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人教A版高中数学必修五 2-5等比数列的前n项和 教案 精品

2.5 等比数列的前 n 项和 一、教学目标: 知识与技能目标:理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程,掌握公式的特 点,并在此基础上能初步应用公式. 过程与方法目标: 在推导公式的过程中渗透数学思想、方法,优化学生思维品质. 情感、态度与价值目标:通过学生自主探索公式,激发他们的求知欲,体验错位相减法 所折射出的数学方法美. 二、教学重点、难点 重点:等比数列的前 n 项和公式的推导和公式的简单应用. 难点:错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用 三、教学模式与教法、学法 教学模式 :本课采用“探究——发现”教学模式. 教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法的引导. “抓三线”,即(一)知识技能线(二)过程与方法线(三)能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点. 学法:突出探究、发现与交流. 四、教学过程分析 (一)教学环节 创设情景 提出问题 (4 分钟) 类比探索 形成公式 (20 分钟) 公式应用 培养能力 (11 分钟) . 解决问题 前呼后应 (2 分钟) 归纳总结 加深理解 (3 分钟) 延伸拓展 发散思维 (5 分钟) 下面,我就重点介绍一下我的教学过程 五、教学过程 教学环节 教学内容 一、温故知新,提出问题 问题 1.课 本 “国王对国际象棋的发明者 的奖励” 分析问题;如果把各格所放的麦粒数 看成是一个数列,我们可以得到一个等 比数列,它的首项是 1,公比是 2,求 第一个格子到第 64 个格子各格所放的 麦粒数总合就是求这个等比数列的前 师生活动 设计意图 复习旧知 识,引入新 知 由 复 习 引 1、创设学习情境。 2、激发学生学习的兴趣。 入, 通过数学知 识的内部发现 问题。 64 项的和。 下面我们先来推导等比数列 的前 n 项和公式。 二、知识探究: 探究 1:如何求和: 引导学生回忆:等差数列 公式的推导方法一: 求和的重要方法是倒序相加 一般地,设等比数列 法,剖析倒序相加法的本质即 整体设元,构造等式,利用方 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是 程的思想化繁为简,把不易求 和的问题转化为易于求和的问 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an 题. 从而得出求和的实质是减 少了项.同时又引导学生思考现 ?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n 由? 在用这种方法还行吗?若不 n ?1 ?a n ? a1 q 行,那该怎样简化运算?能否 得 类比倒序相加的本质,根据等 2 n?2 n比数列项之间的特点,也构造 ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 一个式子,通过两式运算来解 ? 2 3 n ?1 n ? 1q ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a决问题? 从而引发学生的思 考、讨论.这就是学生在讨论这 ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n 个问题的一个片段。 ∴ 当 q ? 1 时 , Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 258 ? 259 归纳抽象 形成概念 培养学生分 析,抽象能力、 感受等比数列 发现和推导过 程。 a1 (1 ? q n ) 1? q ① 或 Sn ? a1 ? a n q 1? q ② 当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义, 比较分析, 深化认识 设计的意图:等比数列 前 n 项和的公式推导关键是 变“加”为“减”, 在教师看来 这是“天经地义”的, 但在学 生看来却是“不可思议”的, 因此教学中应着力在这儿 下功夫,让学生经过思考 讨论、教师引导类比倒序 相加求和,运用数学中重 要的转化思想,通过构造 法发现上述解法. a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 根据等比的性质,有 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an 即 S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q S n ? an (结论同上) 围绕基本概念,从等比数列的定义出 发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an ) 在探究一的基础上,我再顺势 引导学生将问题一般化,类比 联想解决问题. 教师和学生一起分析式子的结 构 特 征 并 强 调 q ? 1时 该 求 和 培养学生善于 公式中有 5 个量,知 3 求 2 的 方程思想. 联想, 体会知识 间的内在联系, 从而加深对等 设计的意图是:营造一个让学 生主动观察、思考、讨论的氛 围.在教师的指导下,一方面让 学生经历从特殊到一般,从已 知到未知,步步深入的过程, 让学生自己探究公式,从而体 验到学习的愉快和成就感.另 一方面学生的错误教师不忙指 出,让学生体验:自己推导出 公式(不完整) ── 公式应用 ── 差数列及其性 质的理解。 ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ? a1 (1 ? q n ) ① 1? q ② a ? an q 或 Sn ? 1 1? q 当 q=1 时, S n ? na1 思考:什么时候 用公式(1) 、什么时候 用公式(2)? (当已知 a1, q, n 时用公式①;当已 知 a1, q, an 时,用公式②.) 解决问题;有了等比数列的前 n 项和公 式,就可以解决刚才的问题。 由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得 Sn ? a1 (1 ?