当前位置:首页 >> 数学 >>

世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十四) 2.11

圆学子梦想 铸金字品牌

温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。

课时提升作业(十四)
导数在研究函数中的应用 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·厦门模拟)函数 f(x)=xln x,则( A.在(0,+∞)上递增 C.在(0, )上递增
1 e

60 分)

)

B.在(0,+∞)上递减 D.在(0, )上递减
1 e 1 e

【解析】选 D.因为函数 f(x)=x ln x,所以 f′(x)=ln x+1,f′(x)>0,解得 x> , 则函数的单调递增区间为( ,+≦),又 f′(x)<0,解得 0<x< ,则函数的单调递减 区间为(0, ),故选 D. 2.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围为( A.a<-1 或 a>2 C.-1<a<2 B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6 )
1 e 1 e 1 e

【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在 R 上的实数根的情况求解. 【解析】选 D.由已知得:f′(x)=3x2+2ax+a+6=0 在 R 上有两个不相等的实根,所 以Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得:a<-3 或 a>6,故选 D. 【加固训练】设函数 y=f(x)在(a,b)上的导函数为 f′(x),f′(x)在(a,b)上的 导函数为 f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在(a,b)上为 “凸 函数”.已知当 m≤2 时,f(x)= x3- mx2+x 在(-1,2)上是“凸函数”,则 f(x)在
-1-

1 6

1 2

圆学子梦想 铸金字品牌

(-1,2)上(

)

A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值 【解析】 选 C.由题设可知:f″(x)<0 在(-1,2)上恒成立,由于 f′(x)= x2-mx+1, 从而 f″(x)=x-m,所以有 x-m<0 在(-1,2)上恒成立,故知 m≥2,又因为 m≤2,所以 m=2;从而 f(x)= x3-x2+x,令 f′(x)= x2-2x+1=0 得 x1=2- 2 ∈(-1,2),x2=2+ 2 ? (-1,2);且当 x∈(-1,2- 2 )时 f′(x)>0,当 x∈(2- 2 ,2)时 f′(x)<0,所以在 (-1,2)上 f(x)在 x=2- 2 处取得极大值,没有极小值. 3.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( A.-2 B.0 C.2 D.4 )
1 6 1 2 1 2

【解析】选 C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),因为-1≤x≤1,所以令 f′(x)>0 得-1≤ x<0,令 f′(x)<0 得 0<x≤1,所以函数 f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调 递减.所以 x=0 时函数 f(x)取得极大值同时也是最大值,即 f(x)max=f(0)=2,故 C 正确. 4.若函数 f(x)=x2+ax+ 在( ,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,3] B.[-1,+∞) D.[3,+∞)
1 x 1 2 1 x 1 2

)

【解题提示】由函数 f(x)=x2+ax+ 在( ,+≦)上是增函数,可得 f′(x) =2x+a1 1 1 1 ≥0 在( ,+≦)上恒成立,进而可转化为 a≥ 2 -2x 在( ,+≦)上恒成 2 2 2 x x

立,构造函数求解.
-2-

圆学子梦想 铸金字品牌

【解析】选 D.因为 f(x)=x2+ax+ 在( ,+≦)上是增函数,
1 1 1 1 ≥0 在( ,+≦)上恒成立,即 a≥ 2 -2x 在( ,+≦)上恒成立, 2 2 2 x x 1 2 令 h(x)= 2 -2x,则 h′(x)= ? 3 -2. x x 1 当 x∈( ,+≦)时,h′(x)<0,则 h(x)为减函数, 2 1 所以 h(x)<h ( ) =3,所以 a≥3,故选 D. 2

1 x

1 2

故 f′(x)=2x+a-

5.(2015· 兰州模拟)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x), 且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的 是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 【解析】选 D.由图象知,f′(-2)=f′(2)=0,且当 x<-2 时,f′(x)>0,-2<x<1, 1<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0,故 f(-2)是极大值,f(2)是极小值. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知函数 f(x)=(ax2+x)-xln x 在[1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围 是 .

【解题提示】求导利用导数大于等于 0 转化为恒成立问题,再构造函数求解. 【解析】由题意知:f′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0,即 a≥ 立;
lnx 1 ? lnx ,令 g′(x)= =0,解得 x=e,当 x∈(e,+≦)时,g′(x)<0,g(x) 2x 2 2x 1 为减函数,当 x∈[1,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,故 g(x)的最大值为 g(e)= , 2e lnx 在 x∈[1,+≦)上恒成 2x

设 g(x)=

-3-

圆学子梦想 铸金字品牌

1 . 2e 1 答案:a≥ 2e

即 a≥

7.(2015·银川模拟)函数 f(x)=x(x-m)2 在 x=1 处取得极小值,则 m= 【解析】f′(1)=0 可得 m=1 或 m=3. 当 m=3 时,f′(x)=3(x-1)(x-3),

.

1<x<3 时,f′(x)<0;x<1 或 x>3 时,f′(x)>0,此时 x=1 处取得极大值,不合题意, 所以 m=1. 答案:1 【误区警示】本题易出现求出 m 值后不进行验证能否在 x=1 处取得极小值,导致 解题错误. 8.(2015·湖南十二校联考)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表: x f(x) -1 1 0 2 2 0 4 2 5 1 .

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的极小值为

【解析】由 y=f′(x)的图象可知,f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如表: x f′(x) f(x) (-1,0) + ↗ 0 0 极大值 (0,2) ↘
-4-

2 0 极小值

(2,4) + ↗

4 0 极大值

(4,5) ↘

圆学子梦想 铸金字品牌

所以 f(2)为 f(x)的极小值,f(2)=0. 答案:0 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·东北三省四市联考)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=(x-a)2+(ln x-a)2. (1)求函数 f(x)在 A(1,0)处的切线方程. (2)若 g′(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)因为 f′(x)= ,所以 f′(1)=1, 故切线方程为 y=x-1. (2)g′(x)= 2(x ? ? 令 F(x)=x- ?
a x a x lnx ? a) , x 1 x

lnx x 2 ? lnx ? a ? 1 -a,则 y=F(x)在[1,+≦)上单调递增,F′(x)= ,则 x x2

当 x≥1 时,x2-ln x+a+1≥0 恒成立, 即当 x≥1 时,a≥-x2+ln x-1 恒成立.
1 ? 2x 2 令 G(x)=-x +ln x-1,则当 x≥1 时,G′(x)= x
2

<0,故 G(x)=-x2+ln x-1 在

[1,+≦)上单调递减, 从而 G(x)max=G(1)=-2,故 a≥G(x)max=-2, 即 a 的取值范围为 a≥-2. 10.(2014·安徽高考)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性. (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时 x 的值. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-≦,+≦), f′(x)=1+a-2x-3x2,
-5-

圆学子梦想 铸金字品牌

令 f′(x)=0 得 x1= x2=

?1 ? 4 ? 3a , 3

?1 ? 4 ? 3a ,x1<x2, 3

所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2), 当 x<x1 或 x>x2 时 f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时 f′(x)>0. 所以 f(x)在 (??, 在(
?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , ??) 内单调递减, )和( 3 3

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , ) 内单调递增. 3 3

(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减. 所以 f(x)在 x=x2=
?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值. 3

又 f(0)=1,f(1)=a, 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 【加固训练】(2014·马鞍山模拟)已知函数 f(x)=ln x-ax2+(a-2)x. (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值. (2)求函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值. 【解析】(1)因为 f(x)=ln x-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+≦),
-6-

圆学子梦想 铸金字品牌

所以 f′(x)= ? 2ax ? ? a ? 2 ? ?

1 x

1 ? 2ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? ? 2x ? 1?? ax ? 1? ? . x x

因为 f(x)在 x=1 处取得极值, 即 f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,所以 a=-1. 当 a=-1 时,在( ,1)内 f′(x)<0,在(1,+≦)内 f′(x)>0, 所以 x=1 是函数 f(x)的极小值点,所以 a=-1. (2)因为 a2<a,所以 0<a<1, f′(x)= ? 2ax ? ? a ? 2 ? ?
1 x 1 ? 2ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2x ?1?? ax ? 1? . ?? x x
1 2

因为 x∈(0,+≦),所以 ax+1>0, 所以 f(x)在(0, )上单调递增;在( ,+≦)上单调递减. ①当 0<a≤ 时,f(x)在[a2,a]上单调递增, 所以 f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-2a.
1 ? a? , ? 1 1 1 2 ? ②当 ? 2 即 ? a ? 时,f(x)在 (a 2 , ) 上单调递增,在 ( , a) 上单调递减, 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 , ? ? 2
1 2 1 2 1 2

所以 f(x)max=f( )= ?ln2 ? ? ③当 ≤a2,即
1 2

1 2

a 4

a?2 a ? ? 1 ? ln2 ; 2 4

2 ≤a<1 时,f(x)在[a2,a]上单调递减, 2

所以 f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2. 综上所述,当 0<a≤ 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 ln a-a3+a2-2a; 当 ?a? 当
1 2
a 2 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 -1-ln 2; 4 2 1 2

2 ≤a<1 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 2ln a-a5+a3-2a2. 2

-7-

圆学子梦想 铸金字品牌

(20 分钟 40 分) 1.(5 分)若函数 f(x)= x 3 ? ax 2 +(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6, +∞)内为增函数,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,2] C.[4,6] B.[5,7] D.(-∞,5]∪[7,+∞) )
1 3 1 2

【解题提示】求出原函数的导函数,求得导函数的零点 1,a-1,然后讨论 1 与 a-1 的大小,分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调 性,最后借助已知条件得到 a-1 与 4 和 6 的关系,则答案可求. 【解析】选 B.由函数 f(x)=
1 3 1 2 2 x ? ax +(a-1)x+1,得 f′(x)=x -ax+a-1. 3 2

令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=a-1. 当 a-1≤1,即 a≤2 时,f′(x)在(1,+≦)上大于 0,函数 f(x)在(1,+≦)上为增函 数,不合题意; 当 a-1>1,即 a>2 时,f′(x)在(-≦,1)上大于 0,函数 f(x)在(-≦,1)上为增函数, f′(x)在(1,a-1)内小于 0,函数 f(x)在(1,a-1)内为减函数,f′(x)在(a-1,+≦) 内大于 0, 函数 f(x)在(a-1,+≦)上为增函数. 依题意应有: 当 x∈(1,4)时,f′(x)<0,当 x∈(6,+≦)时,f′(x)>0,所以 4≤a-1≤6,解得 5≤ a≤7,所以 a 的取值范围是[5,7],故选 B. 2.(5 分)(2015·安阳模拟)函数 f(x)=ax3+bx2+cx-34(a,b,c∈R)的导函数为 f′(x),若不等式 f′(x)≤0 的解集为{x|-2≤x≤3},且 f(x)的极小值等于-115, 则 a 的值为( )
-8-

圆学子梦想 铸金字品牌

A.-

81 22

B.

1 3

C.2

D.5

【解析】选 C.由已知可知 f′(x)=3ax2+2bx+c,由 3ax2+2bx+c≤0 的解集为{x|-2 ≤x≤3}可知 a>0,且-2,3 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根,则由根与系数的关系知
2b c 3a 3 3a 2 ? ?1, ? ?6, 所以 b ? ? ,c=-18a,此时 f(x)=ax - x -18ax-34,当 x∈(-≦,-2) 3a 3a 2 2

时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当 x∈(-2,3)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x∈ (3,+ ≦ ) 时 ,f ′ (x)>0,f(x) 为 增 函 数 , 所 以 f(3) 为 f(x) 的 极 小 值 , 且 f(3)=27a27a -54a-34=-115,解得 a=2,故选 C. 2

3.(5 分)(2014·辽宁高考)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实 数 a 的取值范围是( A.[-5,-3] C.[-6,-2] ) B.[-6,- ] D.[-4,-3]
x 2 ? 4x ? 3 ,x∈(0,1] x3
9 8

【解析】选 C.当 x∈(0,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0?a≥ 恒成立.
x 2 ? 4x ? 3 令 g(x)= ,x∈(0,1], x3

则 g′(x)=

? x 2 ? 8x ? 9 ,x∈(0,1], x4

设 h(x)=-x2+8x+9,h(x)在(0,1]上为增函数, h(x)>h(0)=9>0,
? x 2 ? 8x ? 9 所以 x∈(0,1]时,g′(x)= >0, x4

则 g(x)= g(x)=

x 2 ? 4x ? 3 在(0,1]上为增函数, x3

x 2 ? 4x ? 3 ,x∈(0,1]的最大值 g(x)max=g(1)=-6,从而 a≥-6.当 x=0 时,a∈ x3
-9-

圆学子梦想 铸金字品牌

R. 当 x∈[-2,0)时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0? a≤
x 2 ? 4x ? 3 ,x∈[-2,0)恒成立. x3

? ? x 2 ? 8x ? 9 ? 0, ?g? ? x ? ? ? -1<x<0, x4 ? ? x ? [?2, 0) ? ? ? x 2 ? 8x ? 9 ? 0, ?g? ? x ? ? ? -2≤x<-1. x4 ? ? x ? [?2, 0) ?
x 2 ? 4x ? 3 所以 g(x)= 在[-2,-1)上为减函数,在(-1,0)上为增函数, x3

故 g(x)min=g(-1)=-2,则 a≤-2. 综上所述,-6≤a≤-2. 4.(12 分)(2015·兰州模拟)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调区间. (2)试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线 y=g(x)相切?请说明理由. 【解题提示】(1)对函数 f(x)求导,当导数 f′(x)大于 0 时可求单调增区间,当 导数 f′(x)小于 0 时可求单调减区间. (2)先表示出过点(2,5)与曲线 y=g(x)相切的直线,进而假设函数,可求得切线的 条数. 【解析】(1)由题意得,函数的定义域为(0,+≦),f′(x)= ?
1 x a x ?a ? 2 . x2 x a +ln x-2,g(x)=ln x+2x. x

当 a≤0 时,f′(x)>0 恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+≦),当 a>0 时,令 f′(x)>0,x>a, 令 f′(x)<0,0<x<a.
- 10 -

圆学子梦想 铸金字品牌

故 f(x)的单调递增区间为(a,+≦),单调递减区间为(0,a). (2)设切点为(m,n),g′(x)= 所以
1 +2, x

1 n ?5 ?2? ,n=ln m+2m, m m?2 2 所以 ln m+ -2=0, m 2 1 2 令 h(x)=ln x+ -2,所以 h′(x)= ? 2 , x x x

由导数为 0 可得,x=2,所以 h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+≦)上单调递增, 因为 h( )>0,h(2)=ln 2-1<0, 所以 h(x)与 x 轴有两个交点, 所以过点(2,5)可作 2 条曲线 y=g(x)的切线. 5.(13 分)(能力挑战题)已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值. (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 【解析】(1)因为 f(x)=x2e-x, 所以 f′(x)=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2), 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=2,令 f′(x)>0,可解得 0<x<2;令 f′(x)<0,可解得 x<0 或 x>2, 故函数 f(x)在区间(-≦,0)与(2,+≦)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数, 所以 x=0 是极小值点,x=2 是极大值点,又 f(0)=0,f(2)= , 故 f(x)的极小值和极大值分别为 0, . (2)设切点为(x0, 则切线方程为 y令 y=0,解得 x= ), = =(x0-2)+ (2x0+3.
- 11 -

1 2

)(x-x0),

圆学子梦想 铸金字品牌

因为曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数, 所以 (2x0)<0,所以 x0<0 或 x0>2, +1, = .

令 g(x0)=x0+ 则 g′(x0)=1-

①当 x0<0 时,(x0-2)2-2>0,即 g′(x0)>0,所以 g(x0)在(-≦,0)上单调递增,所以 g(x0)<g(0)=0; ②当 x0>2 时,令 g′(x0)=0,解得 x0=2+ 当 x0>2+ . 时,g′(x0)<0,函数

时,g′(x0)>0,函数 g(x0)单调递增;当 2<x0<2+

g(x0)单调递减. 故当 x0=2+ 时,函数 g(x0)取得极小值,也即最小值,且 g(2+ )=3+2 +3,+≦). .

综上可知:切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是(-≦,0)∪[2

关闭 Word 文档返回原板块

- 12 -