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双曲线的简单几何性质教案


2.3.2 双曲线的几何性质(第一课时)
授 课 人:肖朝欣 授课时间:2010 年 12 月 8 日 第十五周 星期三第 7 节 授课地点:高二 5 班 一、 教学目标 1. 知识与技能 (1)理解并掌握双曲线的简单几何性质; (2)利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。 2. 过程与方法 (1)通过类比椭圆的几何性质,得到双曲线的几何性质; (2)通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。 3. 情感、态度与价值观 (1)培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力; (2)培养学生的方法归纳能力和应用意识。 二、 教学重难点 1、教学重点:双曲线的几何性质 2、教学难点:应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题 三、 教学过程 结合双曲线图像以及几何画板动画,学习双曲线 的相关几何性质。 1. 取值范围 (1) 焦点在 x 轴上: x ? a 或 x ? ? a , y ? R (2) 焦点在 y 轴上: y ? a 或 y ? ? a , x ? R

2. 对称性——既是轴对称图形,又是中心对称图形 3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点,即 A 1, A 2 (以图为例) (1) 实轴——线段 A1 A2 。 A 1A 2 ? 2a, a 为半实轴长; (2) 虚轴——记 B1 (0, ?b), B2 (0, b) ,则线段 B1B2 为虚轴。 B1B2 ? 2b, b 为半虚轴长。 (3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。 一般可设为: x ? y ? m,(m ? 0)
2 2

4. 离心率: e ?

c a (1) 范围: e ? 1 ;
(2) 变化规律:e 越大,双曲线开口越大;e 越小,双曲线开口越小.

5. 渐近线 (1) 若

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则渐近线为: y ? ? x , 2 a a b

a y2 x2 (2) 若 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则渐近线为: y ? ? x , b a b
(3) 一般求法:令双曲线方程等于 0,即

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 0 ? ? 0) (或 a 2 b2 a 2 b2

(4) 渐近线相同的双曲线可设为:

x2 y 2 ? ? ? (? ? 0) a 2 b2

题型一:求双曲线的标准方程 例 求满足下列条件的双曲线标准方程 (1) 顶点在 x 轴上,两定点间的距离为 8, e ? (2) 焦点在 y 轴上,焦距为 16, e ?

5 ; 4

4 ; 3

(3) 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线; 8 5

(4) 过点 A(3, ?1) 的等轴双曲线.

题型二:有关渐近线的计算 例 1 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 例2

3 x ,求双曲线的离心率为. 4

若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点为

?

10, 0 ,求双曲线的方程.

?

例3

求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 ?3, 4 2 的双曲线方程. 9 16
《导报》第 8 课时

?

?

作业:P61 A 组


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