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2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标Ⅱ卷)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)设集合 M ? ?0,1, 2? , N = ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0? ,则 M (A) ?1? (B)
N?

?2?

(C)

?0,1?

(D) ?1, 2?

(2)设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? (A) ?5 (B) 5 (C) ?4 ? i (D) ?4 ? i

(3)设向量 a , b 满足 a ? b ? 10 , a ? b ? 6 ,则 a ? b = (A) 1 (B) 2 (C) 3
1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? 2

(D) 5

(4)钝角三角形 ABC 的面积是 (A) 5 (B)

5

(C) 2

(D) 1

(5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天 为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良 的概率是 (A) 0.8 (B) 0.75 (C) 0.6 (D) 0.45 (6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件有一个底 面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 17 5 (A) (B) 27 9

理科数学试题 第 1 页 (共 9 页)

10 (C) 27

1 (D) 3

开始 输入 x , t
M ?1, S ?3

(7)执行右面的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2, 则输出的 S ? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (8)设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程 为 y ? 2 x ,则 a ? (A) 0 (B) 1 (C) 2

k ?1


k ?t



M?

M x k

输出 S 结束

S ?M ?S k ? k ?1

(D) 3

?x ? y ? 7 ? 0 ? (9)设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?

(A) 10

(B) 8

(C) 3

(D) 2

(10)设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A ,B 两点,
O 为坐标原点,则 ?OAB 的面积为

(A)

3 3 4

(B)

9 3 8

(C)

63 32

(D)

9 4

(11)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BCA ? 90 , M , N 分别是 A1B1 , AC 1 1 的中点,

B C? C A ?
(A)
1 10

C C BM 与 AN 所成角的余弦值为 1 ,则
(B)
2 5

(C)

30 10

(D)

2 2

(12)设函数 f ( x) ? 3 sin 取值范围是

?x
m

2 .若存在 f ( x) 的极值点 x0 满足 x0 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的

(A) (??, ?6) (6, ??) (C) (??, ?2) (2, ??)

(B) (??, ?4) (4, ??) (D) (??, ?1) (1, ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必
理科数学试题 第 2 页 (共 9 页)

须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) ( x ? a)10 的展开式中, x7 的系数为 15 ,则 a ? (14)函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) 的最大值为 . (用数字填写答案) .

(15)已知偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 单调递减, f (2) ? 0 .若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范围 是 .

(16)设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x2 ? y 2 ? 1上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45 ,则 x0 的取 值范围是 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 .
1 (Ⅰ)证明 {an ? } 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; 2

(Ⅱ)证明

1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 2

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩 形, PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明: PB 平面 AEC ;

(Ⅱ)设二面角 D ? AE ? C 为 60 , AP ? 1 AD ? 3 ,求三棱锥 E ? ACD 的体积. (19) (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均 纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

, a ? y ? bt .

? t)

2

(20) (本小题满分 12 分)

理科数学试题 第 3 页 (共 9 页)

设 F1 ,F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 a 2 b2

与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一交点为 N . 3 (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a , b . (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? e? x ? 2 x . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001) . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题给分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, P 是 O 外一点, PA 是切线, A 为切点, 割线 PBC 与 O 相交与 B , C , PC ? 2 PA , D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 与点 E .证明: (Ⅰ) BE ? EC
2

A

O
P B D

(Ⅱ) AD ? DE ? 2PB (23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

C

E 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆

C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? , ? ? [0, ] . 2 (Ⅰ)求 C 的参数方程;

?

(Ⅱ)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中 你得到的参数方程,确定 D 的坐标. (24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 1 设函数 f ( x) ?| x ? | ? | x ? a | ( a ? 0) . a (Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

理科数学试题 第 4 页 (共 9 页)

(1)解析:∵ N = ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0? ? ? x 1 ? x ? 2? ,∴ M

N ? ?1, 2? 答案:D

(2)解析:∵ z1 ? 2 ? i ,∴ z2 ? ?2 ? i ,∴ z1z2 ? (2 ? i)(?2 ? i) ? i2 ? 22 ? ?5 答案:A (3)解析:∵ a ? b ? 10 , a ? b ? 6 ,∴ (a ? b)2 ? 10 ??①, (a ? b)2 ? 6 ??②. 由① ? ②得: a ? b = 1 (4)解析:∵ S ?ABC ? 答案:A

1 1 1 2 | AB | ? | BC | ? sin B ,即: ? ?1? 2 ? sin B ,∴ sin B ? , 2 2 2 2

即 B ? 45 或 135 .又∵ | AC |2 ?| AB |2 ? | BC |2 ?2 | AB | ? | BC | ? cos B ∴ | AC |2 ? 1 或 5,又∵ ?ABC 为钝角三角形,∴ | AC |2 ? 5 ,即: AC ? 5 答案:B (5)解析:此题为条件概率,所以 P ?
0.6 ? 0.8 答案:A 0.75

(6)解析:原来毛坯体积为: ? ? 32 ? 6 ? 54? (cm2 ) ,由三视图得,该零件由左侧底面半 径为 2cm,高为 4cm 的圆柱和右侧底面半径为 3cm,高为 2cm 的圆柱构成,所以 该 零 件 的 体 积 为 : ? ? 22 ? 4 ? ? ? 32 ? 2 ? 34? (cm2 ) , 则 切 削 掉 部 分 的 体 积 为 所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 54? ? 34? ? 20? (cm2 ) , 答案:C
1 (7)解析:输入的 x , t 均为 2. 1 ? 2 是, M ? ? 2 ? 2 , 1 2 S ? 2 ? 3 ? 5 , k ? 1 ? 1 ? 2 ; 2 ? 2 是, M ? ? 2 ? 2 , 2 S ? 2 ? 5 ? 7 , k ? 2 ? 1 ? 3 , 3 ? 2 否,输出 S ? 7 答案:D 1 1 ? 2, (8)解析:∵ y ' ? a ? ,且在点 (0, 0) 处的切线的斜率为 2,∴ y ' |x ?0 ? a ? x ?1 0 ?1 即 a ? 3 答案:D 20? 10 ? 54? 27

?x ? y ? 7 ? 0 ? (9)解析:作出 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 表示 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?

y

l2
x ? 3y ?1 ? 0

的平面区域如图阴影部分:做出目标函数 l0 :
y ? 2 x ,∵ y ? 2 x ? z ,∴当 y ? 2 x ? z 的截距
1 O
B 2

C

x
x? y ?7 ? 0

最小时, z 有最大值。 ∴当 y ? 2 x ? z 经过 C 点时, z 有最大值。

l0 l1

3x ? y ? 5 ? 0

理科数学试题 第 5 页 (共 9 页)

?x ? 3y ?1 ? 0 由? 得: C (5, 2) ?x ? y ? 7 ? 0

此时: z 有最大值 2 ? 5 ? 2 ? 8 答案:B

3 3 3 (10)解析:∵ F ( , 0) ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,∴直线 AB 的方程为 y ? (x ? ) , 4 3 4

代入抛物线方程得: x 2 ?

21 9 21 9 x ? ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 2 16 2 16

由弦长公式得 | AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 12

由点到直线的距离公式得: O 到直线 AB 的距离 d ?

|

3 3 ?0 ?0 ? | 3 4 ?3 8 3 ( ) 2 ? (?1) 2 3

1 3 9 ∴ S?OAB ? ?12 ? ? 答案:D 2 8 4 (11)解析:如图所示,取 BC 的中点 P ,连结 NP 、 AP

∵ M , N 分别是 A1B1 , AC 1 1 的中点, ∴四边形 NMBP 为平行四边形,∴ BM ∴所求角的余弦值等于 ?ANP 的余弦值 不妨令 BC ? CA ? CC1 ? 2 ,则 AN ? AP ? 5 ∴o N P? M B ? 6, c s ?A N P ? 答案:C (12)解析:∵ f '( x) ? 3
PN

|A N | 2 |? N P | |2 A P ?| 2? | A N || N ?P |
,令 f '( x) ? 3

(25 ) (6 ) 2( 5 ? ) 23 0? ? 2 ? 5 ?6

2

? 1 0

1 ? 0 得: x ? m( ? k ) k ? Z m m m m 2 1 1 ? 2 )2 ? [ 3s n i( ) ] ? k? 2 ? 2m ∴ x0 ? m( ? k ) k ? Z , 又∵ x0 ∴ m2 ( ? k ? [ f ( x0 )]2 ? m2 , 2 2 2 1 1 即: 3 ? m 2 [1 ? ( ? k ) 2 ] ,∴ 1 ? ( ? k ) 2 ? 0 ,故: k ? 0 2 2 1 ∴ 3 ? m 2 [1 ? ( ) 2 ] ,即: m 2 ? 4 ,故: m ? ?2 或 m ? 2 答案:C 2 cos cos

?

?x

?

?x

r 10?r r (13)解析:∵ Tr ?1 ? C10 x a ,∴ 10 ? r ? 7 ,即 r ? 3 , 3 7 3 ∴ T4 ? C10 x a ? 15x7 ,解之: a ?

1 1 答案: 2 2

(14)解析:∵ f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? sin[? ? ( x ? ? )] ? 2sin ? cos( x ? ? )

理科数学试题 第 6 页 (共 9 页)

? sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) ? cos ? sin( x ? ? ) ? sin ? cos( x ? ? ) ? sin x
∴ f ( x) 的最大值为 1 答案:1 (15)解析:∵ f ( x) 是偶函数,∴ f ( x ?1) ? 0 ? f ( x ?1) ? 0 ? f (2) , 又∵ f ( x) 在 [0, ??) 单调递减,∴ x ? 1 ? 2 ,解之: ?1 ? x ? 3 答案: (?1,3) (16)解析:由图可知点 M 所在直线 y ? 1 与圆 O 相切,
ON OM ? 又 ON ? 1 ,由正弦定理得: sin ?OMN sin ?ONM
y M



1 OM ? ,即: OM ? 2 sin ?ONM 2 sin ?ONM 2

O

N

x

2 ? 1 ? 2 ,解之: ?1 ? x0 ? 1答案:[?1,1] 又∵ 0 ? ?ONM ? ? ,∴ OM ? 2 ,即 x0

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
1 1 (17)解析: (Ⅰ)证明:∵ an?1 ? 3an ? 1 ,∴ an ?1 ? ? 3(an ? ) ,即: 2 2

1 2 ?3 1 (an ? ) 2 an ?1 ?

又 a1 ?

1 3 1 3 ? ,∴ {an ? } 是以 为首项,3 为公比的等比数列. 2 2 2 2

1 3 n ?1 3n ? 1 ∴ an ? ? ? 3 ,即 an ? 2 2 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 an ?

3n ? 1 1 2 1 ,∴ ? n ? n?1 (n ? N*) 2 an 3 ? 1 3

P E A

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 [1 ? ( 1 ) n ] ? 3 ∴ ? ? ??? ? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ? 1 a1 a2 an 3 3 3 2 3 2 1? 3
1 1 1 3 故: ? ? ??? ? ? a1 a2 an 2

D

(18)解析: (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OE .

B

C

∵底面 ABCD 为矩形,∴点 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,∴ OE

PB

理科数学试题 第 7 页 (共 9 页)

∵ OE ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,∴ PB

平面 AEC

(Ⅱ)以 A 为原点,直线 AB 、 AD 、 AP 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB ? a ,则 D(0, 3,0) , A(0, 0, 0) , E (0,
3 1 , ) , C(a, 3,0) , 2 2

∴ AE ? (0,

3 1 , ) , AC ? (a, 3,0) ,设 n ? ( x, y, z) 是平面 AEC 的法向量, 2 2

a ? ? 3 1 x y? z ?0 ? n ? AE ? ?y ? ? 3 , 则? , 解之:? 令 x ? 3, 得n ?( 3 , ?a , ? 3 )a 2 2 ? n ? AC ? ax ? 3 y ? 0 ?z ? ? 3y ? ?

又∵ AB ? (a,0,0) 是平面 AED 的一个法向量, ∴ cos ? AB, n ? ?
3 1 ? cos 60 ? ,解之 a ? 2 2 a ? 3 ? 4a

3a

2

1 1 1 1 1 3 1 3 ∴ VE ? ACD ? ? ? | AD | ? | CD | ? | AP |? ? ? 3 ? ? ? 3 2 2 3 2 2 2 8

(19)解析: (Ⅰ)由题意得: t ? 4 , y ? ∴b ?

2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 ? 4.3 7

(?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ?1.6 ? 0.5 (?3)2 ? (?2)2 ? (?1) 2 ? 02 ? 12 ? 22 ? 32

∴ a ? y ? bt ? 4.3 ? 0.5? 4 ? 2.3 故:所求线性回归方程为: y ? 0.5t ? 2.3 (Ⅱ)由(Ⅰ)中的回归方程的斜率 k ? 0.5 ? 0 可知,2007 年至 2013 年该地区农 村居民家庭人均纯收入逐渐增加. 令 t ? 9 得: y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 , 故:预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元。 3 b2 (20)解析: (Ⅰ)由题意得: F1 (?c,0) , M (c, ) ,∵ MN 的斜率为 4 a b2 c 1 3 ∴ a ? ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,解之: e ? ? 或 ?2 (舍) a 2 2c 4 3 1 故:直线 MN 的斜率为 时, C 的离心率为 4 2 (Ⅱ)由题意知:点 M 在第一象限, F1 (?c,0) , M (c,
b2 ) ,∴直线 MN 的斜率为: a

理科数学试题 第 8 页 (共 9 页)

b2 b2 x?2; ,则 MN : y ? 2ac 2ac

∵ F1 (?c,0) 在直线 MN 上,∴ 0 ?

b2 ? (?c) ? 2 ,得 b2 ? 4a ??① 2ac b2 c b2 ) ,∴ F1 N ? (? , ? ) a 2 4a

∵ MN ? 5 F1N ,∴ MF1 ? 4 F1N ,且 MF1 ? (?2c, ?
2 2

b4 9c 2 2 3c b 3c b ∴ N (? , ? ) ,又∵ N (? , ? ) 在椭圆 C 上,∴ 42 ? 16a ? 1 ??② 2 2 4a 2 4a a b
联立①、②解得: a ? 7 , b ? 2 7
1 (21)解析: (Ⅰ)∵ f '( x) ? e x ? x ? 2 ? 0 ,∴ f ( x) 在 R 上单调递增. e 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题给分。 做答时请写清题号。

(23)解析: (Ⅰ)设点 M ( x, y) 是曲线 C 上任意一点, ∵ ? ? 2cos? ,∴ x2 ? y 2 ? 2 x ,即: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1

? x ? 1 ? cos ? ∴ C 的参数方程为 ? , ? 为参数. ? y ? sin ?
(Ⅱ)设点 D(1 ? cos ? ,sin ? ) ,∵ C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直

1 1 ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? 3 2 2 ? ? ∴ ,又∵ sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,解之: ? 或? ?? cos ? 3 ?cos ? ? ? 3 ?cos ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2
∴点 D 的坐标为: (1 ?
3 1 3 1 , ) 或 (1 ? ,? ) 2 2 2 2
1 1 1 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a) |?| ? a | ,且 a ? 0 a a a

(24)解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ? ∴ f ( x) ?

1 ? a ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时,取“ ? ” 故: f ( x) ? 2 a 1 1 1 (Ⅱ)∵ f (3) ? 5 ,∴ f (3) ?| 3 ? | ? | 3 ? a |?| ? 3 | ? | a ? 3 |? 5 即: ? 3? | a ? 3 |? 5 a a a

?a ? 3 ?0 ? a ? 3 ? ? ∴ ?1 或 ?1 ?3? a ?3 ? 5 ? ?3?3? a ? 5 ? ?a ?a

解之:

?1 ? 5 5 ? 21 ?a? 2 2

理科数学试题 第 9 页 (共 9 页)


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