 | a | . 所以 9 ? b ? a ? 3 可化为 3 a ? 3 ,即 a ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 1 . 所以 a 的取值范围 ?1 ? a ? 1 .…………………………………………4 分 (Ⅱ)因为 a , b ? 0 , 所以 z ? a 2b ? a ? a ? b ? (

a?a?b 3 2a ? b 3 ) ?( ) ? 33 ? 27 ,…………………………………6 分 3 3

当且仅当 a ? b ? 3 时,等号成立. 故 z 的最大值为 27.…………………………………………7 分

13

福建省厦门市 2012 年高中毕业班适应性考试

数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求. 1.复数 z ?

2 ? 4i (i 为虚数单位)的共轭复数等于 1? i

A.1+3i B.1- 3i C.-1 +3i D.-1 -3i 2.“2<x<3”是“x(x-5)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 6 场比赛得分情况用茎叶图 记录,下列四个结论中,不正确的是 A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 4.已知圆 C:(x+l)2+y2=1,过点 P( -3,0)作圆的两条切线,切点为 A,B,则四边形 PACB 的面积等 于 A.

3 2

B. 3

C.2

D.2 3

5.等差数列{ an }中, an ? an ?1 ? 4n(n ? N *) ,则其公差 d 等于 A.2 B.4 C.± 2 D.+4 6.某校 3 名艺术生报考三所院校,其中甲、乙两名学生填报不同院校,则填报结果共有 A.18 种 B.19 种 C.21 种 D.24 种 7.已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何 体中相互垂直的棱共有 A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 8.函数 y ? a , y ? sin ax (a>0 且 a≠1)在同一个直角坐标系中
x

的图象可以是

9.已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆与双曲线 C a 2 b2

在第二象限的交点为 P,若双曲线的离心率为 5,则 cos ?PF2 F1 等于
14

A.

3 5

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6

10.将 y ? ln x 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 ? 后第一次与 y 轴相切,则角 ? 满足的条件是 A.esin ? = cos ? B.sin ? = ecos ? C.esin ? =l D.ecos ? =1

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.执行右边的程序,输出的结果是 . 12.已知函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2 cos x ,
2

则函数 y ? f ( x) 的单调递减区间是 13.已知△ ABC 外接圆的圆心为 O, 且 OA ? 3OB ? 2OB ? 0, 则∠AOC= 14.如图,射线 y= 3 x( x ? 0) 上的点 A1,A2,…, An,其中 A1(1, 3 ) 2(2,2 3 ) ,A , 且 | An An ?1 |? 的横坐标是



??? ?

??? ?

??? ?

?



1 | An?1 An | (n ? 2,3, 4,...).则An 2


15.定义在 R 上的函数 f ( x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 ? ( ? ∈R,使得对任意的 x ? R, 都有 f(x+ ? )= ? f(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”, ? 为“倍增系数”,下列命题为真命题的是____ (写出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y ? f ( x) 是倍增系数 ? =-2 的倍增函数,则 y ? f ( x) 至少有 1 个零点; ②函数 f ( x) ? 2 x ? 1 是倍增函数,且倍增系数 ? =1; ③函数 f ( x ) ? e 是倍增函数,且倍增系数 ? ∈(0,1) ;
?x

④若函数 f ( x) ? sin(2? x)(? ? 0) 是倍增函数,则 ? ?

k? (k ? N *) . 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 为适应 2012 年 3 月 23 日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》 ,某驾校将小 型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从 10 个备选测试项目中随机抽取 4 个,只有选中的 4 个项目 均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对 10 个测试项目测试合格的概率均为 0.8;乙对其中 8 个 测试项目完全有合格把握,而对另 2 个测试项目却根本不会. (I)求甲恰有 2 个测试项目合格的概率; (Ⅱ)记乙的测试项目合格数力 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

15

17. (本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ADF— BCE 中, 所有棱长均为 2, ∠ABC=60° ∠ABE=90° , , 平面 ABCD⊥平面 ABEF,M,N 分别是 AC,BF 上的动点. (I)若 M,N 分别是 AC,BF 的中点,求证:MN∥平面 ADF; (Ⅱ)若 AM=FN =a(0≤a≤2) ,当四面体 AMNB 的体积最大时,求实数 a 的值.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ), 其中 A≠0, ? ? (0, (I) 若函数 f ( x) 的图象过点 E (? 的解析式; (Ⅱ)如图,点 M,N 分别是函数 y ? f ( x) 的图象在 y 轴两侧与 x 轴

?
2

) ,试分别解答下列两小题.

,1), F ( , 3) ,求函数 y ? f ( x) 12 6

?

?

???? ???? ? 2 ? 3? 的两个相邻交点, 函数图象上的一点 P (t, ) 满足 PN ? MN ? , 8 16
求函数 f(x)的最大值.

19. (本小题满分 13 分) 如图,在一段笔直的国道同侧有相距 120 米的 A,C 两处,点 A,C 到国道 的距离分别是 119 米、47 米,拟规划建设一个以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的临时仓库,且四周围墙总长为 400 米,根据公路法以及省公路管理条 例规定:建筑物离公路距离不得少于 20 米.若将临时仓库面积建到最大,该规 划是否符合规定?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=21nx+ax2 -1 (a ? R) (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a=l,试解答下列两小题. (i)若不等式 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? m 对任意的 0<x<l 恒成立,求实数 m 的取值范围;
16

(ii)若 x1,x2 是两个不相等的正数,且以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 求证: x1 ? x2 ? 2. 21.本小题设有(1) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选两题作答,满分 14 分,如果多做,则 (2) 按所做的前两题计分. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,A(l,0) ,B(2,0)是两个定点,曲线 C 的参数方程为 ? 为参数) . (I)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)以 A(l,0 为极点,| AB |为长度单位,射线 AB 为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (I)试证明柯西不等式: (a ? b )( x ? y ) ? (ax ? by ) (a, b, x, y ? R);
2 2 2 2 2

? x ? 2 ? cos ? (? ? y ? sin ?

??? ?

(Ⅱ)若 x ? y ? 2, 且 | x |?| y |, 求
2 2

1 1 ? 的最小值. 2 ( x ? y) ( x ? y)2

17

18

19

20

21

22

23

24

25

2012 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 综 合 练 习

数学(理科)试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、 班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:
样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差 锥体体积公式:

1? 2 2 2 x ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ?? 1 ? n 其中 x 为样本平均数 s?
柱体体积公式

V ?

1 Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R2 , V ? ?R3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是 符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 ? M ? U
2

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1} 应的点位于 A.第一象限 C.第三象限

B. {x | 0 ? x ? 1}
y A

D. {x | x ? 0或x ? 1} ??? ??? ? ? 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复
Ks B.第二象限 KKss555uuu D.第四象限

数 z1 ? z2 所 对
x

O B

3.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、 形,尺寸如图所示,则该几何体的体积为

第 2 题图

俯视图为正三角

2 3 3 C. 3
A.

3 3 2 D. 2 3
B.
第 4 题图

5.如图,执行程序框图后,输出的结果为 A.8 B.10 C.12 D.32 ?? ? ? 6.下列函数中,周期为 ? ,且在 ? , ? 上单调递增的奇函数是 ?4 2?

?? ? A. y ? sin ? x ? ? 2? ?
C. y ? sin ? 2 x ? ? ? ? ?
? 2?

?? ? B. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ? ?? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ?
26

7.已知 AB ? BC ? 0 , AB ? 1 , BC ? 2 , AD ? DC ? 0 ,则 BD 的最大值为 A.

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

???? ????

????

2 5 5

第 5 题图

B. 2

C.

5

D. 2 5
D1

8.若从区间 (0, e) 内随机取两个数,则这两个数之积不小于 e 的概率为 ...
1 A. 1 ? e

C1 B1 P C

2 B. 1 ? e

1 C. e

2 D. e

A1

9.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若平面 A1BCD1 上一动点

P 到 AB1 和 BC 的距离相等,则点 P 的轨迹为

D

A B A.椭圆的一部分 B.圆的一部分 第 9 题图 C.一条线段 D.抛物线的一部分 10.将方程 x ? tan x ? 0 的正根从小到大地依次排列为 a1 , a2 ,?, an ,? ,给出以下不等式:

① 0 ? an?1 ? an ?

?

2 ③ 2an?1 ? an?2 ? an ;



? an?1 ? an ? ? ; 2 ④ 2an?1 ? an?2 ? an ;



?

其中,正确的判断是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
? x ,x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f ? f ? ?1? ? ? ?2 , x ? 0 ?

.

12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重合,则 m n
a5 成 等 比 数

n ? __________. 13. 已知等差数列 ?an ? 的公差不为零, 1 ? a2 ? a5 ? 13 , a1 、 2 、 且 a a
列,则 a1 的取值范围为
f ?(?3) ? f ?(1)

.

14.已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示, 则 ★★★ .
第 14 题图

15.假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域,则称这条直线平分这个 区域.如图, ? 是平面 ? 内的任意一个封闭区域.现给出如下结论: ① 过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域 ? ; ② 过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域 ? ; ③ 区域 ? 内的任意一点至少存在两条直线平分区域 ? ; ④ 平面内存在互相垂直的两条直线平分区域 ? 成四份. 其中正确结论的序号是 算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 招聘会上,某公司决定先试用后再聘用小强,该公司的甲、乙两个部门各有 4 个不同岗位. (Ⅰ)公司随机安排小强在这两个部门中的 3 个岗位上进行试用,求小强试用的 3 个岗位中恰有 2 个 在甲部门的概率; (Ⅱ)经试用,甲、乙两个部门都愿意聘用他.据估计,小强可能获得的岗位月工资及相应概率如下 表所示: 甲部门不同岗位月工资 X 1 (元) 2200
27 第 14 题图 第 15 题图



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明过程或演

2400

2600

2800

获得相应岗位的概率 P1

0.4

0.3

0.2

0.1

乙部门不同岗位月工资 X 2(元) 2000 获得相应岗位的概率 P2 0.4

2400 0.3

2800 0.2

3200 0.1

求甲、乙两部门月岗位工资的期望与方差,据此请帮助小强选择一个部门,并说明理由. 17. (本小题满分 13 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1 ? 平 面 ABC , ?BAC ? 90? , 1 AB ? 2, AC ? 6 , 点 D 在线段 BB1 上,且 BD ? BB1 , AC ? AC1 ? E . 1 3 (Ⅰ)求证:直线 DE 与平面 ABC 不平行; 7 (Ⅱ) 设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? , cs ? ? 若o , AA1 求 7 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面 ADC1 ? 平面 ABC ? l ,求直线 l 与 DE 所 第 17 题图 成的角的余弦值. y 18. (本小题满分 13 分) 如图,圆 C 与 y 轴相切于点 T ? 0, 2 ? ,与 x 轴正半轴相交于两点

M , N (点 M 在点 N 的左侧) ,且 MN ? 3 .
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆 ? :

T

C A

x2 y 2 ? ? 1 相交于两点 4 8
B

O

M

N

x

A、B ,连接 AN、BN ,求证: ?ANM ? ?BNM .

19. (本小题满分 13 分)
ax 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ?a ? R? . x ?1

第 18 题图

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ?x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 的单调性;
? 1? 1 1 (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N * ) . ? n? n n

20. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 、 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)如果 tan ? ?
3 5 , B 点的横坐标为 ,求 cos ?? ? ? ? 的值; 4 13

(Ⅱ)若角 ? ? ? 的终边与单位圆交于 C 点,设角 ? 、? 、? ? ? 的

正弦线分别为 MA、NB、PC,求证:线段 MA、NB、PC 能构成一个三 角形;
(III)探究第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
第 20 题图

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 、 、 则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
28

设矩阵 M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标保持不变的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 A 、 B 的极 坐标分别为 (1 ,

?
3

) 、 (3 ,

? x ? r cos ? , 2? (? 为参数) . ) ,曲线 C 的参数方程为 ? 3 ? y ? r sin ?

(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程;KKKsss555uuu (Ⅱ)若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值. (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ?[?1, 2] 恒成立 (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数 f ? m ? ? m ?
1 的最小值. (m ? 2)2

2012 年福州市高中毕业班综合练习 理科数学试卷参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B 11. 2 2.A 3.C 4.D 5.B 6.D 7. C 8. B 15. ①④ 9.D 10. D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 12. 12 13. (1, ??) 14. ?5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记事件“小强试用的 3 个岗位中恰有 2 个在甲部门的概率”为 A ,则
P ? A? ?
2 1 C4 ? C4 3 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · ? .·······················6 分 3 C8 7

(Ⅱ) E甲 ? 2200 ? 0.4 ? 2400 ? 0.3 ? 2600 ? 0.2 ? 2800 ? 0.1 ? 2400 (元) ····· 7 分 , ····· ····· . ········· ········ E乙 ? 2000 ? 0.4 ? 2400 ? 0.3 ? 2800 ? 0.2 ? 3200 ? 0.1 ? 2400 (元) ·········8 分
D ? X甲 ? ? ? 2200 ? 2400 ? ? 0.4 ? ? 2400 ? 2400 ? ? 0.3 ? ? 2600 ? 2400 ? ? 0.2 ? ? 2800 ? 2400 ? ? 0.1
2 2 2 2

··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······ ? 40000 , ·······································9 分
D ? X乙 ? ? ? 2000 ? 2400 ? ? 0.4 ? ? 2400 ? 2400 ? ? 0.3 ? ? 2800 ? 2400 ? ? 0.2 ? ?3200 ? 2400 ? ? 0.1
2 2 2 2

····································· 10 ·········· ··········· ··········· ····· ? 160000 . ······································ 分 选择甲部门:因为 X甲 ? X乙,D ? X甲 ? ? D ? X乙 ? ,说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小,竞争
K 压力没有乙部门大,比较安稳.KKsss555uuu ···························· 分 ··························· 13 ·········· ··········· ······

选择乙部门:因为 X甲 ? X乙,D ? X甲 ? ? D ? X乙 ? ,说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大,岗位 工资拉的比较开,工作比较有挑战性,能更好地体现工作价值. ···········13 分 ··········· ·········· 17. (本小题满分 13 分) 解:依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AA1 ? h ,则
29

h? h? ? ? B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? .2 分 3? 2? ? ? ?? ? (Ⅰ)证明:由 AA1 ? 平面 ABC 可知 n1 ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的一个法向量.

∴ ∴

???? ?? ? ? h? h ········ 3 ········ DE ? n1 ? ? ?2,3, ? ? ? 0,0,1? ? ? 0 . ········· 分 6? 6 ?

直线 DE 与平面 ABC 不平行.·········· 分 ········· 4 ········· ?? ? (Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则
? ? ?? ???? h? h ? ?n2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2, 0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 ? ? , ····· 5 分 ····· ····· ? ?? ???? ?n? ? AC? ? ? x, y, z ? ? ? 0, 6, h ? ? 6 y ? hz ? 0 1 ? 2 ?? ? 取 z ? ?6 ,则 x ? y ? h ,故 n2 ? ? h, h, ?6 ? . ····· 分 ····· ···· 6 ?? ?? ? ? n1 ? n2 ?? ?? ? ? 6 7 ∴ cos? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? = , ···············7 分 ··········· ···· ·········· ···· ? ? ? 2 7 n1 n2 1? 2h ? 36

解得 h ? 6 3 . ∴
AA1 ? 6 3 .··································· 8 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ···

(Ⅲ)在平面 BCC1 B1 内,分别延长 CB、C1 D ,交于点 F ,连结 AF ,则直线 AF 为平面 ADC1 与平面 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······· ABC 的交线. ······································· 9 分 ∵ ∴
1 1 BD //CC1 , BD= BB1 = CC1 , 3 3

BF BD 1 ? ? . FC CC1 3 ??? 1 ??? ? ? ∴ BF ? CB , 2 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? 1 ∴ AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0 ? ? ? 2, ?6,0 ? ? ? 3, ?3,0 ? .········ 11 分 ········ ········ 2 2 ???? ? h? 由(Ⅱ)知, h ? 6 3 ,故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 , 6? ? ???? ???? ???? ???? AF ? DE ?15 5 ?? 2 . ················12 分 ∴ cos ? AF , DE ?? ???? ???? ? ··········· ····· ·········· ····· 8 3 2?4 AF DE

?

?



直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ?

5 5 ··········· ··· ·········· ··· 2 ? 2 .··············13 分 8 8

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ) ,依题意,圆心坐标为 (r , 2) . ······· 1 分 ······· ······· ∵ ∴ ∴

MN ? 3
25 ?3? r 2 ? ? ? ? 22 ,解得 r 2 ? . ·························3 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 2? 4 ?
2

5? 25 2 ? 圆 C 的方程为 ? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? . ··········· ········· 5 分 ··········· ········· ·········· ·········· 2? 4 ?

2

30

5? 25 2 ? (Ⅱ)把 y ? 0 代入方程 ? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? ,解得 x ? 1 ,或 x ? 4 , 2? 4 ?

2

即点 M ?1,0 ? , N ? 4,0 ? . ·······························6 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· (1)当 AB ? x 轴时,由椭圆对称性可知 ?ANM ? ?BNM . ··········· 7 分 ··········· ·········· · (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? .
? y ? k ? x ? 1? 联立方程 ? 2 ,消去 y 得, ? k 2 ? 2 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 . ········8 分 ········ ······· 2x ? y2 ? 8 ?

设直线 AB 交椭圆 ? 于 A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 两点,则

x1 ? x2 ?
∵ ∴
?

2k 2 k2 ? 8 , x1 ? x2 ? 2 . ··························9 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· k2 ? 2 k ?2
k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? y1 y2 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4

y1 ? k ? x1 ? 2 ? , y2 ? k ? x2 ? 2 ? ,
k AN ? kBN ?

k ? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? k ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ?

? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?

.······················· 10 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··
2 ? k 2 ? 8? k ?2
2

∵ ? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ? ? 2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 ?

?

10k 2 ?8? 0, k2 ? 2

············································11 分 ··········· ·········· ··········· ··········· · ·········· ··········· ··········· ·········· · ∴ ··········· ·········· · ·········· ··········· · k AN ? kBN ? 0 , ?ANM ? ?BNM . ······················ 12 分 综上所述, ?ANM ? ?BNM . ···························13 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?
2x , x ?1

1 2 x?3 , ·························1 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· ? ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

∴ f ?(0) ? 3 ,所以所求的切线的斜率为 3. ····················· 分 ··········· ········· 2 ·········· ·········· 又∵ f ? 0 ? ? 0 ,所以切点为 ? 0, 0 ? . ·························3 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 故所求的切线方程为: y ? 3x . ··························· 分 ··········· ·········· ····· 4 ·········· ··········· ····· (Ⅱ)∵ f ( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ?
ax ( x ? ?1) , x ?1

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a . ······················5 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· ? ? x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

K ①当 a ? 0 时,∵ x ? ?1 ,∴ f ?( x) ? 0 ;KKsss555uuu ······················ 分 ··········· ·········· 6 ·········· ···········

②当 a ? 0 时,
? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 由? ,得 ?1 ? x ? ?1 ? a ;由 ? ,得 x ? ?1 ? a ;··········7 分 ·········· ········· ? x ? ?1 ? x ? ?1

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?1 ? a) 单调递减,在 (?1 ? a, ??) 上单调递增. ··· 8 分 ··· ··· (Ⅲ)方法一:由(Ⅱ)可知,当 a ? ?1 时,

31

f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?

x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ··················· 9 分 ··········· ········ ·········· ········· x ?1 x . ············· 10 分 ··········· ·· ·········· ··· x ?1



当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 ,即 ln ? x ? 1? ?

1 1 1 ? 1? * 令 x ? ( n?N ) ,则 ln ?1 ? ? ? n ? . ················· 11 分 ··········· ······ ·········· ······· 1 n ? n? ?1 n ?1 n

另一方面,∵ ∴ ∴

1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? 2, n ? n ? 1? n n n ?1 n

1 1 1 ································ 12 ·········· ··········· ··········· ? ? . ··········· ··········· ·········· · 分 n ? 1 n n2
? 1? 1 1 . ························ 13 ·········· ··········· ··· ln ?1 ? ? ? ? 2 ( n ? N* ) ························· 分 ? n? n n
2

方法二:构造函数 F ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , (0 ? x ? 1) ··············9 分 ··········· ··· ·········· ···

1 x(2 x ? 1) , ··········· ··········· · 分 ······················ 10 ·········· ··········· · ?1 ? 2x ? 1? x x ?1 ∴当 0 ? x ? 1 时, F '( x) ? 0 ;
∴ F '( x) ? ∴函数 F ( x) 在 (0,1] 单调递增. ·························· 11 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· ∴函数 F ( x) ? F (0) ,即 F ( x) ? 0 ∴ ?x ? (0,1] , ln(1 ? x) ? x ? x ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x ? x ············12 分 ··········· · ·········· ·
2 2

令x?

1 ? 1? 1 1 ( n ? N* ) ,则有 ln ?1 ? ? ? ? 2 . ···················13 分 ··········· ········ ·········· ········ n ? n? n n

20. (本小题满分 14 分)
3 4 解: (Ⅰ)已知 ? 是锐角,根据三角函数的定义,得 sin ? ? , ? ? ,····· 分 ·····1 ···· cos 5 5

又 cos ? ?

5 12 ,且 ? 是锐角,所以 sin ? ? . ··················· 2 分 ··········· ········ ·········· ········· 13 13

4 5 3 12 16 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . ········· 4 分 ········· ········· 5 13 5 13 65

(Ⅱ)证明:依题意得, MA ? sin ? , NB ? sin ? , PC ? sin(? ? ? )
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 cos ? ? (0,1) , cos ? ? (0,1) ,于是有 ? 2?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ,① ················ 分 ··········· ···· 6 ·········· ·····

又∵ ? +? ? ? 0, ? ? ,??1 ? cos(? +? ) ? 1 ,
sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,②

··········· ··········· ·········· ··········· ···· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ··· 7 ·········· ··········· ··········· ·········· ···· 同理, sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,③ 由①,②,③可得,

线段 MA、NB、PC 能构成一个三角形. ······················8 分 ··········· ·········· · ·········· ···········
(III)第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是定值,且定值为

? . 4

32

不 妨 设 ?A?B?C? 的 边 长 分 别 为 sin ?、 ?、 ?? ? ? ? , 其 中 角 A? 、 B? 、 C ? 的 对 边 分 别 为 sin sin
sin ?? ? ? ?、 ?、 ? .则由余弦定理,得: sin sin

cos A? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) ·······················9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 2sin ? ? sin ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? ?

? sin ? ? sin ? ? cos ? cos ?

································ 11 ·········· ··········· ··········· ? ? cos(? ? ? ) ································· 分
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 ? ? ? ? (0, ? ) ,所以 sin A? ? sin(? ? ? ) ,········12 分 ········ ······· ? 2?

设 ?A?B?C? 的外接圆半径为 R, 由正弦定理,得 2R ?
B?C ? sin(? ? ? ) 1 ··········· ·· ·········· ··· ? ? 1 ,∴ R ? , ············· 13 分 sin A? sin(? ? ? ) 2

? . ························ 14 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 4 21. (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (1)
所以 ?A?B?C? 的外接圆的面积为
?1 解: (Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ? ?0 ?1 (Ⅱ)因为矩阵 M ? ? ?0 0? ··········· ·········· · ·········· ··········· · ? . ··········· ··········· 2 分 2?

? ?1 0 0? ? (? ? 1)(? ? 2) , ? 的特征多项式为 f (? ) ? 2? 0 ? ?2

令 f (? ) ? 0 ,解得特征值为 ?1 ? 1 , ?2 ? 2 ,····················· 分 ··········· ········· 4 ·········· ··········
?? ? x ? ? x ? ?? ? x ? 设属于特征值 ?1 的矩阵 M 的一个特征向量为 e1 ? ? ? ,则 M e1 ? ? ? ? ? ? ,解得 y ? 0 ,取 x ? 1 ,得 ? 2y ? ? y? ? y? ?? ?1 ? ··········· ·········· ··········· ········· 5 ·········· ··········· ··········· ········· e1 ? ? ? , ·········································· 分 ? 0? ?? ? 0 ? ? 同理,对于特征值 ?2 ,解得 x ? 0 ,取 y ? 1 ,得 e2 ? ? ? ,············· 分 ··········· · 6 ·········· ·· ?1 ? ?? ?1 ? ?? ? 0 ? ? 所以 e1 ? ? ? 是矩阵 M 属于特征值 ?1 ? 1 的一个特征向量, e2 ? ? ? 是矩阵 M 属于特征值 ?2 ? 2 的一 ? 0? ?1 ?

个特征向量. ········································ 分 ··········· ·········· ··········· ······· 7 ·········· ··········· ··········· ······· (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 解: (Ⅰ)∵点 A 、 B 的极坐标分别为 (1 , ∴点 A 、 B 的直角坐标分别为 (

?
3

) 、 (3 ,

2? ), 3

1 3 3 3 3 ) , ··········· ·· 2 分 , ) 、 (? , ··········· ·· ·········· ··· 2 2 2 2

∴直线 AB 的直角坐标方程为 2 3x ? 4 y ? 3 3 ? 0 . ···············4 分 ··········· ···· ·········· ····
33

(Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ?

? x ? r cos ? , (? 为参数) 化为普通方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,5 分 y ? r sin ? ?

∵直线 AB 和曲线 C 只有一个交点, ∴半径 r ? ··········· ·········· ·· 7 ·········· ··········· ·· ? 3 21 . ························ 分 14 (2 3) ? 4
2 2

3 3

(3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)∵关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ?[?1, 2] 恒成立
? m ? ( 2 ? x ? x ? 1)max ······························ 1 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ·········

根据柯西不等式,有 ( 2 ? x ? x ? 1)2 ? (1 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1)2 ? [12 ? 12 ] ? [( 2 ? x )2 ? ( x ? 1)2 ] ? 6 所以 2 ? x ? x ? 1 ? 6 ,当且仅当 x ?
1 时等号成立,故 m ? 6 . ·······3 分 ······· ······ 2
1 1 1 1 ? (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2 (m ? 2)2 2 2 (m ? 2)2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 2 ? 0 ,则 f ? m ? ? m ? ∴ f ? m? ? 3
3

1 1 1 3 ··········· ···· ·········· ···· (m ? 2) ? (m ? 2) ? ? 2 ? 3 2 ? 2 ···············5 分 2 2 2 (m ? 2) 2

1 1 当且仅当 (m ? 2) ? ,即 m ? 3 2 ? 2 ? 6 时取等号, ···········6 分 ··········· ·········· 2 (m ? 2)2

所以函数 f ? m ? ? m ?

1 3 K 的最小值为 3 2 ? 2 .KKsss555uuu ··············· 分 ··········· ··· 7 ·········· ···· (m ? 2)2 2

34

准考证号 (在此卷上答题无效)

姓名

保密★启用前

2012 年泉州市普通高中毕业班质量检测

理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其它题为必考题.本试卷 共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题 区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、…、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ?

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知复数 z ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则 a ? A.-1 B.1 C. ?1 D.0

2. 下列向量中与向量 a ? ?1, 2 ? 垂直的是 A.b= ? ?1, 2 ? B. c= ? ?2, 4 ? C.d= ? ?3, 6 ? D.e= ? ?6,3?

3. 已知 a, l 是直线, ? 是平面,且 a ? ? ,则“ l ? a ”是“ l ? ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 已知 sin ? ? cos ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ,则 sin 2? ? 3
35

A.

8 9

B. ?

8 9

C.

4 9

D. ?

4 9

5.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,现从中随机取出 2 个小球,则取出的 2 个 小球标注的数字之和为 5 的概率是( ) A.

4 25

B.

3 10

C.

1 5

D.

1 10

6. 设等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 3S2 ? 1 , a2 ? 3S1 ? 1,则公比 q ? A.1 B.2 C.4 D.8

7. 若函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? 0 ? 没有零点,则
2

a?c 的取值范围是 b
D. ? 2, ?? ?

A. ?1, ?? ?

B. ?1, ?? ?

C. ? 2, ?? ?

8. 某公司生产一种产品,每生产 1 千件需投入成本 81 万元,每千件的销售收入 R ? x ? (单位:万元)与 ... . .. ... 年产量 x (单位:千件)满足关系: R ? x ? ? ? x ? 324 ? 0 ? x ? 10 ? .该公司为了在生产中获得最大利
2

润(年利润=年销售收入-年总成本) ,则年产量应为 A.5 千件 B. 6 3 千件 C.9 千件 D.10 千件

9. 如图 1 所示,一平面曲边四边形 ABCD 中,曲边 BC 是某双曲线的一部分,该双曲线的虚轴所在直线 为 l ,边 AD 在直线 l 上,四边形 ABCD 绕直线 l 旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺 寸如图 2 所示,其中俯视图中小圆的半径为 1,则该双曲线的离心率是 A.3 B.4 C. 3 D.2

A

B

l

6

D

C

4 正视图
图 1

侧视图

俯视图

图2

36

10.设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,若对于任意 x1 , x2 ? D 且 x1 ? x2 ? 2a ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2b , 则称点 ? a, b ? 为函数 y ? f ? x ? 图象的对称中心.研究并利用函数 f ? x ? ? x ? 3x ? sin ?? x ? 的对称中
3 2

心,可得

? 1 ? ? 2 ? ? 4022 ? ? 4023 ? f? ?? f ? ? ?? ? f ? ?? f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ?
A.4023 B.-4023 C.8046 D.-8046

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11. 设集合 A ? 3, 2

?

a

? , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ? ________ .

12. 已知圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与直线 y ? k ( x ? 1) ( k ? R )有公共点,则实数 k 的取值范围是_______.

?x ? 1 ? 13. 已知不等式组 ? x ? y ? 4 所表示的平面区域为 ? ,从 ? 中任取一点 P ,则点 P 横坐标大于 2 的概率为 ?y ? 0 ?
_____. 14. 在某次模拟考试中,某校 1000 名考生的数学成绩近似服从正态分布 N (120,100) ,则该校数学成绩在 140 分以上的考生人数约为 .(注: 若 ? ? N ( ? , ? ) ,则 P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.954 )
2
c2 x

15. 在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程 y ? c1e

? c1 ? 0 ? 转化为线性回归方
log 2 ? 4 x ?

程,即两边取对数,令 z ? ln y ,得到 z ? c2 x ? ln c1 .受其启发,可求得函数 y ? x 是____ ___.

? x ? 0 ? 的值域

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? 5, 且a6 ? 3a1 ? a4 . (Ⅰ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅱ)从集合 ?a1 , a2 , a3 , ?, a10 ? 中任取 3 个不同的元素,其中偶数的个数记为 ? ,求 ? 的分布列和期 望. 17.(本小题满分 13 分) 已 知 函 数

f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?

y R

( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

)的部分图像,
37
O P

Q x

P, Q 是

这 部 分 图 象 与 x 轴 的 交 点 ( 按 图 所 示 ), 函 数 图 象 上 的 点 R 满 足 : .

| RP |? 11,| RQ |? 3 3, cos ?RPQ ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的周期;

3 11 . 11

(Ⅱ)若 P 的横坐标为 1,试求函数 y ? f ? x ? 的解析式,并求 f ? 18.(本小题满分 13 分)

?4? ? 的值. ?3?

x2 y 2 如果两个椭圆的离心率相等,那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆 C 与椭圆 ? : ? ? 1相似,且椭 8 4
圆 C 的一个短轴端点是抛物线 y ?

1 2 x 的焦点. 4
H E F G M K C B A G C H

(Ⅰ)试求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的中心在原点,对称轴 轴 上 , 直 线

在坐标
N

l : y ? kx ? t (k ? 0, t ? 0) 与 椭 圆
且与椭圆 E 交于 H , K A, B 两点,
A

D

C 交于
两点.若

F

线段 AB 与线段 HK 的中点重合,试判断椭圆 C 与椭圆 E 是否为相似椭圆?并证明你的判断. 19. (本小题满分 13 分) 某工厂欲加工一件艺术品, 需要用到三棱锥形状的坯材, 工人将如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 材 料切割成三棱锥 H ? ACF . (Ⅰ)若点 M , N , K 分别是棱 HA, HC, HF 的中点,点 G 是

开始
输入 t

NK 上的任意一点,求证: MG // 平面ACF ;
( Ⅱ ) 已 知 原 长 方 体 材 料 中 , AB ? 2m , AD ? 3m , 根据艺术品加工需要, 工程师必须求出该三棱锥 DH ? 1m , 的高. (i) 甲工程师先求出 AH 所在直线与平面 ACF 所成的角 ? , 再根据公式 h ? AH ? sin ? 求出三棱锥 H ? ACF 的高.请你 .. 根据甲工程师的思路,求该三棱锥的高. .. ...... (ii) 乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序, 其框图如 图所示,则运行该程序时乙工程师应输入的 t 的值是多少? (请直接写出 t 的值,不要求写出演算或推证的过程).

a ? CF b ? AC c ? AF
b2 ? c 2 ? a 2 d? 2bc
1 e ? bc 1 ? d 2 2

h?

3t e

输出三棱锥 H ? ACF 的高 h
38

结束

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? ; (Ⅱ)若 x1 、 x2 为函数 f ? x ? 的两个极值点,且 x1 ? x2 ? ?

1 ,试求函数 f ? x ? 的单调递增区间; 2

(Ⅲ)设函数 f ? x ? 在点 C x0 , f ? x0 ? ( x0 为非零常数)处的切线为 l ,若函数 f ? x ? 图象上的点都 不在直线 l 的上方,试探求 x0 的取值范围. 21. 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所 、 、 做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中.作 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?

?

? a 2? ? 的一个特征值为 1. ? ?1 3 ?

(Ⅰ)求矩阵 M 的另一个特征值;
5 (Ⅱ)设 ? ? ? ? ,求 M ? .

? 3? ? 2?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,在极坐标系(与 ? y ? 2sin ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方

) ?0. 4 (Ⅰ)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (Ⅱ)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.
(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? 0 的解集 D ; (Ⅱ)若存在实数 x ? D 使 3x ? 2 ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

程为 ? sin(? ?

?

39

2012 届泉州市普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1. B 2.D 3.B 4.B 5.C 6. C 7.A 8.C 9 D. 10.D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. ?1, 2,3? 12. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

13.

4 9

14. 23

15. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识, 考查函数与方程思想、必然与或然思想.满分 13 分. 解析: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d ,由已知得

?a1 ? d ? 5 ?a1 ? 2 解得 ? . ? ?d ? 3 ?a1 ? 5d ? 4a1 ? 3d
故 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 1 , Sn ?

……2 分

n(a1 ? an ) 3 2 1 ? n ? n . ……5 分 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 1 , ∴ ?a1 , a2 , a3 , ?, a10 ? ? ?2,5,8, ?, 29? 有 5 个奇数,5 个偶数. ……6 分

? 有 0,1, 2,3 共四个取值,
P(? ? 0) ?
3 C50C5 C1C 2 5 C 2C 1 5 C 3C 0 1 1 ? , P(? ? 1) ? 5 3 5 ? , P(? ? 2) ? 5 3 5 ? , P(? ? 3) ? 5 3 5 ? 3 C10 12 C10 12 C10 12 C10 12

故 ? 的分布列为:

?

0

1
40

2

3

P
……10 分 则 E? =0 ?

1 12

5 12
……13 分

5 12

1 12

1 5 5 1 3 +1? +2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2

17. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识, 考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.满分 13 分. 解析: (Ⅰ)在 ?PRQ 中,由余弦定理可得: 3 3

?

?

2

? PQ 2 ?

? 11?

2

? 2? | PQ | ? 11 ?

3 11 , 11

? PQ2 ? 6 | PQ | ?16 ? 0 ,? | PQ |? 8 或 | PQ |? ?2 (舍去). ……………3 分 ?函数 y ? f ? x ? 的周期为 8.
(Ⅱ)? T ? 8 ,? ? ? ………….5 分 ……….7 分

2? ? ? , T 4

又?函数 f ? x ? 过点 P(1,0) ,? ? ? ?

?
4



…………9 分

?? ?? ? f ? x ? ? A sin ? x ? ? . 4? ?4
过点 R 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,在 RT ? R 中,| PR |? 11, cos ?RPQ ? PH

3 11 ,? | PH |? 3 , 11

?? ? | RH |? 2 , R 4, 2 , ? A sin ? ? ? ? ? 2 , A ? 2 . …..11 分 4? ?

?

?

?? ?? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , 4? ?4
则f?

6? 2 ? ? ? ? ?4? ?? ? ? . ? ? 2sin ? ? ? ? 2sin cos ? 2cos sin ? 2 3 4 3 4 ?3? ?3 4?

…….13 分

18. 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力,考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等.满分 13 分. 解析: (Ⅰ)椭圆 ? : 抛物线 y ?

x2 y 2 2 ? ? 1的离心率为 , ……1 分 2 8 4
……2 分

1 2 x 的焦点为 (0,1) . 4

设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

41

由题意,得:

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ?a ? 2 ? ? ,解得 ? , ?b ? 1 ?b ? 1 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
x2 ? y 2 ? 1. 2
……5 分 ……6 分

∴椭圆 C 的标准方程为

(Ⅱ)解法一:椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆.

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立椭圆 C 和直线 l 的方程, ? 8 ,消去 y , 4 ? y ? kx ? t ?
得 (1 ? 2k ) x ? 4ktx ? 2t ? 8 ? 0 ,
2 2 2

……7 分

设 A, B 的横坐标分别为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ? 设椭圆 E 的方程为

4kt . 1 ? 2k 2

……8 分

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) , ……9 分 m2 n 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 联立方程组 ? m 2 n 2 ,消去 y ,得 (n ? m k ) x ? 2ktm x ? m (t ? n ) ? 0 , ? y ? kx ? t ?
设 H , K 的横坐标分别为 x3 , x4 ,则 x3 ? x4 ? ?

2ktm2 . ……10 分 n2 ? m2 k 2

∵弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合, ……11 分 ∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , ?

2ktm 2 4kt , ?? 2 n ? m2 k 2 1 ? 2k 2
2 2

∵ k ? 0, t ? 0 ,∴化简得 m ? 2n , 求得椭圆 E 的离心率 e ?

……12 分

m2 ? n2 n 2 ? ? ,……13 分 m 2 2n

∴椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆. 解法二:设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) , m2 n 2

并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), H ( x3 , y3 ), K ( x4 , y4 ) . ∵ A, B 在椭圆 C 上,

42

∴ x1 ? 2 y1 ? 8 且 x2 ? 2 y2 ? 8 ,两式相减并恒等变形得 k ? ?2
2 2 2 2

x1 ? x2 . ……8 分 y1 ? y2

由 H , K 在椭圆 E 上,仿前述方法可得 k ? ? ∵弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合, ∴ m ? 2n , ……12 分
2 2

m2 x3 ? x4 . ……11 分 n 2 y3 ? y4

求得椭圆 E 的离心率 e ?

m2 ? n2 n 2 ? ? ,……13 分 m 2 2n

∴椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆. 19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识,考查 空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及 应用意识. 满分 13 分. 解:(Ⅰ)证法一:∵ HM ? MA, HN ? NC, HK ? KF , ∴ MK // AF , MN // AC .

? MK ? 平面ACF , AF ? 平面ACF ,
∴ MK ∥平面 ACF , 同理可证 MN ∥平面 ACF , ……3 分 ∵ MN , MK ? 平面MNK ,且 MK ? MN ? M , ∴ 平面MNK // 平面ACF , ……4 分

又 MG ? 平面MNK ,故 MG // 平面ACF .……5 分 证法二:连 HG 并延长交 FC 于 T ,连接 AT . ∵ HN ? NC, HK ? KF , ∴ KN / / FC ,则 HG ? GT , 又∵ HM ? MA ,∴ MG / / AT ,

……2 分
H E

z G F y C A x
43

? MG ? 平面ACF , AT ? 平面ACF ,
∴ MG // 平面ACF . ……5 分 ( Ⅱ ) (i) 如 图 , 分 别 以 DA, DC, DH 所 在 直 线 为

D(O)

x轴,y轴,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y z. 则 有

B

A(3,0,0), C(0, 2,0), F (3, 2,1) , H (0,0,1) . ……6 分
???? ??? ? ???? AC ? (?3, 2, 0), AF ? (0, 2,1) , AH ? (?3, 0,1) .
设平面 ACF 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

?

? ???? 2 ? ?n ? AC ? ?3x ? 2 y ? 0 ?x ? y ? 则有 ? ? ??? ,解得 ? 3 , ? ?n ? AF ? 2 y ? z ? 0 ? z ? ?2 y ? ?
令 y ? 3 ,则 n ? (2,3, ?6) ,

?

……8 分

???? ? AH ? n 12 6 10 ? ∴ sin ? ? ???? ? ? , ……9 分 35 | AH || n | 7 ? 10
∴三棱锥 H ? ACF 的高为 AH ? sin ? ? (ii) t ? 2 . ……13 分

6 10 12 ? 10 ? . 35 7

……10 分

20. 本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想.满分 14 分. 解析: (Ⅰ)函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax 的定义域为 {x | x ? R, x ? 0} .
2

当 x ? 0 时, f ? x ? ? ln x ? x ? ax ,? f ? ? x ? ?
2

1 ? 2 x ? a ; ……1 分 x 1 2 当 x ? 0 时, f ? x ? ? ln ? ? x ? ? x ? ax ,? f ? ? x ? ? ? 2 x ? a ; ……3 分 x 1 综上可得 f ? ? x ? ? ? 2 x ? a ? x ? 0 ? . ……4 分 x
?2 x 2 ? ax ? 1 1 , x1 、 x2 为函数 f ? x ? 的两个极值点, ? 2x ? a ? x x
2

(Ⅱ)∵ f ? ? x ? ?

∴ x1 、 x2 为方程 ?2 x ? ax ? 1 ? 0 的两根,所以 x1 ? x2 ? 又∵ x1 ? x2 ? ? 此时, f ? ? x ? ?

a , 2

1 ,∴ a ? ?1 . 2

……5 分

?2 x 2 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? , x x

由 f ?? x? ? 0 得

? 2 x ? 1?? x ? 1? ? 0 ,
x

当 x ? 0 时, (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0, ?1 ? x ?

1 1 ,此时 0 ? x ? ; 2 2
44

当 x ? 0 时, (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0, x ? ?1或x ? ∴当 f ? ? x ? ? 0 时, x ? ?1 或 0 ? x ?

1 ,此时 x ? ?1 . 2

1 . ……7 分 2 1 当 f ? ? x ? ? 0 时,同理解得 ?1 ? x ? 0或x ? . ……8 分 2
综上可知 a ? ?1 满足题意,且函数 f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ?1] 和 ? 0, ? . 2

? ?

1? ?

……9 分

(Ⅲ)∵ f ? ? x0 ? ?

1 ? 2 x0 ? a ,又 C ? x0 , ln x0 ? x0 2 ? ax0 ? , x0

∴切线 l 的方程为 y ? ln x0 ? x0 ? ax0 ? ?
2

?

?

?1 ? ? 2 x0 ? a ? ? x ? x0 ? , ? x0 ?
……10 分

即y??

?1 ? ? 2 x0 ? a ? x ? 1 ? x0 2 ? ln x0 ( x0 为常数). ? x0 ?
?? 1 ? ? ? 2 x0 ? a ? x ? 1 ? x0 2 ? ln x0 ? ? x ? ? ?? 0 ?

令 g ? x? ? f ? x? ? ? ?

?? 1 ? ? ? ln x ? x 2 ? ? ? ? 2 x0 ? x ? 1 ? x0 2 ? ln x0 ? , ? x ? ? ?? 0 ?

g? ? x? ?

?1 ? ? 2 xx0 ? 1 ? 1 ? 2 x ? ? ? 2 x0 ? ? ? ? x ? x0 ? ? ??? x ? x0 ? ? xx0 ?

2( x ? x0 )( x ? x

1 ) 2 x0

, 11 分

当 x0 ? 0 时, x 、 g ? ? x ? 、 g ? x ? 的关系如下表:

x
g?? x? g ? x?

? 1 ? ? ??, ? ? 2x0 ? ?
+ ↗

?

1 2x0
0

? 1 ? ,0? ?? ? 2x0 ?
?


? 0, x0 ?
+ ↗

x0
0 极大值

? x0 , ?? ?
?


极大值

当 x0 ? 0 时, x 、 g ? ? x ? 、 g ? x ? 的关系如下表:

x
g?? x? g ? x?

? ??, x0 ?
+ ↗

x0
0 极大值

? x0 , 0 ?
?

45

? 1 ? ? 0, ? ? 2x0 ? ?
+ ↗

?

1 2x0
0

? 1 ? , ?? ? ?? ? 2x0 ?
?


极大值

函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax 的图象恒在直线 l 的下方或直线 l 上,
2

等价于 g ? x ? ? 0 对 x ? 0 恒成立. ∴只需 g ? x0 ? ? 0 和 g ? ?

?

1 ? 1 1 ? ? x0 2 ? 0 同时成立. ? ? ln 2 2 2 x0 4 x0 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 1 ? ? x0 2 ? 0 . ? ? ln 2 2 2 x0 4 x0 ? 2 x0 ?

……12 分

∵ g ? x0 ? ? 0 ,∴只需 g ? ?

下面研究函数 m ? x ? ? ln x ?

x 1 ? ? x ? 0? , 2 2x
2

1 1 1 1 ? x ? 1? ? 0, ∵ m? ? x ? ? ? ? ? 2 ? x 2 2 x 2x2
∴ m ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 注意到 m ?1? ? 0 ,∴当且仅当 0 ? x ? 1 时, m ? x ? ? 0 . ……13 分 ∴当且仅当 0 ?

? 1 ? 1 ? 1 时, g ? ? ? ? 0, 2 2x0 ? 2 x0 ?

由0 ?

2 2 1 ? 1 解得 x0 ? 或 x0 ? ? . 2 2 2 2x0
2 2 ]?[ , ??) . 2 2
……14 分

∴ x0 的取值范围是 (??, ?

21.(1)选修 4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力及函数与方程思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)矩阵 M 的特征多项式 f ? ? ? ? ? 又?矩阵 M 的一个特征值为 1,

? ? ? a ?2 ? ? ? ? ? a ?? ? ? 3? ? 2 ,…1 分 ? ? 3? ? 1 ?

? f ?1? ? 0 ,? a ? 0 ,

……2 分

由 f ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2 ? 0 ,得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为 2. ……3 分

(Ⅱ)矩阵 M 的一个特征值为 ?1 ? 1 ,对应的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,……4 分

? 2? ?1?

另一个特征值为 ?2 ? 2 ,对应的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? ,……5 分

?1? ?1?

46

∵ ? ? ?1 ? ? 2 ,∴ M 5? ? M

5

??1 ? ? 2 ? ? 15 ?

? 2 ? 5 ?1? ? 34 ? ??2 ? ? ?? ?. ?1? ?1? ? 33 ?

……7 分

(2)选修 4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力以及 化归与转化思想、分类与整合思想.满分 7 分.
2 2 解析: (Ⅰ)曲线 C 可化为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 即 x ? 4 x ? y ? 0 ,
2 2

……1 分

所以曲线 C 在极坐标系中的方程为 ? ? 4 ? cos ? ? 0 , ……2 分
2

由于 ? ? 4cos ? 包含 ? ? 0 的情况, ∴曲线 C 在极坐标系中的方程为 ? ? 4cos ? . ……3 分 (Ⅱ)?直线 l 的方程可化为 x ? y ? 0 , ……4 分

?圆 C 的圆心 C ? 2, 0 ? 到直线 l 的距离为 d ? 2 , ……5 分
又?圆 C 的半径为 r ? 2 ,

?直线 l 被曲线 C 截得的弦长 l ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 . ……7 分
(3)选修 4—5;不等式选讲 本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力以及推理论证能力,考查函 数与方程思想以及分类与整合思想.满分 7 分. 解析: (Ⅰ)当 x ? ?1 时,由 f ? x ? ? ? x ? 2 ? 0 得 x ? 2 ,所以 x ?? ;

1 1 时,由 f ? x ? ? ?3x ? 0 得 x ? 0 ,所以 0 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? 时,由 f ? x ? ? x ? 2 ? 0 得 x ? 2 ,所以 ? x ? 2 . ……2 分 2 2
当 ?1 ? x ? 综上得:不等式 f ? x ? ? 0 的解集 D ? x 0 ? x ? 2 . ……3 分 (Ⅱ) 3x ? 2 ? x ? 3 x ? 2 ? x , 由柯西不等式得 ……4 分

?

?

?

3 x ? 2? x

?

2

? ? 3 ? 1? ? x ? ? 2 ? x ? ? ? 8 ,

? 3x ? 2 ? x ? 2 2 ,
当且仅当 x ?

……5 分

3 时取“=”, 2

? a 的取值范围是 ??, 2 2 .

?

?

……7 分

47

2012 年漳州市高中毕业班质量检查试卷

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 参考公式: 样本数据 x1,x2,… ,xn 的标准差

锥体体积公式

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? ? n? 其中 x 为样本平均数

s=

V= Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

1 3

柱体体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将 正确答案填写在答题卷相应位置. ) 1. 复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则复数 z 的共轭复数 z 等于 A. 1? 3i B. 1? 3i C. 3 ? i D. 3 ? i

2. 设集合 M ? {?1, 0 ,1} , N ? {a, a 2 } ,则使 M∩N=N 成立的 a 的值是 A.1 B.0 C.1 或-1 D.-1 2

3.一个几何体的正视图、 侧视图、 俯视图都是如右图所示正方形及其对角线, 则该几何体的体积等于 A.

8 3

B.

4 3

C.

2 3

D. 2

2 第 3 题图

4.右图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样 调查后画出的频率分布直方图,其中第二组月收入在

[1.5,) 千元的频数为 300,则此次抽样的样本容量为 2
A.1000 C.3000 B.2000 D.4000 4
48

5. 对于任意点 P(a,b),要求 P 关于直线 y=x 的对称点 Q,
则算法框图中的①处应填入 A.b=a C.m=b 6.下列论断中错误的是 .. A.a、b、m 是实数,则“am2>bm2”是“a>b”的充分非必要条件; B.命题“若 a>b>0,则 a2>b2”的逆命题是假命题; C.向量 a,b 的夹角为锐角的充要条件是 a?b>0; D.命题 p:“? x∈R,x2-3 x+2≥0”的否定为? p:“? x∈R,x2-3x+2<0” 7.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.下列命题中正确的是 A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n ∥ ? ? m ? n 8.已知函数 f(x)= cos2x+cos(2xB. ? ? ? ,? ? ? ? m, m ? n ? n ? ? D. 5 B.a=m D.b=m

? ∥ ? , m ? ?, n ∥ ? ? m ? n

? ),给出下列结论:
3

①f(x)是最小正周期为 π 的偶函数;②f(x)的图像关于 x ? ④将函数 y ? 其中正确的是 A. ①②
2 2

?
12

对称;③f(x)的最大值为 2;

3 sin 2 x 的图像向左平移
B. ②③

?
6

就得到 y= f(x)的图像.

C. ②④

D. ③④

9.设双曲线 于

1 y x 2 2 则该双曲线的离心率等 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 相切, 2 5 a b
B.

A. 5 或 5 2

5 5 或 4 3

C. 5

D.

5 3

10. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①当 x>0 时,f(x)>1,②?x、y?R,f(x+y)= f(x) f(y). 数列{an}满足①a 1=1,②f(an+1)= f(an) f(1),(n?N*), Tn ? ?a1 ? a2 ? a3 ? … ? (?1) an ,则 T100 等于
2 2 2 n 2

A.4900

B.-4900

C.5050

D.-5050

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
49

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将正确答案填写在答题卷相应位置. )

? x ? y ? 1 ? 0, 11. 若点(x,y)满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则点(x,y)构成的图形的面积等于__________. ? ? y ? ?1, ?
2 6 ) 的展开式中,常数项等于_______. x 13. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加市中学生知识竞赛活动,若这 4 人中必须既有男生又有女生,
12. 在二项式 ( x ? 不同的选法共有_______种. 14. 已知 a、b 是[0,1]上的两个随机数,则函数 f(x)= x +ax+b 有零点的概率等于_________. 15. 在平面直角坐标系中,圆 x 2 ? y 2 ? R 2 (R>0)上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),若劣弧 AB 的长为 L, 则
2

L xx ?yy L 等于OA, 夹角的弧度数,从而 cos ? 1 2 2 1 2 . 在空间直角坐标系中,以原点为球心,半 OB R R R L 径为 R 的球面上两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2 ,z2),若 A、B 两点间的球面距离为 L,则 cos 等于 R
__________________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、证明过程或演 算过程. ) 16.(本题满分 13 分) 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,且 sin C ? 2 sin A , (Ⅰ) 求角 A、B、C; (Ⅱ) 数列 {a n } 满足 a n ? 2 | cos nC | ,前 n 项和为 S n ,若 S n ? 340 ,求 n 的值.
n

17.(本题满分 13 分) 3 月是植树造林的最佳时节,公园打算在 3.12 植树节前后引种一批名优树种。现有甲、乙两家苗木场各 送来一批同种树苗。公园园林部分别各抽取 100 棵测量其高度,得到如下的频率分布表:

高度(cm) 频 率 甲苗木场 乙苗木场

[60 , ) 70

[70 , ) 80

[80 , ) 90

[90, ] 100

0.24 0.26 0.32 0.30 0.30 0.20 (Ⅰ) 分别算出甲、乙两家苗木场树苗样本高度的平均值 X 甲 , X 乙 ; (样本数据第 i 组的频率为 pi,中间值为 xi( i ? 1,, , ) 2 … n ,则平均值为
X ? x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xn pn .)
2 2 (Ⅱ) 根据样本数据可算得两个方差: S甲 ? 120 .16 , S乙 ? 105 .0 ,结合(Ⅰ)中算出的数据,如果你是公园

0.18 0.20

园林部主管,你将选择哪家苗木场的树苗?说明你的观点; (Ⅲ) 用分层抽样方法从乙苗木场的样本中抽取 10 棵,小林同学从这 10 棵中挑选 2 棵试种,其中高度在

[90, ] 范围的有 X 棵,求 X 的分布列和数学期望. 100
18.(本题满分 13 分) 已知两点 A(?2,) 、 B(2,) ,动点 P 满足 k PA ? k PB ? ? 0 0

1 , 4

(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,曲线 E 上是否存在两点 M、N,使得△ HMN 是以 H 为直角顶点
50

的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. 19.(本题满分 13 分) E 如图,在 RtΔABC 中,∠ABC=3∠BAC=90?,BF⊥AC 垂足是 F, AE⊥平面 ABC,CD∥AE,AC=4CD =4,AE =3, (Ⅰ)求证:BE⊥DF; (Ⅱ)求二面角 B—DE—F 的平面角的余弦值. A 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a, ? 1) , (a
x 2

D F B C

19 题图

(I)求证:函数 f (x) 在 (0, ?) 上单调递增; ? (Ⅱ)函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)对 ?x1 ,2 ? [?1,] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。 x 1 21. 本题(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果多做,则按 、 、 所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入 括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

a 已知矩阵 A= ? ?1 ?
(Ⅰ) 求矩阵 A;

?2? 2 ? 有一个属于特征值 1 的特征向量 ? ?? ?. ? ? ? 1? b? ? ?

1 ? 1? (Ⅱ) 矩阵 B= ? ? 0 1 ? ,点 O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求 ?OMN 在矩阵 AB 的对应变换作用下所得到 ? ? 的 ?O?M ? N ? 的面积.
(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t ? 3, . (t为参数) 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为 ? y ? 3t ,
2

极点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 , (Ⅰ) 求 l 的普通方程及 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) P 为圆 C 上的点,求 P 到 l 距离的取值范围. (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式: x ? 1 ? x ? 2 ≥ a ? 2 a ? 5 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

51

2012 年漳州市高中毕业班质量检查试卷

理科数学 参考答案
一、选择题:1.B,2.D,3.B,4.A,5. D,6. C,7.D,8. C,9. A,10.C. 二、填空题:11. 4 ;12. 160 ;13. 34 ;14.

1 x x ? y1 y2 ? z1 z2 ;15. 1 2 . 12 R2

三、解答题: 16.解:(Ⅰ)解法 1:由已知得 A ? C ? 2B ,又 A ? B ? C ? ? , ∴B ?

2? , ……………………………………………………………2 分 3 3 3 1 2? 由 sin C ? 2 sin A 得 sin( cos A ? sin A ? 2 sin A ,………4 分 ? A) ? 2 sin A , 2 2 3 3 2? ? ? ∴ tan A ? ,0 ? A ? ,∴ A ? ,∴ C ? . ……………………………6 分 3 3 6 2 ? 解法 2:由解法 1 知 B ? , 又由 sin C ? 2 sin A 得 c ? 2a ,…………………………3 分 3 ,A ? C ?
∴ b ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2 2

?

?

2? ? ? ? ? . ………………………………………6 分 2 3 2 6 n? ?0, n为奇数, n n |? ? n (Ⅱ) an ? 2 | cos nC |? 2 | cos ………………………………8 分 2 ?2 ,n为偶数,
∴ ?ABC 为 Rt? , C ?

?

3

? 3a 2 ,∴ c 2 ? a 2 ? b2 ,……………………………5 分

,A?

∴ S 2 k ?1 ? S 2 k ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? … ? 0 ? 2
2 4

2k

4(1 ? 2 2 k ) 2 2 k ? 2 ? 4 ? ? ,………10 分 1? 4 3

22 k ? 2 ? 4 ? 340 ,得 22k ? 2 ? 1024 ,∴ k ? 4 ,……………………………………12 分 3 ∴ n ? 8或9 . ……………………………………………………………………………13 分 17.解:(Ⅰ) X 甲 ? 65 ? 0.18 ? 75 ? 0.24 ? 85 ? 0.26 ? 95 ? 0.32 ? 82.2 ,


X 乙 ? 65 ? 0.20 ? 75 ? 0.30 ? 85 ? 0.30 ? 95 ? 0.20 ? 80.0 ,………………4 分 (Ⅱ)观点一:选择乙场的树苗,因为其提供的树苗高度方差较小,成长较整齐, 种在公园里比较好看。 观点二:选择甲场的树苗,因为其提供的树苗平均高度较大,说明长势较好,且方差较大,种在 公园里显得高矮错落有致,更能体现空间美感。 (注:两种观点各有其理,只要能依据统计数据说明自己的观点,一样得分。 )…………8 分 (Ⅲ)10 棵中高度在 [90, ] 的有 2 棵,X 可取值为 0,1,2,X 服从超几何分布, 100
P( X ? 0) ?
0 C2 C82 28 , ? 2 C10 45

P ( X ? 1) ?

1 1 C2C8 16 , ? 2 C10 45

P ( X ? 2) ?

2 0 C2 C8 1 , ? 2 C10 45

故 X 的分布列为:

X P

0
28 45

1
16 45

2
1 45

E( X ) ? 0 ?

28 16 1 2 ? 1? ? 2? ? . …………………………………………………13 分 45 45 45 5

52

18. 解: (1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ( y ? 0 ) ,则 k PA ? ∵ k PA ? k PB ? ?

y?0 y?0 , k PB ? ,…………2 分 x?2 x?2

1 x2 y y 1 ,∴ ? y 2 ? 1 ,………………………4 分 ? ? ? ,化简得 4 4 x?2 x?2 4
x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0 ). ……………………………………5 分 4

∴ 动点 P 的轨迹 E 的方程为

注:如果未说明 y ? 0 ,扣 1 分。 (2)设能构成等腰直角三角形 HMN,其中 H 为(0,1) , 由题意可知,直角边 HM,HN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y ? kx ? 1 , (不妨设 k>0) 则 HN 所在直线的方程为 y ? ?

1 x ? 1 ,………………………………………………7 分 k

? y ? k x ? 1, 8k ? 8k 2 由? 2 求得交点 M (? (另一交点 H (0, ) , ? 1) , 1) 2 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ? x ? 4 y ? 4,
∴ | HM |? 用?

(?

8k 2 8k 2 2 8k 1 ? k 2 ,………………………………9 分 ) ? (? ) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

1 8 1? k 2 代替上式中的 k ,得 HN ? , 4?k 2 k

2 2 2 3 2 由 HM ? HN ,得 k (4 ? k ) ? 1 ? 4k , ∴ k ? 4k ? 4k ? 1 ? 0 ? (k ? 1)( k ? 3k ? 1) ? 0 ,

解得: k ? 1 或 k ?

3? 5 , …………………………………………………………11 分 2

当 HM 斜率 k ? 1 时,HN 斜率 ? 1;当 HM 斜率 k ?

3? 5 ?3? 5 时,HN 斜率 ; 2 2

当 HM 斜率 k ?

3? 5 ?3? 5 时,HN 斜率 , 2 2

综上述,符合条件的三角形有 3 个。……………………………………………………13 分 19.(Ⅰ)证明:∵AE⊥平面 ABC,AE?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 ABC,平面 AEC∩平面 ABC=AC, BF?平面 ABC,BF⊥AC,∴BF⊥平面 AEC,DF?平面 AEC, ∴BF⊥DF, ………………………………………………2 分 又∠ABC=3∠BAC=90?,∴BC=ACsin30?=4× =2,BF⊥AC, ∴CF=BCcos60?=1=CD, CD∥AE,AE⊥平面 ABC, ∴CD⊥平面 ABC,∴CD⊥AC,∴∠DFC=45?, AF=AC-CF=3=AE,∴∠EFA=45?, ∴∠EFD=90?,即 DF⊥EF,………………………4 分 BF∩EF=F,BF、EF?平面 BEF,∴ DF⊥平面 BEF,
53

E

D A 19 题图 z F B C

1 2

E

D x A y F B C

∴DF⊥BE.……………………………………………6 分 (Ⅱ)过 F 作 Fz∥AE,由 AE⊥平面 ABC 可知 Fz⊥平面 ABC, 又 BF⊥AC,∴BF、AC、l 两两垂直, 以 F 为原点,FA、FB、Fz 依次为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(如图) ,则

0 F (0,,) , B(0, 3 ,) , D(-1,, , E (3,,) , 00 0 1) 0 3

BD ? (-1, 3 , , BE ? (3, 3 ,) , FB ? (0, 3 ,) ,…………………………………9 分 ? 1) ? 3 0
由(Ⅰ)知 FB 是平面 DEF 的一个法向量,设 n ? ( x ,y ,z ) 是平面 BDE 的一个法向量,则

?n ? BD ? ? x ? 3 y ? z ? 0, ? 2 取 z =2,得到 n ? (?1, 3 ,),…………………………11 分 ? ?n ? BE ? 3x ? 3 y ? 3z ? 0, ?
c o s n , ?? ? FB n ? FB 3 6 ? ? , 4 | n | ? | FB | 2 2 ? 3
6 . ……………………………………………13 分 4

∴二面角 B—DE—F 的平面角的余弦值为

x x 20. 解: (I) f ?( x) ? a ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? (a ? 1) ln a ,…………………………(1 分)

由于 a ? 1 ,∴ ln a ? 0 ,当 x ? 0 时, a ? 1 ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 , ……………(3 分)
x

故函数 f (x) 在 (0, ?) 上单调递增. ?
x

………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)令 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 1) ln a ? 0 ,得到 x ? 0 , ……………………………(5 分)

f (x) , f ?(x) 的变化情况如下表:…………………………………………………(7 分)

x
f ?(x)

(??,0)

0 0 极小值 1

(0, ?) ?

递减

+ 递增

f (x)

因为函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以 f ( x) ? t ? 1 共有三个根,即 y ? f (x) 的图像与两条 平行于 x 轴的直线 y ? t ? 1 共有三个交点. 在 极小值 f (0) ? 1 也是最小值, x ? ?? 时,f (x) ? ?? . 当 y ? f (x) 在 (??,0) 递减, (0, ?) 递增, ? t ? 1 ? t ? 1,∴ f ( x) ? t ? 1 有两个根, f ( x) ? t ? 1 只有一个根. ∴ t ? 1 ? f min ( x) ? f (0) ? 1 , ∴ t ? 2 .(9 分) (Ⅲ)问题等价于 f (x) 在 [?1,] 的最大值与最小值之差 ? e ? 1 . 1 由(Ⅱ)可知 f (x) 在 [?1,] 上递减,在 [0,] 上递增,∴ f ( x)的最小值f (0) ? 1 ,最大值等于 0 1

f (?1),f (1)中较大的一个,………………………………………………(10 分) 1 1 f (?1) ? ? 1 ? ln a , f (1) ? a ? 1 ? ln a , f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2 ln a , a a 1 记 g ( x) ? x ? ? 2 ln x , ( x ? 1) x 1 2 1 2 则 g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) ? 0 , (仅在 x ? 1 时取等号) x x x 1 1 ∴ g ( x) ? x ? ? 2 ln x 是增函数,当 a ? 1 时, g (a) ? a ? ? 2 ln a ? g (1) ? 0 , x a
54

即 f (1) ? f (?1) ? 0 ,∴ f (1) ? f (?1) , 于是 f ( x)的最大值为f (1) ? a ? 1 ? ln a , ………………………………………(12 分) 故对 ?x1 ,2 ? [?1,] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (1) ? f (0) |? a ? ln a , x 1

x ?1 ? ? 0 ,∴ y ? x ? ln x 在 [1, ?) 单调递增, x ∴由 a ? ln a ? e ? 1 可得 a 的取值范围是 1 ? a ? e . …………………………………(14 分)

a ? ln a ? e ? 1 ,当 x ? 1 时, ( x ? ln x)? ?

21.(1)解:解法一:(Ⅰ)由已知得 ? ?

?2 a ? 2 ? 2 , ? a 2? ? 2 ? ?2? …………2 分 ? ? ? ? 1 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? 1? ? ? 1? ?2 ? b ? ?1, ?1 b?? ? ? ?
………………………………………………………3 分

解得 ?

?a ? 2 , 2 2? 故 A= ? ?1 3? . ? ? ?b ? 3,

(Ⅱ) AB= ? ?

2 2 ? ? 1 ? 1? ? 2 0 ? 0 2 0 ?? 0 ? ? 0 ? = ,∴ ( AB)? ? ? ? ? 0 ? ? 1 2 ?? 0 ? ? ? 0 ? , 1 3? ?0 1 ? ?1 2? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

? 2 ? ? 2 0 ?? 2 ? ? 4 ? , (AB)? 0 ? ? ? 2 0 ?? 0 ? ? ? 0 ? ,……………5 分 ( AB)? ? ? ? ? 2 ? ? 1 2 ?? 2 ? ? 4 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? - 1? ? 1 2 ?? ? 1? ? 0 ?
即点 O,M,N 变成点 O′(0,0),M ′(4,0),N ′(0,4),

1 ?O?M ? N ? 的面积为 ? 4 ? 4 ? 8 .……………………………………………………7 分
(另解: S?O? M ? N ?

2 ? S?OMN ? | det(AB) |? 4 ? 2 ? 8 )

(2)解:l 的普通方程 3x ? y ? 3 3 ? 0 ,C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 .…4 分
2 2

C 的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,圆心 C(2,0),半径为 1,
2 2

点 C 到 l 的距离为 d ?

2 3?0?3 3 5 3 , ……………………………………6 分 ? 2 2
5 3 5 3 ? 1, ? 1] .………………………………………7 分 2 2
……………………………………2 分

∴P 到 l 距离的取值范围是 [

(3)解:∵ x ? 1 ? x ? 2 ?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3,
2

∴ x ? 1 ? x ? 2 ≥ a ? 2 a ? 5 对 ?x ?R 恒成立,等价于 a 2 ? 2 a ? 5 ? 3 ,……4 分 即 ( a ? 2)( a ? 4) ? 0 ? | a |? 2 , ……………………………………………………6 分 ∴ a 的取值范围是 [?2,] .………………………………………………………………7 分 2

55

2012 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,第 II 卷第(21)题为选考题,其它题为必考题.满 分 150 分,考试时间 120 分钟.

注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答 题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差
s? 1? 2 2 2 x ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ?? 1 ? n

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? {x | x ? 2} ,下图中阴影部分所表示的集合为 A. {0,1, 2} C. {1} B. {1, 2} D. {0,1} 开始 输入 x
y ? 2x ?1
A

B

2.“ a ? 1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与 ax ? y ? 0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若双曲线

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 5 ,则双曲线的一条渐近线方程为 a 2 b2

x? y

1 A. y ? x 2

B. y ? 2 x

| x ? y |? 8




56

输出 y 结束

C. y ?

6 x 6

D. y ? 6 x

4.运行右图所示的程序框图.若输入 x ? 4 ,则输出 y 的值为 A. 49 C. 13 B. 25 D. 7

? 0 ? x ? 2, ? 5.若平面区域 ? ?2 ? y ? 0, 是一个梯形,则实数 k 的取值范围是 ? y ? kx ? 2 ?

A. (?2, ?1) B. (??, ?1) C. (?2, ??) 6.函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) 的部分图像可能是

D. (??, ?2)

A.

B.

C.

D.

??? ??? ? ? 7.已知 A, B, C 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 上不同的三个点, O 为坐标原点, OA ? OB ? 0 .若存在实数 ?, ?

使得 OC = ? OA ? ? OB ,则 ?, ? 的关系为 A. ? 2 ? ? 2 ? 1 B.
1

????

??? ?

??? ?

?

?

1

?

?1

C. ? ? ? ? 1

D. ? ? ? ? 1

8.从 {1, 2,3, 4,5} 中任取 4 个不同的元素构成四位数,则与数 1234 相应数位上的数字至少有 2 个相同的四 位数的个数为 A.33 B.23 C.22 D.19

9.从区间 I 中随机选取一个数为 a ,从 [0,1] 中随机选取一个数为 b .若复数 z ? a ? bi ( i 为虚数单位)满 足 z ? 1 的概率是 A. [0,1]
4?π ,则区间 I 不可能是 ... 4

B. [?1,1]

1 1 C. [? , ] 2 2

D. [?1,0]

1 ? ? 2 x , 0? x ? 2 , ? 10 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x? 1)? f ( x ), 当 x ?[ 0, 1] , f ( x) ? ? 时 ? 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1. ? ? 2

定义

, f1 ( x) ? f ( x) f 2 ( x) ? f (2 x) ,…, f n ( x) ? f (2n ?1 x) .若直线 y ? k ( x ? 1) 与曲线 y ? f 4 ( x) 在 x ?[0,1] 上恰有 16 个交点,则 k 的取值范围是 A. 0 ? k ?
7 15

B. 0 ? k ?

8 15

C. 0 ? k ?

15 31

D. 0 ? k ?

16 31

57

第 II 卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a6 ? 10 ,则 S8 的值为________. 12.在某次测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,? 2 ) , 若 ? 在(0,1)内取值的概率 0.35, 则 ? 在(0,2) 率为________. 13.右图是长方体截去一个角后所得几何体的三 视图,则这个几何体的体积为 . 4 俯视图 正视图 6 3 侧视图 内取值的概

14.某观测站 D 的正北 6 海里和正西 2 海里处分别有海岛 A 、 B ,现在 A 、 B 连线的中点 E 处有一艘渔船 因故障抛锚. 若在 D 的正东 3 海里 C 处的轮船接到观测站 D 的通知后, 立即启航沿直线距离前去营救, 则该艘轮船行驶的路程为 海里.

15.已知集合 M ? {1, 2,3,?, n}(n ? N? ) ,若集合 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, am } ? M (m ? N? ) ,且对任意的 b ? M ,存在 ,则称集合 A 为集合 M 的一个 m- 生 ai , a j ? A(1 ? i ? j ? m) ,使得 b = ?1ai + ?2 a j (其中 ?1 , ?2 ?{?1,0,1} ) 成元.若集合 A 为集合 M = {1, 2,3,?,8} 的一个 m- 生成元,则 m 的最小可能值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)
? 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于点 F (0,1) ,与 x 轴 2 交于点 B, C , M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)若 f (? ? ) ?

? 6

? 2 5 ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 5 2 4

17.(本小题满分 13 分) 某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒的数据如下表所 示: 1 2 3 4 5 月份 x y (万盒) 4 4 5 6 6
? ? ? ? (Ⅰ)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ,根据表中数据已经正确计算出 b ? 0.6 ,试

? 求出 a 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数;
58

(Ⅱ)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒,小红同学从 中随机购买了 3 盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记 小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
? ? (附: a ? y ? bx )

18.(本小题满分 13 分)
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 E : y 2 ? 4 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线在第一象 a 2 b2 2 限内的交点 P 的横坐标为 . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx 与抛物线 E 相交于点 O 、 Q ,与椭圆 C

如图,已知椭圆 C :

相交于点 M 、 N ( N 在线段 OQ 上) ,且 MO ? NQ . 试研究符合要求的直线 l 的条数,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? AC ? 2 2 , BC ? BB1 ? 4 , D, E 分别为 BC , A1 1 BB1 的中点,点 M 在棱 B1C1 上,且 B1M ? B1C1 . 4 (Ⅰ)求证:平面 ACE ? 平面 AC1 D ; B1 C1 M (Ⅱ)若 F 是侧面 ABB1 A1 上的动点,且 MF ∥平面 AC1 D . (i)求证:动点 F 的轨迹是一条线段; E A (ii)求直线 AF 与平面 AC1 D 所成角的正弦值的取值范围. 20. (本小题满分 14 分)
B

ex 已知函数 f ( x) ? 的极值点为 2e ? 1 . x ? ae (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若数列 {an } 满足 an =f (n) ,问:数列 {an } 是否存在最小项?若存在,求出该最小项;若不存在,

D

C

请说明理由; (Ⅲ)求证: f (2e ? 1) ? f (2e ? 2) ??? f (2e ? n) ? e2ne ? (n ? 1) . 21.本题有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做 、 、
的前两题记分.

(1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知平行四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(3,1) , B(?1,1) , C (?3, ?1) , D(1, ?1) .其在矩阵
?k 1? M ?? ? (k ? 0) 所对应的变换作用下变成菱形 A?B?C?D? . ? 0 2? (Ⅰ)求 k 的值;

(Ⅱ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 . (2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

59

在直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的方程为 y ?

? x ? 1 ? cos ? , 3 , (? ( x ? x0 )( x0 ? 0 ) ⊙ C 的参数方程为 ? 3 ? y ? sin ? .

为参数) . (Ⅰ)写出⊙ C 的普通方程; (Ⅱ)若 l 与⊙ C 相切于点 P ,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,试求点 P 的一个 极坐标. (3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ? 1 , x ? (0, ??) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值 m ; (Ⅱ)若 a, b 是正实数,且满足 a ? b ? m ,求证:
b2 a 2 ? ?2. a b

2012 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部 分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给 分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11. 40 12. 0.7 13. 60 14. 5 15. 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题主要考查两角和差公式,二倍角公式,同角三角函数关系,三角函数图像与性质的基本知识以 及推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,满分 13 分. 1 (I)∵ S?MBC ? ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2 ∴周期 T ? 2? ?
??

?

··········· ·········· ······· 3 ·········· ··········· ······· , ? ? 1 .····························· 分
1 , 2

由 f (0) ? 2sin ? ? 1 ,得 sin ? ? ∵0?? ?
? ? ,∴ ? ? , 2 6
? 6

∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) . ·······························6 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· (Ⅱ)由 f (? ? ) ? 2sin ? ?
? ∵ ? ? (0, ) , 2
? 6 2 5 5 ,得 sin ? ? , 5 5

∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

2 5 , ··········· ··········· ····· 8 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ 5
60

∴ cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
? ? ? ∴ cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin 4 4 4

3 5

4 , 5

3 2 4 2 2 . ··········· ··········· ······· 分 ···························· 13 ·········· ··········· ······· ? ? ? ? ?? 5 2 5 2 10

17.本小题主要考查概率统计的基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识, 考查或然与必然的思想,满分 13 分. (Ⅰ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3, y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 ,··············· 分 ··········· ··· 2 ·········· ····
1 5 ? ? bx ? a 过点 ( x, y ) , 因线性回归方程 y 1 5

∴ a ? y ? bx ? 5 ? 0.6 ? 6 ? 3.2 , ························4 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· ? ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ? 6.8 . ············· 6 分 ··········· ·· ·········· ··· (Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3,
P(? ? 0) ?
3 C5 10 5 C1C 2 40 10 ? ? , P(? ? 1) ? 4 3 5 ? ? , 3 84 21 C9 84 42 C9

P(? ? 2) ?

2 1 C4 C5 30 5 C3 4 1 ··········· ····· ·········· ······ ? ? , P(? ? 3) ? 4 ? ? . ················ 11 分 3 3 84 14 C9 C9 84 21

其分布列为
?
P
? E? ?

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

5 10 5 1 4 ······················13 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 42 21 14 21 3

18.本题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识,考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性定量的基本 方法,考查运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和 解决问题的能力,满分 13 分. (Ⅰ)由 F (1,0) ,故椭圆的焦点坐标为 (?1, 0) . 由点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,所以 P( ,
2 3

2 2 6 ··········· ······· 2 ·········· ········ ) . ··········· ········ 分 3 3
2 6 2 2 2 6 2 ) ? ( ? 1) 2 ? ( ) ? 4, 3 3 3

又点 P 又在椭圆 C 上,所以 2a ? ( ? 1) 2 ? (

所以 a ? 2 ,又 c ? 1 ,故 b ? 3 ,·························4 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· x2 y 2 从而椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . ························· 5 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 4 3 (Ⅱ)联立直线与椭圆方程得 ? x 2 解得 xM ? ?2
? y ? kx, ? 得 3x2 ? 4k 2 x2 ? 12 , y2 ? ? 1, ? 3 ?4

3 3 , xN ? 2 .······················7 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ? y ? kx, 联立直线与抛物线得 ? 2 得 k 2 x 2 ? 4 x ,? k 2 ? 0 ? y ? 4 x,

? xQ ?

4 ··········· ··········· ·········· ······ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 9 ·········· ··········· ··········· ····· k2

由 MO ? NQ 及椭圆的对称性,得 N 为线段 OQ 的中点,
61

即 xN ?

xO ? xQ 2

,得 4

3 4 ? 2, 2 3 ? 4k k

化简得 3k 4 ? 4k 2 ? 3 ? 0 ,? k 2 ? 0
?k2 ? 2 ? 13 ,∴满足题意的 k 值有 2 个. 3

∴符合要求的直线有两条. ···························· 13 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· 19.本小题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的大小等知识,考查空间想象能力、推理论证能力和 运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想,满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)解:如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,
AB ? AC ? 2 2 , BC ? 4 ,得 AB ? AC ,

如图建立空间直角坐标系 A ? xyz , ························1 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 则 C (0, 2 2,0), E (2 2,0, 2), A(0,0,0), C1 (0, 2 2, 4), D( 2, 2, 0) .
??? ? ???? ? ???? CE ? (2 2, ?2 2, 2), AC1 ? (0, 2 2, 4), AD ? ( 2, 2, 0) , ??? ???? ? ? ??? ???? ? 所以 CE ? AC1 ? 0, CE ? AD ? 0 ,
B1 M z A1 C1

∴ CE ? AC1 , CE ? AD , 又 AC1 ? AD ? A , ∴ CE ? 平面 AC1 D . 因为直线 CE 在平面 ACE 内,
x

E A B D C y

∴ 平面 ACE ? 平面 AC1 D .···························· 分 ··········· ·········· ······ 4 ·········· ··········· ······ (Ⅱ) (i)取 A1 B1 的中点为 N , B1C1 的中点为 O ,连接 MN , ME, NE, AO, BO , 1 则 MN ∥ AO ∥ AD , ME ∥ BO ∥ C1 D ,且 MN ? ME ? M , 1 ∴ 平面 MNE ∥平面 AC1 D , ····························6 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ ∵ F 是侧面 ABB1 A1 上的动点,且 MF ∥平面 AC1 D , ∴动点 F 的轨迹是平面 MNE 与平面 ABB1 A1 的交线 NE . ·············8 分 ··········· ·· ·········· ·· (ii)设 EF ? ? EN , ? ? [0,1] ,得 ( xF ? 2 2, yF , zF ? 2) ? ? (? 2, 0, 2) ∴ F (2 2 ? 2? , 0, 2 ? 2? ) , AF ? (2 2 ? 2? ,0, 2 ? 2? ) , ··············9 分 ··········· ··· ·········· ··· 由(Ⅰ)知 CE ? 平面 AC1 D ,所以 CE ? (2 2, ?2 2, 2) 为平面 AC1 D 的一个法向量. 设直线 AF 与平面 AC1 D 所成角为 ? ,
??? ???? ? CE ? AF ???? ??? ? 12 6 ? ? ∴ sin ? ? cos ? AF ,CE ? ? ??? ???? ? , ······11 分 ······ ····· | CE | ? | AF | 2 5 6? 2 ? 12 5 6? 2 ? 12

??? ?

????

??? ?

??? ?

∵ ? ?[0,1] , sin ? ? [

10 15 , ], 5 5 10 15 ····· ···· , ] . ·····13 分 5 5

所以直线 AF 与平面 AC1 D 所成角的正弦值的取值范围为 [ 解法二: (Ⅰ)同解法一;

???? ? 3 2 2 3 2 2 , , 4) , MF ? ( x ? ,? , z ? 4) 2 2 2 2 ??? ? 由 MF ∥平面 AC1D ,且由(Ⅰ)知平面 AC1 D 的法向量为 CE ? (2 2, ?2 2, 2) ,

(Ⅱ) (i)设 F ( x, 0, z ) ,则 M (

62

故由 MF ? CE ? 0 得 2x ? z ? 6 , ·························· 分 ··········· ·········· ···· 6 ·········· ··········· ···· 又?
?0 ? x ? 2 2, ? 得 2 ? x ? 2 2 . ··········· ··········· ···· 分 ··········· ·········· ···· 7 ·········· ··········· ···· ?0 ? z ? 4, ?

???? ??? ? ?

所以动点 F 的轨迹是侧面 ABB1 A1 内的一条线段.················· 8 分 ··········· ······ ·········· ······· (ii)由(i)得 F ( x,0,6 ? 2 x) , x ? [ 2, 2 2] ,故 AF ? ( x, 0, 6 ? 2 x) . 由(Ⅰ)知 CE ? 平面 AC1 D ,所以 CE ? (2 2, ?2 2, 2) 为平面 AC1 D 的一个法向量. 设直线 AF 与平面 AC1 D 所成角为 ? ,
??? ???? ? CE ? AF ???? ??? ? 12 ? ∴ sin ? ? cos ? AF ,CE ? ? ??? ???? ? 2 | CE | ? | AF | 2 5 3 x ? 12 2 x ? 36

????

??? ?

?

6 5 3( x ? 2 2) 2 ? 12

,·······························11 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········
10 15 , ], 5 5 10 15 ····· ···· , ] . ·····13 分 5 5

∵ x ? [ 2, 2 2] , sin ? ? [

所以直线 AF 与平面 AC1 D 所成角的正弦值的取值范围为 [

20.本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函 数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力,满分 14 分. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ∵函数 f ( x) ?
e x ( x ? ae ? 1) , ····························2 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ ( x ? ae) 2

ex 的极值点为 2e ? 1 , x ? ae ∴ f ?(2e ? 1) ? 0 ,得 a ? 2 ,

经检验 a ? 2 符合题意, ∴ a ? 2 . ··········· ··········· ·········· ······· 分 ··········· ·········· ··········· ······ 4 ·········· ··········· ··········· ······ (Ⅱ) f ?( x) ?
e x ( x ? 2e ? 1) ,且定义域为 {x x ? 2e} , ( x ? 2e) 2

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2e +1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2e 或 2e ? x ? 2e +1 , 故该函数的单调递增区间为 (2e +1, +?) , 单调递减区间为 (??, 2e) 和 (2e, 2e +1) ·······················7 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 又当 x ? 2e 时, f ( x) ?
ex ex ? 0 ,当 x ? 2e 时, f ( x) ? ?0, x ? 2e x ? 2e an ? f (n) ,∴ 0 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 , n ? 6 时, an ? 0 e5 . ·······················9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 5 ? 2e

∴数列 {an } 存在最小项为 a5 ?

(Ⅲ)∵ f (2e ? 1) ? f (2e ? 2) ??? f (2e ? n) ? e2ne ? (n ? 1)
? e2e ?1 e2e ? 2 e2 e ? n ? ?? ? ? e2 ne ? (n ? 1) 1 2 n

e e2 en ? ? ?? ? ? n ?1 1 2 n

··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· ? e ? e2 ??? en ? 2 ? 3 ??? (n ? 1) , ··························10 分 设函数 g ( x) ? e x ? x ? 1 ,
63

当 x ? 0 时, g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 单调递增 ∴ g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x ? (0, ??),e x ? x ? 1 , ···················· 分 ··················· 13 ·········· ········· 从而 e ? e2 ??? en ? 2 ? 3 ??? (n ? 1) 成立, 所以 f (2e ? 1) ? f (2e ? 2) ??? f (2e ? n) ? e2ne ? (n ? 1) . ·················14 分 ··········· ······ ·········· ······ 21. (1)本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想, 满分 7 分. 解: (Ⅰ)由题意可知点 ( x, y ) 在矩阵 M ? ?
?k 1? ? (k ? 0) 所对应的变换作用下变成点 (kx ? y, 2 y) , ? 0 2? 故点 A(3,1) ? A?(3k ? 1, 2) , B(?1,1) ? B?(?k ? 1, 2) , ··········· ····· ·········· ····· C (?3, ?1) ? C ?(?3k ? 1, ?2) , D(1, ?1) ? A?(k ?1, ?2) . ················2 分

显然四边形 A?B?C?D? 为平行四边形, 故要使得 A?B?C?D? 为菱形,只需 A?B? ? B?C ? , 即 4k ? 4k 2 ? 8k ? 20 ,由 k ? 0 ,解得 k ? ?1 . ··················· 分 ··········· ······· 4 ·········· ········
? ?1 1 ? 2 ?1 ? ? =? (Ⅱ)由 M ? ?2 ,故 M ?1 = ? ? ? 2 ? 0 ?1 ? ? ?0 ? 1? 2? ? . ··········· ······ 7 分 ··········· ······ ·········· ······· 1? ? 2?

(2)本题主要考查直线和圆的参数方程和极坐标等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查 数形结合思想和化归与转化思想,满分 7 分. 解: (Ⅰ) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . ····························· 2 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ (Ⅱ)直线 l 的方程可化为 x ? 3 y ? x0 ? 0 ,由直线 l 与⊙ C 相切, 故
1 ? 3 ? 0 ? x0 2 ? 1 ,又 x0 ? 0 ,解得 x0 ? 3 . ···················4 分 ··········· ········ ·········· ········

所以直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,得该直线与 x 轴交于点 Q(3,0) . 在 Rt ?CPQ 中,由 CP ? 1 , CQ ? 2 ,得 ?PCQ ? 60? . 又⊙ C 过原点 O ,且 CO ? CP ? 1 , OP ? 3 , 得点 P 的一个极坐标为 ( 3, ? ) . ························· 7 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· (3)本题主要考查函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思 想、化归与转化思想,满分 7 分 (Ⅰ) f ( x) ? ?
?3 ? x, 0 ? x ? 1, ?3x ? 1, x ? 1.

? 6

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? x ?[2,3) ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? 2 , 所以 f ( x) ? 3x ? 1 ? 2 ,即当 x ? 1 时, m ? 2 . ··················· 分 ··········· ······· 4 ·········· ········ (Ⅱ)由 a ? b ? 2 且 a, b 是正实数,根据柯西不等式,得
a 2 b2 a2 b2 2 ? )?( b? ? a? ) ? (a ? b) 2 ? 4 , b a b a a 2 b2 即 ? ? 2 .···································7 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· b a (b ? a)(

64

莆田市 2012 年高中毕业班教学质量检查

数 学 试 题(理)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差 锥体体积公式

S?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 意要求的,把答案填写在答题卷的相应位置。 1.已知 a,b 是实数,i 是虚数单位,若 i (1 ? ai ) ? 1 ? bi ,则 a+b 等于 ( )

A.0 B.1 C.2 D.-2 2.某社区有 480 户家庭,其中中等收入家庭 200 户,低收入家庭 160 户,其它为高收入家庭。若在建设 幸福社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则在该次调查中该社区被抽取的总户数 为 ( ) A.20 B.24 C.30 D.36 3.已知 l , m 为两条不同的直线,α 为一个平面。若 l / / m, 则“ l / /? ”是“ m / /? ”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某程序框图如图所示,若程序运行后输出 S 的值是 25,则图中判 断框①处可填入的语句是 ( ) A. n ? 4? B. n ? 5? C. n ? 6? D. n ? 7 ? 5.如图,由函数 f ( x) ? e ? e 的图象,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的
x



阴影部分面积等于 A. e 2 ? 2e ? 1

( B. e 2 ? 2e



65

e2 ? e C. 2

D. e 2 ? 2e ? 1

6.某圆柱被一平面所截得到的几何体如图(1)所示,若该几何体的 正视图是等腰直角三角形,俯视图是圆(如右图) ,则它的侧视图 是 ( )

7.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 2 。则 f (? log 2 3) 的值等于(
x



A.-4

B.2

C.3

D.4 )

8.若函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? A. (

?

?
2

) ? sin(2 x ? ) ,则 f ( x) 图象的一个对称中心的坐标为( 8 4

?

, 0)

B. (

?

3

, 0)

C. (

?

4

, 0)
2

D. (

?

6

, 0)
( )

9.下列方程所表示的直线能与抛物线 x 2 ? 5 y 向曲线 y ? x ? 1( y ? ?1) 都相切的是
2

A. x ? y ?

5 ?0 4

B. x ? 5 y ?
3

1 ? 0 C. 2 x ? 5 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 4
2

10.若实数 a、b、c 使得函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率

e1 , e2 , e3 ,则 a,b,c 的一种可能取值依次为 ....
A.-2,-1,2 B.2,0,-2 C. ?





7 7 , , ?1 2 2
共 100 分)

D. ?1, , ?

7 2

7 2

第 II 卷(非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填写在答题卷的相应位置。 11. 已知角α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边与单位交点的横坐标是 ? , ? ? (0, ? ) , 若 则 tan ? = 。 12.如图,在 ?ABC 中,点 M 在 BC 边上且满足 CM=3MB, 设 AB ? a, AC ? b ,则 AM =

3 5

??? ?

????

???? ?

(用 a,b 表示)

13.已知点 P(1,0)与点 Q(a,b)在直线 x ? y ? 1 ? 0 两侧。 若 a ? 2 ,则

b 的取值范围为 a ?1



66

14.如图是定义在[-4,6]上的函数 f ( x) 的图象,若 f (?2) ? 1, 则不等式 f (? x 2 ? 1) ? 1 的解集是 。

15.现安排甲、乙等 5 名同学去参加 3 个运动项目,要求每个项 目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求且甲、乙两人刚好参加不同个项目的概率等于 ... (用数字作答) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填写在答 题卷的相应位置。 16. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 ? 2, S 4 ? 4, 等式 an ? an ? 2 ? 2an ?1 对任意 n ? N * 恒成立。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在平面直角坐标系中,设 u ? (4, S 2 ), v ? (4k , ? S3 ) ,若 u / / v ,求实数 k 的值。

17. (本小题满分 13 分) 小 明家订了一份《湄洲日报》 ,暑假期间他收集了每天报纸送达的时间的数据,并绘制成频率分布直 方图如图所示。 (1)请你根据图中的数据信息,写出众数 x0 = (小时) ;

(2)小明的父亲离家去上班的时间 y 在上午 7:00~7:30 之间,为此小明要求送报人每天在 x0 时前 后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等) (i)求小明年的父亲在去上班前能取到报纸(称为事件 A)的概率; (ii)求小明的父亲一周 5 天(假日除外)能取到报纸的天数 X 的数学期望。

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 P( 2,1), F1、 2 为其左、 F 右焦点, ?PF1 F2 的面积等于 2. 且 a 2 b2
3 上的两个动点,满足 F1M ? F2 N , 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M、N 是直线 x ? ?

问以 MN 为直径的圆 C 是否恒过定点?若是,请给予证明;若不是,请说明理由。

19. (本小题满分 13 分)
67

如图, AB ? BC , BC ? CD, AB ? BC ? CD ? 1, AD ? 3 ,E、F 分别是线段 AC、AD 的中点,连 接 BE、EF、FB、BD。 (1)请观察图形直接写出两对不同的线面垂直关系,并任选其中一对加以 证明; (2)试求直线 BD 与平面 BEF 所成的角的大小。

20. (本小题满分 14 分) 如图,边长为 3(百米)的正方形 ABCD 是一个观光区的平面示意图,中间叶形阴影部分 MN 是一片 人工湖,它的左下方边缘曲线段 MN 为函数 y ?

2 (1 ? x ? 2) 的图象。为了便于游客观光,拟在观光 x

区内铺设一条穿越该区域的直路 l (宽度不计) ,其与人工湖左下方曲线段 MN 相切(切点记为 P) , ... 并把该区域分为两部分。现直路 l 左下部分区域规划为花圃,记点 P 到边 AD 距离为 t , f (t ) 表示花圃 的面积。 (1)求直路 l 所在的直线与两坐标轴的交点坐标; (2)求面积 f (t ) 的解析式; (3)请你制定一个铺设方案,使得花圃面积最大,并求出最大值。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b(a ? 0, b ? 0). (1)求证:函数 f ( x) 在区间 [0, a ? b] 内至少有一个零点; (2)若函数 f ( x)在x ?

?
3

处取得极值。

(i)不等式 f ( x) ? sin x ? cosx 对任意 x ? [0,

?
2

] 恒成立,求 b 的取值范围;

( ii ) 设 ?ABC 的 三 个 顶 点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在 函 数 f ( x) 的 图 象 上 , 且

?

?
3

? x1 ? x2 ? x3 ?

?
3

,求证: f (sin A ? sin C ) ? f (sin B ).
2 2 2

68

69

70

71

72

73

74

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本试 , 卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答 题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签)笔或碳素笔书写,字体工整、笔记清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 锥体体积公式

s?
?

? ? ? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) ? … ? ( xn ? x) 2 ] n

1 V ? Sh 3
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 ,V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 3 1.已知 0 ? ? ? ? ,且 tan ? ? ,则 cos? 等于 4 3 3 4 4 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5 2.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,则 a3 等于 A.3 B.4 C.5 D.6
开始

3.“ a ? ?1 ”是“直线 a 2 x ? y ? 6 ? 0 与直线 4 x ? (a ? 3) y ? 9 ? 0 互相垂直”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

输入 a,b,c Y

a>b?
N

a=b

4.右图给出一个算法的程序框图,该程序框图的功能是 A.找出 a 、 b 、 c 三个数中最大的数 B.找出 a 、 b 、 c 三个数中最小的数 C.找出 a 、 b 、 c 三个数中第二大的数
75

a>c?
N 输出 a

Y

a=c

结束

D.把 c 的值赋给 a 5.若 l、m、n 是空间中互不相同的直线, ?、? 是不重合的两平面,则下列命题中为真命题的是 A.若 ? / / ? , l ? ? , n ? ? ,则 l / / n B.若 ? ? ? ,l ? ? ,则 l ? ? C. 若 l ? n, m ? n ,则 l / / m D.若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? 6. 已知双曲线 ? :

x2 y 2 过双曲线 ? 的左焦点 F 作 ? O :x 2 ? y 2 ? a 2 的 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? 2 , 2 a b

两条切线,切点分别为 A 、 B ,则 ?AFB 的大小等于 A.45° B.60° C.90° D.120°

7.已知函数 f(x)=sin2x+acos2x 图象的一条对称轴方程为 x ? ? A. ?

? ,则实数 a 的值为 6

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3

8.已知正实数 a , b 满足不等式 ab ? 1 ? a ? b ,则函数 f ( x) ? log a ? x ? b ? 的图象可能为

??? ??? ? ? 9.在 Rt△ PAB 中,PA=PB,点 C、D 分别在 PA、PB 上,且 CD∥AB,AB=3,AC= 2 ,则 AD ? BC 的
值为 A.-7 B.0 C.-3 D.3

10.若数列 {an } 满足 a ? an ? b ,其中 a 、b 是常数,则称数列 {an } 为有界数列, a 是数列 {an } 的下界,b 是数列 {an } 的上界.现要在区间 [?1, 2) 中取出 20 个数构成有界数列 {bn } ,并使数列 {bn } 有且仅有两 项差的绝对值小于 A. 5

1 ,那么正数 m 的最小取值是 m

B.

19 3

C.7

D.

23 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置. 11.已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 4 ? 3i 在复平面内的对应点分别为点 A、B,则 A、B 的中点所对应的复数 是 .
76

12.已知函数 f ( x) ? 2 x ?

? f ( x) , ( x ? 0), 1 ,且 g ( x) ? ? 则函数 g(x)的最小值是 x 2 ? f (? x) , ( x ? 0),



13.若 (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? an x n (n ?N* ) ,且 a1 : a2 ? 1: 3 ,则 n ?



14.已知函数 f ? x ? ? m x ?1 ? 1 (其中 m ? 0 ,且 m ? 1)的图象恒过定点 A,而点 A 恰好在直 线 2ax ? by ? 2 ? 0 上(其中 ab ? 0 ) ,则

1 4 ? 的最小值为 a b



15.如图,标识为①、②、③、④的四张牌,每张牌的一面都写上一个数字,另一面都写 上一个英文字母.现在规定:当牌的一面写的是数字 3 时,它的另一面必须写字母 M.为了检查这四 张牌是否符合规定,你仅需翻看的牌的标识为 .. 6 ① 3 ② M ③ . U ④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某工厂共有工人 40 人, 在一次产品大检查中每人 的产品合格率(百分比)绘制成频率分布直方图, 如图所示. (Ⅰ) 求合格率在[50,60)内的工人人数; (Ⅱ)为了了解工人在本次大检查中产品不合格的 率在[50,70)内的工人中随机选取 3 人的合 析,用 X 表示所选工人合格率在[ 60,70) X 的分布列和数学期望. 情况, 从合格 格率进行分 内的人数, 求

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥平面 ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,且 AB=1,AD=CD=2,E 在 线段 PD 上. (Ⅰ)若 E 是 PD 的中点,试证明: AE∥平面 PBC; (Ⅱ)若异面直线 BC 与 PD 所成的角 为 60° ,求四棱锥 P-ABCD 的侧
侧视 左视 77

P

E D A
正视

C B

视图的面积.

18. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与椭圆 4 x 2 ? 20 y 2 ? 5 的右焦点重合. (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ)动直线 l 恒过点 M (0,1) 与抛物线 ? 交于 A、B 两点,与 x 轴交于 C 点,请你观察并判断:在线段 MA,MB,MC,AB 中,哪三条线段的长总能构成等比数列?说明你的结论并给出证明. 19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 的导函数是 f ?( x) ? 3x 2 ? 2mx ? 9 , f ( x) 在 x ? 3 处取得极值,且

f (0) ? 0 ,
(Ⅰ)求 f ( x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)记 f ( x) 在闭区间 [0, t ] 上的最大值为 F (t ) ,若对任意的 t (0 ? t ? 4) 总有

F (t ) ? ?t 成立,求 ? 的取值范围;ks5u
(Ⅲ)设 M ( x, y ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点.当 x ? (0,1] 时,求直线 OM 斜率的最 小值,据此判断 f ( x) 与 4sin x 的大小关系,并说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 某公园里有一造型别致的小屋,其墙面与水平面所成的角为 ? ,小屋有一扇面向正南的窗户,现要在 窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷,如图 1 所示.如图 2 是遮阳篷的截面示意图,AB 表示 窗户上、下边框的距离,AB=m,CD 表示遮阳篷.已知该公园夏季正午太阳最高这一天,太阳光线与 水平面所成角为 ? ,冬季正午太阳最低这一天,太阳光线与水平面所成角为 ? ( ? ? ? ) .若要使得 夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内,而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能 最大限度地直射进室内,那么遮阳篷的伸出长度 CD 和遮阳篷与窗户上边框的距离 BC 各为多少? 夏天光线 冬天光线

C B

D

A

图1

图2

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所 、 、
78

做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 a? 设矩阵 M ? ? ?. ?b 1?
(I)若 a ? 2, b ? 3 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (II)若曲线 C: x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 C ? : x 2 ? 2 y 2 ? 1 , 求 a ? b 的值. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合.圆 C 的参

? x ? 1 ? 2cos ? , 7? 数方程为 ? ( ? 为参数) ,点 Q 极坐标为 (2, ) . 4 ? y ? ?1 ? 2sin ? ,
(Ⅰ)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; (Ⅱ)若点 P 是圆 C 上的任意一点,求 P、Q 两点距离的最小值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | . (Ⅰ)求 y ? f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 的解集为 A ,求集合 A .

79

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:

题号 答案
二、填空题: 11. 3-i. 三、解答题:

1 D

2 C

3 A

4 B

5 D

6 B

7 A
15. ②、④

8 B

9 C

10 B

12. 0

13.7

14.9

16.解: (Ⅰ)产品合格率在[50,60)内的频率为: 1-(0.035+0.03+0.0225+0.0075)× 10=0.05, ………………………2 分

所以产品合格率在[50,60)内的人数共有 40× 0.05=2 人. ……………………4 分 (Ⅱ)同(1)可得产品合格率在[ 60,70)内的人数有 40× 0.0225× 10=9, 所以产品合格率在[50,70)内的人数共有 11 人. 依题意,X 的可能取值是 1,2,3. P(X=1)= ………………………6 分 ……10 分

2 1 C2 C9 C 1C 2 3 24 28 = ;P(X=2)= 2 3 9 = ;P(X=3)=P(A)= . 3 C11 C11 55 55 55

则 X 分布列为: X P 1 3 55 2 24 55 3 28 55 ………………………11 分 所以 EX=1×

3 24 28 27 +2× +3× = . 55 55 55 11
1 CD ∥ AB, 2

………………………13 分

17.解: (Ⅰ)解法一:在四棱锥 P-ABCD 中,取 PC 的中点 F,连结 EF、FB, 因为 E 是 PD 的中点,所以 EF ∥ 所以四边形 AEFB 是平行四边形, 则 AE∥FB, 而 AE ? 平面 PBC,FB ? 平面 PBC, ∴AE∥平面 PBC. …………………………………………5 分 ……………………………………………6 分 ………………………………2 分

…………………………………………3 分

解法二:如图,以 B 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,垂直于 AB 的直线为 y 轴,BP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 PB= t , 则 P(0,0,t) ,D(-1,2,0) , ??? ? 1 t t 1 C(1,2,0) ,A(-1,0,0) ,所以 E(- ,1, ) AE ? ( 1 ) , ,…………2分 , 2 2 2 2 ??? ? ?a ? BC ? 0, ? x ? 2 y ? 0, ? x ? ?2 y, ? 设平面 PBC 的法向量为 a ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? 所以 ? 即? ? ? z ? 0. ?tz ? 0, ?a ? BP ? 0, ?
80

取 y ? ?1 ,得到平面 PBC 的法向量为 a ? (2, ?1,0) .

??? ? 所以 AE ? a =0,而 AE ? 平面 PBC,则 AE∥平面 PBC.
(Ⅱ)同(Ⅰ)法二建立空间直角坐标系, 设 PB ? t (t>0) ,则 P(0,0,t) , D(-1,2,0) ,C(1,2,0) , ??? ? ??? ? 所以 PD =(-1,2,-t) BC =(1,2,0) , ,

……………………6 分

z P E D A B y C x

??? ? ??? ? 则| PD |= 5 ? t 2 ,| BC |= 5 ,

…………9 分

由已知异面直线 BC 与 PD 成 60° 角, ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? 1 所以 PD · = | PD | ? | BC | ? cos60? = 5 ? t 2 ? 5 ? , BC 2 ? ??? ??? ? 又 PD · =-1× 1+2× 2+(-t)× 0=3, BC

1 55 55 =3,解得 t= ,即 PB= , 5 5 2 1 55 55 所以侧视图的面积为 S= × 2× = . ……………………13 分 5 5 2 x2 y 2 5 1 18.解: (Ⅰ)∵椭圆方程为: ………………2 分 ? ? 1 ,∴ a 2 ? , b2 ? , 5 1 4 4 4 4
所以 5 ? t 2 ? 5 ? 所以 c 2 ? 1 ,即椭圆的右焦点为(1 , 0) , p 因为抛物线的焦点为( ,0) ,所以 p =2, 2 则抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)解法一:设直线 l: y ? kx ? 1(k ? 0) ,则 C(-

……………………3 分 …………………………4 分

1 ,0) , k

? y ? kx ? 1, 由? 2 ? y ? 4 x,

得 k 2 x 2 ? 2(k ? 2) x ? 1 ? 0 , ………………………………………6 分

因为△ = 4(k ? 2)2 ? 4k 2 ? 0 ,所以 k<1, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1 ? x2 ? ?

………………………………7 分

2(k ? 2) 1 , x1 x2 ? 2 , ………………8 分 2 k k 1 所以由弦长公式得: | MA |? 1 ? k 2 | x1 | , | MB |? 1 ? k 2 | x2 | , | MC |? 1 ? k 2 ? | | , k 4 1? k , ………………10 分 | AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? k2 1 通过观察得: | MA | ? | MB | =( 1 ? k 2 )· x1 x2 | =( 1 ? k 2 )· 2 = | MC |2 .………………11 分 | k
若 | MA | ? | MB | = | AB |2 ,则 k ? ?8 ? 4 2 ,不满足题目要求.
81

………………12 分

所以存在三线段 MA、MC、MB 的长成等比数列. ………………………………13 分 1 解法二:同法一得 x1 x2 ? 2 , …………………………………………8 分 k ???? ???? 而 MA ? MB = ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) = ( x1 , kx1 ) ? ( x2 , kx2 )

1 1 =1 ? 2 , 2 k k 1 1 因为 C(- ,0) ,所以 | MC |2 =1+ 2 . …………………………10 分 k k ???? ???? 因为 M、A、B 三点共线,且向量 MA 、 MB 同向,
= (1 ? k 2 ) x1 x2 = (1 ? k 2 ) ?

???? ???? ???? ???? ???? ???? 所以 MA ? MB = | MA | ? | MB | ? cos 0? = | MA | ? | MB | ,

……………………11 分

???? ???? 1 因此 | MA | ? | MB | = 1 ? 2 = | MC |2 . k
所以存在三线段 MA、MC、MB 的长成等比数列. ………………………………13 分 1 解法三:设直线 l: y ? kx ? 1(k ? 0) ,则 C(- ,0) , k

? y ? kx ? 1, 由? 2 ? y ? 4 x,

得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ,

…………………………………6 分

由△ =16-16k>0,得到 k<1, 4 4 1 所以 y1 ? y2 ? , y1 ? y2 ? , x1 x2 ? ( y1 y2 )2 , ……………………………8 分 k k 16 ???? ???? 所以 MA ? MB = ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) = x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1)

1 ( y1 y2 )2 + y1 y2 -( y1 ? y2 )+1 16 1 16 4 4 1 = ? 2 ? ? ? 1 =1 ? 2 , 16 k k k k
= 下同解法二. 19.解: (I)依题意, f ?(3) ? 0 ,解得 m ? ?6 , 由已知可设 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? p , 因为 f (0) ? 0 ,所以 p ? 0 ,

………………10 分

……………………1 分

则 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ,导函数 f ?( x) ? 3x2 ? 12 x ? 9 . …………………………3 分 列表:
x
f ?( x) (??,1)
1 (1,3) 3 (3,+∞)

+ 递增

0 极大值 4

递减

0 极小值 0

+ 递增

f ( x)

由上表可知 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值为 f (1) ? 4 ,
82

f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值为 f (3) ? 0 .

…………………………………5 分

(Ⅱ)①当 0 ? t ? 1 时,由(I)知 f ( x) 在 [0, t ] 上递增, 所以 f ( x) 的最大值 F (t ) ? f (t ) ? t 3 ? 6t 2 ? 9t , 由 F (t ) ? ?t 对任意的 t 恒成立,得 t 3 ? 6t 2 ? 9t ? ?t , 则 ? ? t ? 6t ? 9 ? (t ? 3) ,
2 2

……………………6 分

因为 0 ? t ? 1 ,所以 ?3 ? t ? 3 ? ?2 ,则 4 ? (t ? 3) ? 9 ,
2

因此 ? 的取值范围是 ? ? 4 .

………………………………8 分

②当 1 ? t ? 4 时,因为 f (1) ? f (4) ? 4 ,所以 f ( x) 的最大值 F (t ) ? f (1) ? 4 , 由 F (t ) ? ?t 对任意的 t 恒成立,得 4 ? ?t , ∴ ? ? 因为 1 ? t ? 4 ,所以 1 ?

4 , t

4 ? 4 ,因此 ? 的取值范围是 ? ? 1 , t
……………………10 分

综上①②可知, ? 的取值范围是 ? ? 1 . (Ⅲ)当 x ? (0,1] 时,直线 OM 斜率 k ?

f ( x) x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? ? ( x ? 3)2 , x x
2

因为 0 ? x ? 1 ,所以 ?3 ? x ? 3 ? ?2 ,则 4 ? ( x ? 3) ? 9 , 即直线 OM 斜率的最小值为 4. …………………………………11 分

f ( x) 首先,由 ? 4 ,得 f ( x) ? 4 x . x
其次,当 x ? (0,1] 时,有 4 x ? 4sin x ,所以 f ( x) ? 4sin x , 证明如下: 记 g ( x) ? 4 x ? 4sin x ,则 g ?( x) ? 4 ? 4cos x ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0,1) 递增,又 g (0) ? 0 , 则 g ( x) ? 0 在 (0,1) 恒成立,即 4 x ? 4sin x ,所以 f ( x) ? 4sin x .……………13 分 ………………12 分

19.解:如图所示,设 BC ? x , CD ? y , 依题意∠ADC= ? ,∠BDC= ? . 在△ BCD 中,∠BCD= ? ? ? , …………2 分

C B

D

?CBD ? ? ? ?BDC ? ?BCD ? ? ? ? ,

A
83

由正弦定理得

x y , ① ? sin ? sin(? ? ? )

…………4 分

在△ ACD 中, ?CAD ? ? ? ?ACD ? ?CDA ? ? ? ? , AB=m, AC ? m ? x , 由正弦定理得

m? x y ,② ? sin ? sin(? ? ? )

…………6 分

由①②得 所以 x ?

x sin(? ? ? ) (m ? x)sin(? ? ? ) , ? sin ? sin ?

……………………8 分

m sin(? ? ? )sin ? , sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

………………………………11 分

y?

sin(? ? ? ) m sin(? ? ? )sin(? ? ? ) . x? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

……………………13 分

答:遮阳篷的伸出长度 CD 为

m sin(? ? ? )sin ? ,遮阳篷与窗户上边框的距离 BC 为 sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
……………………14 分

m sin(? ? ? )sin(? ? ? ) . sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

? x1 解: (I)设矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ? ? ? x2
?1 2 ? ? x1 所以 ? ?? ? 3 1 ? ? x2

y1 ? ?1 0 ? ?1 2 ? ?1 ? ,则 MM ? ? ?. 又 M ? ? ?, y2 ? ? 0 1? ?3 1?

y1 ? ?1 0 ? ??? ? ,所以 x1 ? 2 x2 ? 1,3x1 ? x2 ? 0 , y2 ? ? 0 1 ?

1 2 3 1 y1 ? 2 y2 ? 0,3 y1 ? y2 ? 1 ,即 x1 ? ? , y1 ? , x2 ? , y2 ? ? , 5 5 5 5 ? 1 2? ??5 5 ? 故所求的逆矩阵 M ?1 ? ? ………………………………4 分 ?. ?3 ? 1? ? ? 5? ?5
(II)设曲线 C 上任意一点 P( x, y) ,它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点

? x ? ay ? x ', ?1 a? ? x ? ? x'? , P '( x ', y ') ,则 ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? b 1 ? ? y ? ? y '? ?bx ? y ? y ',

……………………5 分

又点 P '( x ', y ') 在曲线 C ' 上,所以 x?2 ? 2 y?2 ? 1 ,则 ( x ? ay)2 ? 2(bx ? y )2 ? 1 , 即 (1 ? 2b2 ) x2 ? (2a ? 4b) xy ? (a 2 ? 2) y 2 ? 1 为曲线 C 的方程, 又已知曲线 C 的方程为 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 ,
84

?1 ? 2b 2 ? 1 ? 比较系数可得 ? 2a ? 4b ? 4 ,解得 b ? 0 , a ? 2 ,∴ a ? b ? 2 . ……………………7 分 ? 2 ?a ? 2 ? 2
(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)圆 C 直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ,
2 2

展开得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,
2 2

……………………………2 分 ………………………4 分

化为极坐标方程为 ? ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? 0 .
2

(II)点 Q 的直角坐标为 (2, ?2) ,且点 Q 在圆 C 内, 因为 | QC |? 2 ,所以 P,Q 两点距离的最小值为 | PC |? 2 ? 2 . (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 ……………7 分

? ?2 x ? 1 , (x ? ?1), ? (-1 ? x ? 2), 所以 y ? f ( x) 的最小值为 3.……………4 分 解:(I) f ( x ) ? ?3, ? 2 x ? 1 , (x ? 2), ?
(II) 由(I)可知,当 x ? ?1 时, f ( x) ? 4 ,即 f ( x) ? 4 ,此时 x ? ?

3 ; 2

5 . 2 3 5 因此不等式 f ( x) ? 4 的解集为 A 为 {| x ? ? 或 x ? } . 2 2
当 x ? 2 时, f ( x) ? 4 ,即 2 x ?1 ? 4 ,此时 x ?

…………………7 分

85


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签: