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2015-2016学年广东省汕尾市高二(下)期末数学试卷(文科) 解析版


2015-2016 学年广东省汕尾市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知 U=R,M={x|x ﹣x>0},则?UM=( ) A. (﹣∞,0)∪(1,+∞) B. (﹣∞,0]∪[1,+∞) C. (0,1) D.[0,1] 2. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知 i 是虚数单位,则(1+i) (﹣2﹣i)=( ) A.﹣3+i B.﹣1+3i C.﹣3﹣i D.﹣1﹣3i x 3. (5 分) (2016 春?汕尾期末)在下列区间中,函数 f(x)=e +x﹣3 的零点所在的区间为 ( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 4. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知 sin( A.﹣ B. C. D.﹣ ﹣x)= ,则 cos(π﹣x)=( )

5. (5 分) (2016 春?汕尾期末)设变量 x,y 满足约束条件:

,z=x+2y 的最大值

为( A.3

) B.4

C.﹣6 D.﹣5
3

6. (5 分) (2016 春?汕尾期末)若 x∈R,则“x=﹣1”是“x =﹣1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件



7. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知向量 =(1,x) , =(2,2) ,若 ∥ ,则( + )? = ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 8. (5 分) (2016 春?汕尾期末)某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(



A.7

B.7

C.7

D.7
2 2

9. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知圆 C:x +y ﹣2x﹣3=0,直线 l:ax+y+1=0,那么它们 的位置关系( ) A.圆与直线相切 B.圆与直线相交
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C.圆与直线相离 D.以上三种均有可能 10. (5 分) (2016 春?汕尾期末)运行如图程序,输出结果 S 为(



A.﹣1 B.0

C.1

D.

11. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点为 F1,

F2,过右焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△F1AB 为等边三角形, 则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2
n

12. (5 分) (2016 春?汕尾期末)函数 f(x)=x lnx 部分图象如图所示,则 n 可能是(



A.1

B.2

C.3

D.4

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) (2016 春?汕尾期末)某学校有男老师 48 人,女老师 36 人.若用分层抽样的方 法从该校的老师中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男老师人数为 . 14. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知数列{an}是等差数列,且 a1+a5+a9=21,则 a4+a6= . 15. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知三棱锥 S﹣ABC 各顶点都在球 O 的球面上,若 SA=SB=SC=1,且 SA、SB、SC 两两垂直,则球 O 的表面积为 .

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16. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知向量 =(1,2) , =(2,﹣1) , =x +y ,若随机 取一个实数对(x,y) ,满足 x>0,y>0 且 x+y=2,使得| |≤ 的概率为 .

三.解答题:6 题 70 分,17 题 10 分,18-22 题各 12 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 17. (10 分) (2016 春?汕尾期末)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=3 ﹣3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=lgan,设 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. 18. (12 分) (2016 春?汕尾期末)设锐角△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, c,且有 2asinB﹣ ?b=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=4,求△ABC 面积的最大值. 19. (12 分) (2016 春?汕尾期末)在一次解题比赛中,甲、乙两组各四名同学答对题目数如 茎叶图.
n+1

(1)当 X=8,求乙组同学答对题目数的平均数和方差; (2)当 X=9,用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学,记事件 A 为这两名同学答 对题目数一样多,求事件 A 的概率. (注:方差 s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ],其中 为 x1,x2,…,xn 的平 均数) 20. (12 分) (2016 春?汕尾期末)如图所示,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,PA⊥平面 ABC,点 E 为线段 PB 的中点. (1)求证:OE∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB.
2 2 2 2

21. (12 分) (2016 春?汕尾期末)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P(x0,4) 是 C 上一点,且|PF|=4. (1)求点 P 的坐标和抛物线 C 的方程.
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2

(2)抛物线 C 上异于点 P 的两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,若直线 PA 与直线 PB 的倾斜 角互补,求证直线 AB 的斜率 kAB 的值等于﹣1. 3 2 2 22. (12 分) (2016 春?汕尾期末)设函数 f(x)=﹣x +6ax ﹣9a x+3,0<a<1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)记函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,若 x∈[1﹣a,1+a]时,恒有|f′(x)|≤3a 成立,求 实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年广东省汕尾市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知 U=R,M={x|x ﹣x>0},则?UM=( ) A. (﹣∞,0)∪(1,+∞) B. (﹣∞,0]∪[1,+∞) C. (0,1) D.[0,1] 【分析】求出 M 中不等式的解集确定出 M,根据全集 U=R,求出 M 的补集即可. 【解答】解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣1)>0, 解得:x<0 或 x>1,即 M=(﹣∞,0)∪(1,+∞) , ∵U=R, ∴?UM=[0,1], 故选:D. 【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知 i 是虚数单位,则(1+i) (﹣2﹣i)=( A.﹣3+i B.﹣1+3i C.﹣3﹣i D.﹣1﹣3i 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【解答】解: (1+i) (﹣2﹣i)=﹣1﹣3i, 故选:D. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.
x



3. (5 分) (2016 春?汕尾期末)在下列区间中,函数 f(x)=e +x﹣3 的零点所在的区间为 ( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【分析】由函数的解析式求得 f(0)f(1)<0,再根据根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)=e +x﹣3 的零点所在的区间. x 【解答】解:∵函数 f(x)=e +x﹣3 在 R 上单调递增, ∴f(0)=1+0﹣3=﹣2<0,f(1)=e+1﹣3=e﹣2>0, ∴f(0)f(1)<0. x 根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)=e +x﹣3 的零点所在的区间是(0,1) , 故选:A. 【点评】本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基础题.
x

4. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知 sin( A.﹣ B. C. D.﹣

﹣x)=

,则 cos(π﹣x)=(



【分析】利用诱导公式即可化简求值得解.

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【解答】解:∵sin( ∴﹣cosx= ,

﹣x)=



∴cos(π﹣x)=﹣cosx=



故选:B. 【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基 础题.

5. (5 分) (2016 春?汕尾期末)设变量 x,y 满足约束条件:

,z=x+2y 的最大值

为( ) A.3 B.4 C.﹣6 D.﹣5 【分析】 作出不等式对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 求目标函数的最大值即可. 【解答】解:约束条件满足的可行域如图: 当目标函数经过图中 B 时使得 z 最大; 由 得到 B(1,1) ,

所以 z 最大值为 1+2×1=3; 故选:A.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 6. (5 分) (2016 春?汕尾期末)若 x∈R,则“x=﹣1”是“x =﹣1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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3



C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】解方程“x =﹣1”,求出 x 的值,结合充分必要条件的定义判断即可. 3 【解答】解:因为 x =﹣1,解得 x=﹣1, 由集合的相等关系, 3 我们不难得到“x=﹣1”是“x =﹣1”的充要条件, 故选:C. 【点评】判断充要条件的方法是:①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不 充分条件;③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p ? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系.
3

7. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知向量 =(1,x) , =(2,2) ,若 ∥ ,则( + )? = ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】利用向量共线定理和数量积的运算即可得出. 【解答】解:∵向量 =(1,x) , =(2,2) , ∥ , ∴1×2=2x, 解得 x=1, ∴ + =(3,3) , ∴( + )? =1×3+1×3=6, 故选:C 【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算,属于基础题. 8. (5 分) (2016 春?汕尾期末)某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

A.7

B.7

C.7

D.7

【分析】由三视图可知:该几何体是由正方体截去一个小三棱锥. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是由正方体截去一个小三棱锥.

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∴该几何体的体积=2 ﹣ =7 . 故选:D.

3

【点评】本题考查了三视图的有关计算、正方体与三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题. 9. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知圆 C:x +y ﹣2x﹣3=0,直线 l:ax+y+1=0,那么它们 的位置关系( ) A.圆与直线相切 B.圆与直线相交 C.圆与直线相离 D.以上三种均有可能 【分析】 法一: 求出圆心 C 到直线 l: ax+y+1=0 的距离 d= , 利用|a+b|≤
2 2

即即可判断出结论. 法二:由于直线 l:ax+y+1=0 经过定点(0,﹣1)在圆内,即可判断出位置关系. 【解答】解法一:圆 C:x +y ﹣2x﹣3=0,配方为: (x﹣1) +y =4,可得圆心 C(1,0) , 半径 r=2. 圆心 C 到直线 l:ax+y+1=0 的距离 d= ≤ <2=r,当且仅当 a=1 时取等号.
2 2 2 2

(利用|a+b|≤

即可判断出结论) .

∴它们的位置关系是相交. 法二:由于直线 l:ax+y+1=0 经过定点(0,﹣1)在圆内,因此直线与圆相交. 故选:B. 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 10. (5 分) (2016 春?汕尾期末)运行如图程序,输出结果 S 为( )

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A.﹣1 B.0

C.1

D.

【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,k,S 的值,当 k=2017 时满足条 件 k>2016,退出循环,输出 S 的值为 1,从而得解. 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=1,k=1,S=1 不满足条件 k>2016,执行循环体,k=2,n=2,S=0 不满足条件 k>2016,执行循环体,k=3,n=3,S=﹣1 不满足条件 k>2016,执行循环体,k=4,n=4,S=0 不满足条件 k>2016,执行循环体,k=5,n=5,S=1 … 观察规律可知 S 的取值周期为 4,由于 2016=4×504,可得 不满足条件 k>2016,执行循环体,k=2016,n=2016,S=0 不满足条件 k>2016,执行循环体,k=2017,n=2017,S=1 满足条件 k>2016,退出循环,输出 S 的值为 1. 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序应用问题,解题时应模拟程序的运行过程,从而得 出输出的结果,属于基础题.

11. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点为 F1,

F2,过右焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△F1AB 为等边三角形, 则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2

【分析】联立方程求出 A,B 的坐标,结合△F1AB 为等边三角形,建立方程关系,进行求 解即可. 【解答】解:当 x=c 时, ﹣ =1,得 = ﹣1= = ,

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则y =

2

,则 y=±



则 A(c,

) ,B(c,﹣

) ,F1(﹣c,0) ,

∵△F1AB 为等边三角形, ∴∠AF1F2=30°即可, 则 tan∠AF1F2=tan30°= 则 c ﹣a = 即c ﹣ 则e ﹣ 得 e= , 故选:B
2 2 2 2

=

=

,即 b =

2

ac,

ac, ac﹣a =0, e﹣1=0,
2

【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据条件求出交点坐标,结合三角形的边角公 式是解决本题的关键. 12. (5 分) (2016 春?汕尾期末)函数 f(x)=x lnx 部分图象如图所示,则 n 可能是(
n



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A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】求导数,确定极值点,即可得出结论. 【解答】解:∵f(x)=x lnx, ∴f′(x)=x
n﹣1 n

(nlnx+1)=0,可得 x=



根据图象,n=1 时,x= 是极值点,满足题意, ∴n=1. 故选:A. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查数形结合的数学思想,正确求导是关键. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) (2016 春?汕尾期末)某学校有男老师 48 人,女老师 36 人.若用分层抽样的方 法从该校的老师中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男老师人数为 :12 . 【分析】先求出每个个体被抽到的概率,再用此概率乘以男老师的人数,即得所求. 【解答】解:每个个体被抽到的概率等于 = ,抽取男老师的人数为 48× =12,

故答案为:12. 【点评】 本题主要考查分层抽样的定义和方法, 用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率 等于该层应抽取的个体数,属于基础题. 14. (5 分) (2016 春?汕尾期末) 已知数列{an}是等差数列, 且 a1+a5+a9=21, 则 a4+a6= 14 . 【分析】直接由已知 a1+a5+a9=21,结合等差数列的性质求解答案. 【解答】解:∵数列{an}是等差数列, ∴a1+a9=a4+a6=2a5, 又 a1+a5+a9=21, ∴a5=7 ∴a4+a6=2a5=2×7=14 故答案为:14. 【点评】本题考查了等差数列的性质,在等差数列中,若 m+n=p+q=2k,且 m,n,p,q,k ∈N ,则 am+an=ap+aq=2ak,是基础题. 15. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知三棱锥 S﹣ABC 各顶点都在球 O 的球面上,若 SA=SB=SC=1,且 SA、SB、SC 两两垂直,则球 O 的表面积为 3π . 【分析】由题意一个三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,可知,三棱 锥是正方体的一个角,扩展为正方体,两者的外接球相同,正方体的对角线就是球的直径, 求出直径即可求出球的表面积. 【解答】解:三棱锥 S﹣ABC 中,共顶点 S 的三条棱两两相互垂直,且其长均为 1, 三棱锥的四个顶点同在一个球面上,三棱锥是正方体的一个角,扩展为正方体, 三棱锥的外接球与正方体的外接球相同,正方体的对角线就是球的直径, 所以球的直径为: ,半径为
2 *

, ) =3π.
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外接球的表面积为:4π×(

故答案为:3π. 【点评】本题是基础题,考查四面体的外接球的表面积,本题的突破口在三棱锥是正方体的 一个角,扩展为正方体与三棱锥有相同的外接球.

16. (5 分) (2016 春?汕尾期末)已知向量 =(1,2) , =(2,﹣1) , =x +y ,若随机 取一个实数对(x,y) ,满足 x>0,y>0 且 x+y=2,使得| |≤
2 2

的概率为



【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积和向量的模得到 x +y ≤3,再求出 AB,CD 的长度,根据几何概率公式计算即可. 【解答】解:∵向量 =(1,2) , =(2,﹣1) , =x +y , ∴| | =|x +y | =|x | +|y | +2xy ∴x +y ≤3, 对于 x+y=2, 当 x=0 时,y=2,当 y=0 时,x=2, ∴AB=2 , 由 ,
2 2 2 2 2 2

=5x +5y ≤15,

2

2

解得





∴CD=

=2, 的概率为 =

∴满足 x>0,y>0 且 x+y=2,使得| |≤ 故答案为:

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【点评】 本题借助向量的数量积和向量的模以及圆和直线的位置关系点与点的距离考查了几 何概型概率,属于中档题. 三.解答题:6 题 70 分,17 题 10 分,18-22 题各 12 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. n+1 17. (10 分) (2016 春?汕尾期末)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=3 ﹣3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=lgan,设 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. 【分析】 (1)根据 an=Sn﹣Sn﹣1 进而求得 n≥2 时数列的通项公式,进而利用 a1=S1 求得 a1, 最后综合可求得 an. n (2)求出 bn=lgan=lg3 =nlg3,根据等差数列的求和公式计算即可. n+1 【解答】解: (1)∵2Sn=3 ﹣3, n+1 n n ∴当 n≥2 时,2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=3 ﹣3﹣(3 ﹣3)=2×3 ; n ∴an=3 , 2 当 n=1 时,2a1=2S1=3 ﹣3=6, ∴a1=3,满足上式, n ∴an=3 , n (2)∵bn=lgan=lg3 =nlg3, ∴Tn=lg3(1+2+3+…+n)= .

【点评】本题主要考查了数列的通项公式,当 n≥2 时利用 an=Sn﹣Sn﹣1 进行求解,以及对 数的运算性质和等差数列的前 n 项和公式,属于中档题. 18. (12 分) (2016 春?汕尾期末)设锐角△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, c,且有 2asinB﹣ ?b=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=4,求△ABC 面积的最大值. 【分析】 (1) 已知等式利用正弦定理化简, 根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值, 再由 A 为锐角, 利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. (2)因为 b+c=4,利用基本不等式,可求得 bc≤4,从而可求△ABC 的面积的最大值. 【解答】 (本题满分为 14 分) 解: (1)利用正弦定理化简已知等式得:2sinAsinB= sinB, ∵sinB≠0, ∴sinA= ,

∵A 为锐角, ∴A=60°. …(7 分) (2)由基本不等式得,∵b+c=4≥2 ∴bc≤4,…(10 分) ∴S△ABC= bcsinA≤ ×4× =

, (当且仅当 b=c=2,不等式等号成立) .



∴△ABC 的面积的最大值为 . …(14 分) 【点评】本题的考点是解三角形,主要考查正弦定理的应用,考查三角形的面积公式,基本 不等式的运用,知识点多,计算需要细心,属于基础题.
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19. (12 分) (2016 春?汕尾期末)在一次解题比赛中,甲、乙两组各四名同学答对题目数如 茎叶图.

(1)当 X=8,求乙组同学答对题目数的平均数和方差; (2)当 X=9,用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学,记事件 A 为这两名同学答 对题目数一样多,求事件 A 的概率. (注:方差 s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ],其中 为 x1,x2,…,xn 的平 均数) 【分析】 (1)当 X=8 时,先求出乙组同学答对题目数的平均数,再计算方差. (2)当 X=9 时,甲组四名同学答对题目数为 9,9,11,11,乙组四名同学答对题目数为 9, 8,9,10,先求出基本事件总数,再求出事件 A 包含的基本事件个数,由此能求出事件 A 的概率. 【解答】解: (1)当 X=8 时,乙组同学答对题目数的平均数: = (8+8+9+10)= 方差 S =[(8﹣
2 2 2 2 2 2

, ) +(9﹣
2

) +](8﹣

) +(10﹣

2

) ]=

2



(2)当 X=9 时,甲组四名同学答对题目数为 9,9,11,11, 乙组四名同学答对题目数为 9,8,9,10, 用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学, 基本事件总数 n=4×4=16, 事件 A 为这两名同学答对题目数一样多,则事件 A 包含的基本事件个数 m=2×2=4, ∴事件 A 的概率 p= .

【点评】本题考查平均数和方差的求法,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题, 注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 20. (12 分) (2016 春?汕尾期末)如图所示,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,PA⊥平面 ABC,点 E 为线段 PB 的中点. (1)求证:OE∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB.

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【分析】 (1)由中位线定理得出 OE∥PA,故而 OE∥平面 PAC; (2)又 PA⊥平面 ABC 得出 PA⊥BC,又 AC⊥BC 得出 BC⊥平面 PAC,从而有平面 PAC ⊥平面 PBC.' 【解答】证明: (1)∵O 是 AB 的中点,E 是 PB 的中点, ∴OE∥PA, 又 OE?平面 PAC,PA? 平面 PAC, ∴OE∥平面 PAC. (2)∵PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∵AB 是⊙O 的直径,∴AC⊥BC. 又 PA? PAC,AC? 平面 PAC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, 又 BC? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. 【点评】本题考查了线面平行,面面垂直的判定,属于基础题. 21. (12 分) (2016 春?汕尾期末)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P(x0,4) 是 C 上一点,且|PF|=4. (1)求点 P 的坐标和抛物线 C 的方程. (2)抛物线 C 上异于点 P 的两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,若直线 PA 与直线 PB 的倾斜 角互补,求证直线 AB 的斜率 kAB 的值等于﹣1. 【分析】 (1)设点 P(x0,4) ,由已知条件得 x0+ =4,4 =2px0,由此能求出抛物线的方程 为 y =8x. (2)设出直线 PA,PB 的斜率,把 A,P 点代入抛物线的方程相减后,表示出两直线的斜 率,利用其倾斜角互补推断出 y1+y2=﹣2y0,同样把把 A,B 点代入抛物线的方程相减后, 表示出 AB 的斜率,将 y1+y2=﹣2y0 代入求得结果为非零常数. 【解答】 (1)解:∵点 P(x0,4)是 C 上一点,|PF|=4, ∴由抛物线的定义得 x0+ =4. 又∵4 =2px0,二式联立解得 x0=2,p=4. 2 故此抛物线的方程为 y =8x; (2)证明:设直线 AB 的斜率为 kAB 设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB
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2 2 2 2

由 y1 =8x1,y0 =8x0 相减得(y1﹣y0) (y1+y0)=2p(x1﹣x0) 故 kPA= (x1≠x0)

2

2

同理可得 kPB=

(x2≠x0)

由 PA,PB 倾斜角互补知 kPA=﹣kPB 即 =﹣

所以 y1+y2=﹣2y0 2 2 由 y2 =8x2,y1 =8x1 相减得(y2﹣y1) (y2+y1)=8(x2﹣x1) 所以 kAB= (x1≠x2)

将 y1+y2=﹣2y0(y0>0)代入得 kAB=﹣1,所以直线 AB 的斜率 kAB 的值等于﹣1. 【点评】 本题考查抛物线方程的求法, 考查直线的斜率、 直线与圆锥曲线的综合问题等基础, 考查运算求解能力,考查数形结合思想与转化思想.属于中档题. 22. (12 分) (2016 春?汕尾期末)设函数 f(x)=﹣x +6ax ﹣9a x+3,0<a<1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)记函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,若 x∈[1﹣a,1+a]时,恒有|f′(x)|≤3a 成立,求 实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)对函数求导,结合 f′(x)>0,f′(x)<0,f′(x)=0 可求解 (2) 由题意可得﹣a≤﹣x +4ax﹣3a ≤a 在[1﹣a, 1+a]恒成立, 结合二次函数的对称轴 x=2a 与区间[1﹣a,1+a]与的位置分类讨论进行求解. 2 2 【解答】解: (1)f′(x)=﹣3x +12ax﹣9a ,且 0<a<1, 当 f′(x)>0 时,得 a<x<3a; 当 f′(x)<0 时,得 x<a 或 x>3a; ∴f(x)的单调递增区间为(a,3a) ; f(x)的单调递减区间为(﹣∞,a)和(3a,+∞) . 2 2 2 2 (2)f′(x)=﹣3x +12ax﹣9a =3[﹣(x﹣2a) +a ], 2 2 令 g(x)=﹣(x﹣2a) +a , ①当 2a≤1﹣a 时,即 0<a≤ 时,f′(x)在区间[1﹣a,1+a]内单调递减. ∴[g(x)]max=g(1﹣a)=﹣24a +18a﹣3,[g(x)]min=f′(1+a)=6a﹣3. ∵|f′(x)|≤3a, ∴﹣a≤g(x)≤a, ∴ ,
2 2 2 3 2 2

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∴a≥ , 此时,a= . ②当 2a>1﹣a,且 2a<a+1 时,即 <a<1,[g(x)]max=g(2a)=a . ∵﹣a≤g(x)≤a,
2









∴ ≤a≤ 此时, <a≤

. ,

③当 2a≥1+a 时,得 a≥1 与已知 0<a<1 矛盾, 综上所述,实数 a 的取值范围为[ , ].

【点评】本题综合考查了函数的导数的运用及二次函数在闭区间上的最值问题, (2)的求解 的关键是要对二次函数的对称轴相对区间的位置分类讨论, 体现了分类讨论的思想在解题中 的应用.

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