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2.3双曲线 教学设计 教案


教学准备
1. 教学目标
1 知识与技能 [1] 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。 [2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准 方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。 [3] 进一步感受曲线方程的概念,了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术 探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。 2 过程与方法 [1]提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 [2]通过定义及标准方程的挖掘与探究 ,使学生进一步体验类比及数形结合等思想方 法的运用. [3]培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。 3 情感态度与价值观 [1]亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程,感受数学美的熏陶。 [2]通过主动探索,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的理性和严 谨。 [3]养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极 探究的学习过程,激发学生学习数学的自信心和积极性,培养学生良好的思维习惯,培养 学生分析、解决问题的能力。

2.

教学重点/难点
重点:通过类比、提出猜想进而操作确认,获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方

程。 难点:[1]双曲线的标准方程的推导。 [2]综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。

3.

教学用具
多媒体、木板、拉链等

4.

标签 教学过程

教学过程设计

1 旧知回顾、引入新课 【师】同学们好。从今天我们开始进入新一节内容的学习:双曲线及其标准方 程。 【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程 【师】请同学们回忆一下前几节课的知识? 【板书】 椭圆的定义? 椭圆的标准方程? 椭圆的简单几何性质? 椭圆知识的考查方式? 【生】椭圆的定义是:平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于Ⅰ F1F2Ⅰ)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).其中这两个定点叫做椭圆的焦点, 两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为 m 时,椭圆即为点 集 。

【生】椭圆的标准方程有两个(分焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种情况):

【生】椭圆的简单几何性质有范围、对称性、顶点、焦点坐标、离心率等内容。 【生】椭圆知识的考查方式有两种方式:给方程题和求方程题。常见延伸问题 有焦点弦、焦点半径、焦点三角形、直线与曲线的交点、直线与圆锥曲线相交 的弦长公式、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

给方程题:较大分母是 a2,较小分母是 b2,焦点所在轴与含 a2 项所在的分子所 含字母相同,可求出半焦距 c,继而依次写出顶点、焦点坐标、离心率等。 求方程题:根据待定系数法就是确定 a2 与 b2 和焦点所在轴。 【师】下面我们研究一种我们初中曾经学过的“新”的曲线。(反比例函数的 图像就是双曲线,但是坐标系建立方式不同,方程形式也不同) 【师】考虑以下问题,思考后作答: 问题:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”,那么点的轨迹是 怎样的曲线?即“平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差等于非零常数的点的轨 迹”是什么? 阅读教材 P52~55,回答下列问题:双曲线的定义、图形、标准方程、应用。 【生】小组合作,思考、交流,得出结论。 (1)小组合作 [1]取一条拉链;[2]如图把它固定在板上的两点 F1、F2;[3] 拉动拉链(M)。 思考:拉链运动的轨迹是什么?

观察 AB 两图探究双曲线的定义 ①如图(A),|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得:| |MF1|-|MF2| | = 2a 上面两条曲线合起来叫做双曲线。 【师】根据以上分析,试给双曲线下一个完整的定义? 【生】

文字描述:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值 等于非零常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。 两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点。 两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距。 符号描述:| |MF1|-|MF2| | = 2a(2a<2c)。 图形:

【师】请同学们利用搜集的知识说一说双曲线的历史起源和现实应用。 【生】我说双曲线的历史起源: 2000 多年前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,并获得了大量的成果。古 希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥 轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面倾斜到 “和且仅和”圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;用平行圆锥的轴的平面截 取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1] 。阿波 罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲 线”。事实上,阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学 中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 【生】我说双曲线的现实应用: 双曲线在实际中的应用有通风塔,冷却塔,埃菲尔铁塔,广州塔等。 【师】初中学过的反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线,叫做等轴双曲线, 以其渐近线为坐标系建立方程,得到的函数解析式就是 在教师的启发下,师生共同完成几种特殊情形的探究。 。

【师】再考虑以下问题,思考后作答: (1)|MF1|-|MF2|=2a 表示双曲线的哪一支? 【生】右支。 【师】(2)|MF2|-|MF1|=2a 表示双曲线的哪一支? 【生】左支。 【师】(3)若 2a=2c,则轨迹是什么? 【生】分别以 F1、F2 为端点方向向外的两条射线 F1P、F2Q。 【师】(4)若 2a>2c,则轨迹是什么? 【生】无轨迹。 【师】(5)若 2a=0,则轨迹是什么? 【生】此时|MF1|=|MF2|,轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线。 【师】仿照椭圆建立坐标系的方法,请建立双曲线的方程。 【生】建系设点。设 M(x , y),双曲线的焦距为 2c(c>0),F1(c,0),F2(c,0),常数=2a 双曲线就是集合: P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上, 焦点是 F1(-c,0),F2(c,0),这里 c2=a2+b2。 【师】请同学们尝试将焦点所在轴设为 y 轴,过焦点连线的垂直平分线为 x 轴, 方程会变成怎样?

【生】和椭圆的方程焦点在 y 轴的变化一样,方程中的 x、y 位置互换!方程变 为 。

【师】好,谁来总结一下? 【生】双曲线有两个标准方程: 分别是焦点在 x 轴上时 。 【师】讨论一下 a、b 有没有必然的大小关系? 【生】双曲线中的 a、b 没有必然的大小关系,方程右边为 1 时,左边被减数的 分母是 a2。 2 新知介绍 [1]双曲线及其标准方程 【师】于是,我们可以得到双曲线及其标准方程。 文字描述:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 ︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。 符号描述和图形:(如右图) 和焦点在 y 轴上时

助记:(椭圆到双曲线)“和”变“差”,一字之差,天地大变,从有限变无限, 从看整个到看不全,a、c 大小互换,还好焦点坐标没变、三对称没变。 【师】请将双曲线与椭圆对比记忆。

[2]双曲线非标准方程的标准化 【师】下面我们做一些练习! 求出下列双曲线的 a2、b2,并写出焦点坐标。

【生】(1)a2=16

b2=9,焦点 F(±5,0) b2=16,焦点 F(±5,0)

(2)a2=9 【师】以上答案有问题么?

【生】第二个方程有问题,方程右边不是 1,而是-1. 【师】有什么办法么? 【生】方程两边同时乘以-1 就可以了。 【师】(2)的正确答案变了么? 【生】正确答案是(2)a2=16 b2=9,焦点 F(0,±5)

【师】对于非标准方程,首先要标准化才可以提取相关信息。 非标准方程的陷阱及对应措施:(注意到就不会出错) 1、方程右边不为 1:两边同除以该数使右边为 1(如练习 1、3、5) 2、方程左边不标准。 (1)位置不标准:被减数与减数位置互换,(M—N 型写为-N+M 型) (2)系数不标准:没有分母(分母为 1)或分母为分数形式不恰当整理 【生】(3)、(4)、(5)都是非标准方程,先标准化再提取信息。 (3)两边同时除以-225,得到标准方程 焦点 F(0,± ) ,a2=25, b2=9,

(4)左边分母标准化, 0) (5)两边同时除以 5,得

,a2=1

b2=

,焦点 F(±



,位置和系数标准化,得

[3]双曲线及其标准方程应用 问题:双曲线及其标准方程能解决什么问题? 【生】由双曲线绕其虚轴旋转,可以得到单叶双曲面,它又是一种直纹曲面, 由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交。应 用于通风塔,冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美,功效显著!既轻巧又 坚固。生活中和军事上可以用于定位。 [4]例题处理 【师】下面我们来处理书上的例题。 【生】练习并讨论。

【例 1】已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点 P 到 F1、F2 的 距离的差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为: , ∵ 2a = 6,2c=10,∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.

所以所求双曲线的标准方程为: 【拓展探究】已知两定点 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=6.求 动点 P 的轨迹方程. 解:∵|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=6,∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是 双曲线的右支. ∵两焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),∴设它的标准方程为:

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴动点 P 的轨迹方程为

【师】请大家总结求双曲线方程的基本步骤。 【生】1.求双曲线的标准方程就是确定三项内容:焦点所在轴(方程二选一)、 a2、b2. 2.现实应用中双曲线有可能变为单曲线(一支),通过限制方 程中的 x 的取值范围实现. 【师】补充一点,还有一种可能,焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立, 需分情况讨论。 【例 2】已知 A,B 两地相距 800 m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s,且声 速为 340 m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【分析】首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及 A,B 两处听到爆炸声的时间 差,可知 A,B 两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样,爆炸点在以 A,B 为焦点 的双曲线上.因为爆炸点离 A 处比离 B 处远,所以爆炸点应在靠近 B 处的双曲线 的一支上.

解: 如图所示,建立直角坐标系 xOy,使 A,B 两点在 x 轴上,并且坐标原点 O 与线段 AB 的中点重合.

∴设它的标准方程为: 设爆炸点 P 的坐标为(x,y),则|PA|-|PB|=340x2=680,即 2a=680,a=340.又 |AB|=800,即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000-115600=44400. ∴炮弹爆炸点的轨迹(双曲线的一支)方程为 (注:课本上只是 x>0,本设计更精确) 【应用提升】1.若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线. 2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点在某 条曲线上,但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全,我们最关 心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸点的准确位置呢? 解:再增设一个观测点 C,利用 B,C(或 A,C)两处测得的爆炸声的时间差, 可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点 的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 【例 3】如果方程 解:由 表示双曲线,求 m 的取值范围.

【应用提升】如果方程 值范围.

表示焦点在 y 轴上的双曲线,求 m 的取

由例题,从 m 的取值中选取适合的范围即有

【拓展探究】已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与 圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

解:

【师】引导学生分析条件与结论,认识到解题关键是确认已知条件中的隐藏信 息。 再次强调: 1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容:焦点所在轴(方程二选一)、a2、 b2. 2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立,需分情况讨论。 3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线(一支)注意相应自变量 x 的取值会 发生变化。 【强化练习】 已知 B(-5,0),C(5,0)是三角形 ABC 的两个顶点,且 ,求顶点 A 的轨迹方程。

解:在△ABC 中,|BC|=10,

故顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的左支,又因 c=5,a=3,则 b2=16, 则顶点 A 的轨迹方程为 [5]小结:双曲线及其标准方程 【师】现在我们来总结一下,双曲线及其标准方程。 【板书/PPT】 【双曲线的定义】平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。 (1)当|MF1|-|MF2|=2a 表示双曲线的右支。 (2)|MF2|-|MF1|=2a 表示双曲线的左支。 (3)若 2a=2c,则轨迹是分别以 F1、F2 为端点方向向外的两条射线 F1P、F2Q。 (4)若 2a>2c,则无轨迹。 (5)若 2a=0,则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线。 【双曲线的标准方程】有两个: 分别是焦点在 x 轴上时 。 【考查方式】给方程题与求方程题 给方程题一般涉及方程的标准化: 对于非标准方程,首先要标准化才可以提取相关信息。 非标准方程的陷阱及对应措施:(注意到就不会出错) 1.方程右边不为 1:两边同除以该数使右边为 1(如练习 1、3、5) 2.方程左边不标准。 和焦点在 y 轴上时 。

(1)位置不标准:被减数与减数位置互换,(M—N 型写为-N+M 型) (2)系数不标准:没有分母(分母为 1)或分母为分数形式不恰当整理 求方程题:一般用待定系数法: 3.求双曲线的标准方程就是确定三项内容:焦点所在轴(方程二选一)、a2、 b2. 4.焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立,需分情况讨论。 5.现实应用题中双曲线有可能变为单曲线(一支)注意相应自变量 x 的取值会 发生变化。 【易错点点拨】 1.与椭圆相关知识混淆,误认为一定有 a>b 或仍然用 a2=b2+c2 来求相关值。 2.忽略非标准方程的存在,错误提取相关数据。 3.该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。 4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。 课堂小结(投影,给出知识脉络图) 1. 双曲线的定义 2. 双曲线的标准方程 3. 利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 3 复习总结和作业布置 [1]课堂练习 一、填空题 1.a=4,b=3 ,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程 是 2.焦点为(0, -6),(0,6),经过点(2,-5)的双曲线的标准方程 是 .

.

3.设双曲线 是 4.如果方程 是 二、选择题. 5.设 F1,F2 是双曲线

上的点 P 到(5,0)的距离是 15,则 P 到(-5,0)的距离 . 表示双曲线,则 m 的取值范围 . .

的焦点,点 P 在双曲线上,且 ) D.

,则点 P 到 x 轴的距离( A.1 B. C.2

6.P 为双曲线 径的圆与圆 A.内切 B.外切

为上一点,若 F 是一个焦点,以 PF 为直 的位置关系是( C.内切或外切 ) D.无公共点或相交

7.已知两定点 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则当 a =3 和 5 时,P 点的轨迹为( ) A.双曲线和一直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 三、解答题 8.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线,求 k 的取 值范围。

【解答】 一、填空题

二、选择题.5. B 三、解答题

6. C

7. C

8.解:由双曲线的标准方程可知(k+1)>0 且(k2+k-2)<0,

9.解:因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为 mx2+ny2= 1(mn<0),因 P1,P2 在双曲线上,所以有

所以所求双曲线方程为 [2]作业布置 1、自学完成课本 P58 练习。. 2、课本 P61 习题 2.3(A 组)第 1、2 题 课本 P62 习题 2.3(B 组)第 2 题 3、选做题:

1.设 P 为双曲线

上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若

|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2 的面积为_______. 2.已知△ABC 的两个顶点 A,B 的坐标为 A(-5,0),B(5,0),且 AC,BC 的斜率之积 等于 m(m≠0),若顶点 C 的轨迹是双曲线(去掉两个顶点),求 m 的取值范围. (附答案:) 1.由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|∶|PF2| =3∶2,

∴|PF1|=6,|PF2|=4.又|F1F2|=2c=

由余弦定理得

∴△PF1F2 为直角三角形.

2.设 C 点的坐标为 C(x,y),则 AC 的斜率为

,BC 的斜率为

依题意有 原方程可化为

,化简得 mx2-y2=25m(y≠0).因为 m≠0,所以 ①

由题知方程①表示的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(去掉两个顶点),所以 m> 0. 所以所求 m 的取值范围是(0,+∞). 4、预习提纲: 前面学习了椭圆的简单几何性质,类比学习下一节双曲线的简单几何性质.


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