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高中数学公式总结(高中全)

高中数学公式定理汇总
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间 1”;记忆方法“对 角线上两个函数的积为 1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶 点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数 值的乘积。”)
诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα
sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα

sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα

sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα
sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中 k∈Z)

两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=——————

tanα+tanβ 1-tanα ·tanβ

tan(α-β)=——————

tanα-tanβ 1+tanα ·tanβ

1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB

4.集合的性质 ⑴n 元集合的子集数:2n 真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 ,所有非空真 子集的个数是 。 二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解 析式时,解析式的设法有三种形式,即 , 和 (顶点式)。 2、 幂函数 ,当 n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是

3、 函数 的大致图象是
由图象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区间是 。 二、 三角函数 1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 的终边 上任取一个异于原点的点 ,点 P 到原点的距离记为 ,则 sin = ,cos = ,tg = , ctg = ,sec = ,csc = 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是: , , ; 倒数关系是: , , ; 相除关系是: , 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如: , = , 。 4、 函数 的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其 图象的对称轴是直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间:
的递增区间是 ,递减区间是 ; 的递增区间是 ,递减区间是 , 的递增 区间是 , 的递减区间是 。 6、

7、二倍角公式是:sin2 = cos2 = = = tg2 = 。 8、三倍角公式是:sin3 = 9、半角公式是:sin = tg = = = 。 10、升幂公式是: 11、降幂公式是: 12、万能公式:sin = 13、sin( )sin( )= , cos( )cos( )= = 。 14、 = ;

cos3 = cos =

。 。 cos =

tg =

=; =。 15、 = 。 16、sin180= 。 17、特殊角的三角函数值:

0 sin 0 cos 1 tg 0 1 ctg 不存在

10 00 不存在 0 不存在 1 0 不存在 0

18、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径): 19、由余弦定理第一形式, =
由余弦定理第二形式,cosB= 20、△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半周 长用 p 表示则: ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ ;⑥ 21、三角学中的射影定理:在△ABC 中, ,? 22、在△ABC 中, ,? 23、在△ABC 中:

24、积化和差公式: ①, ②, ③, ④。 25、和差化积公式: ①, ②, ③, ④。 三、 反三角函数 1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数;
的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数; 的定义域是 R,值域是 ,奇函数,增函数; 的定义域是 R,值域是 ,非奇非偶,减函数。 2、当 ;

对任意的 ,有:

当。 3、最简三角方程的解集:

四、 不等式

1、若 n 为正奇数,由 可推出 吗? ( 能 )

若 n 为正偶数呢? ( 均为非负数时才能)

2、同向不等式能相减,相除吗

(不能)

能相加吗?

(能)

能相乘吗?

(能,但有条件)

3、两个正数的均值不等式是:

三个正数的均值不等式是:

n 个正数的均值不等式是:

4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、 双向不等式是: 左边在 时取得等号,右边在 时取得等号。 五、 数列 1、等差数列的通项公式是 ,前 n 项和公式是: = 。 2、等比数列的通项公式是 , 前 n 项和公式是: 3、当等比数列 的公比 q 满足 <1 时, =S= 。一般地,如果无穷数列 的前 n 项 和的极限 存在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和),用 S 表示,即 S= 。 4、若 m、n、p、q∈N,且 ,那么:当数列 是等差数列时,有 ;当数列 是等比 数列时,有 。 5、 等差数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=60; 6、等比数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=70; 六、 复数 1、 怎样计算?(先求 n 被 4 除所得的余数, ) 2、 是 1 的两个虚立方根,并且:

3、 复数集内的三角形不等式是: ,其中左边在复数 z1、z2 对应的向量共线且 反向(同向)时取等号,右边在复数 z1、z2 对应的向量共线且同向(反向)时取 等号。 4、 棣莫佛定理是: 5、 若非零复数 ,则 z 的 n 次方根有 n 个,即:
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系? 都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆 n 等分。 6、 若 ,复数 z1、z2 对应的点分别是 A、B,则△AOB(O 为坐标原点)的面积是 。 7、 = 。

8、 复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹:

① 轨迹为一条射线。

② 轨迹为一条射线。

③ 轨迹是一个圆。

④ 轨迹是一条直线。

⑤ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为椭圆;b)当 时,轨迹为一条线

段;c)当 时,轨迹不存在。

⑥ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为双曲线;b) 当 时,轨迹为两

条射线;c) 当 时,轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点?

加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。

2、排列数公式是: = = ;

排列数与组合数的关系是:

组合数公式是: = = ;

组合数性质: =

+=

=

=

3、 二项式定理: 二项展开式的通项公式: 八、 解析几何 1、 沙尔公式: 2、 数轴上两点间距离公式: 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式: 4、 若点 P 分有向线段 成定比 λ,则 λ= 5、 若点 ,点 P 分有向线段 成定比 λ,则:λ= = ;
= =
若 ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 。 6、求直线斜率的定义式为 k= ,两点式为 k= 。 7、直线方程的几种形式: 点斜式: , 斜截式:
两点式: , 截距式: 一般式:
经过两条直线 的交点的直线系方程是: 8、 直线 ,则从直线 到直线 的角 θ 满足: 直线 与 的夹角 θ 满足: 直线 ,则从直线 到直线 的角 θ 满足: 直线 与 的夹角 θ 满足: 9、 点 到直线 的距离:

10、两条平行直线 距离是

11、圆的标准方程是: 圆的一般方程是:

其中,半径是 ,圆心坐标是 思考:方程 在 和 时各表示怎样的图形? 12、若 ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是

经过两个圆 , 的交点的圆系方程是:

经过直线 与圆 的交点的圆系方程是: 13、圆 为切点的切线方程是

一般地,曲线 为切点的切线方程是: 。例如,抛物线 的以点 为切点的切线方 程是: ,即: 。 注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线 方程的常规过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即:
①判别式法:Δ>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于半径、 小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是:

16、抛物线 的焦点坐标是: ,准线方程是: 。

若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)

是: ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 。

17、椭圆标准方程的两种形式是: 和



18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 。其中 。

19、若点 是椭圆 上一点, 是其左、右焦点,则点 P 的焦半径的长是 和 。

20、双曲线标准方程的两种形式是: 和



21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方

程是 。其中 。

22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程

是。

23、若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为



若 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 两 点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 弦 长





24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都

有: 。

25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是(h,k),若点 P

在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ,则 = , = 。

九、 极坐标、参数方程

1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是: 。

2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是: 。其中点 P 对应的参数 t

的几何意义是:有向线段 的数量。

若点 P1、P2、P 是直线 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则: ;

当点 P 分有向线段 时, ;当点 P 是线段 P1P2 的中点时, 。

3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是: 。

3、 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极

坐标为 直角坐标为 ,则 , , 。

4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: ,

经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: ,

经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: ,

经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是: 。

5、 圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ;

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;

圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 。

6、 若点 M 、N ,则 。

十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是: 是二面角的一个面内图形

F 的面积, 是图形 F 在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小。

2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线 m 是平面 内经过 的斜足的一条直线,

与 所成的角为 , 与 m 所成的角为 , 与 m 所成的角为 θ,则这三个角之间的关

系是 。

3、体积公式:

柱体: ,圆柱体: 。

斜棱柱体积: (其中, 是直截面面积, 是侧棱长);

锥体: ,圆锥体: 。

台体: ,



台体:

球体: 。

4、 侧面积:

直棱柱侧面积: ,斜棱柱侧面积: ;

正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ;

圆柱侧面积: ,圆锥侧面积: ,

圆台侧面积: ,球的表面积: 。

5、几个基本公式:

弧长公式: ( 是圆心角的弧度数, >0);

扇形面积公式: ;

圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ;

圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: 。

经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是 θ):

2tan(α/2) sinα=——————
1+tan2(α/2)

1-tan2(α/2) cosα=——————
1+tan2(α/2)
2tan(α/2) tanα=——————
1-tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

tan2α=—————

2tanα 1-tan2α

sin3α=3sinα-4sin3α

cos3α=4cos3α-3cosα

3tanα-tan3α tan3α=——————
1-3tan2α

三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式

α



β

α-β

sinα+sinβ=2sin———·cos———

2

2

β

α-β

sinα-sinβ=2cos———·sin———

2

α



2

β

α-β

cosα+cosβ=2cos———·cos———

2

β

α-β

cosα-cosβ=-2sin———·sin———

2

2sinα ·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]

2cosα ·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]

2cosα ·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]

2sinα ·sinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]

α



2

α



2

化 asinα ±bcosα 为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)

集合、函数
集合 简单逻辑 任一 x∈A x∈B,记作 A B A B,B A A=B A B={x|x∈A,且 x∈B} A B={x|x∈A,或 x∈B}
card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) (1)命题 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若 p 则 q

逆否命题 若 q,则 p (2)四种命题的关系 (3)A B,A 是 B 成立的充分条件 B A,A 是 B 成立的必要条件 A B,A 是 B 成立的充要条件
函数的性质 指数和对数 (1)定义域、值域、对应法则 (2)单调性 对于任意 x1,x2∈D 若 x1<x2 f(x1)<f(x2),称 f(x)在 D 上是增函数 若 x1<x2 f(x1)>f(x2),称 f(x)在 D 上是减函数 (3)奇偶性 对于函数 f(x)的定义域内的任一 x,若 f(-x)=f(x),称 f(x)是偶函数 若 f(-x)=-f(x),称 f(x)是奇函数 (4)周期性 对于函数 f(x)的定义域内的任一 x,若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x),则称 f(x)是 周期函数 (1)分数指数幂 正分数指数幂的意义是
负分数指数幂的意义是
(2)对数的性质和运算法则
loga(MN)=logaM+logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
指数函数 对数函数 (1)y=ax(a>0,a≠1)叫指数函数 (2)x∈R,y>0 图象经过(0,1) a>1 时,x>0,y>1;x<0,0<y<1 0<a<1 时,x>0,0<y<1;x<0,y>1 a> 1 时,y=ax 是增函数 0<a<1 时,y=ax 是减函数 (1)y=logax(a>0,a≠1)叫对数函数 (2)x>0,y∈R 图象经过(1,0) a>1 时,x>1,y>0;0<x<1,y<0 0<a<1 时,x>1,y<0;0<x<1,y>0 a>1 时,y=logax 是增函数 0<a<1 时,y=logax 是减函数

指数方程和对数方程 基本型 logaf(x)=b f(x)=ab(a>0,a≠1) 同底型 logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0,a≠1) 换元型 f(ax)=0 或 f (logax)=0
数列
数列的基本概念 等差数列 (1)数列的通项公式 an=f(n) (2)数列的递推公式 (3)数列的通项公式与前 n 项和的关系
an+1-an=d an=a1+(n-1)d a,A,b 成等差 2A=a+b m+n=k+l am+an=ak+al
等比数列 常用求和公式 an=a1qn_1 a,G,b 成等比 G2=ab m+n=k+l aman=akal
不等式
不等式的基本性质 重要不等式 a>b b<a a>b,b>c a>c a>b a+c>b+c a+b>c a>c-b a>b,c>d a+c>b+d a>b,c>0 ac>bc a>b,c<0 ac<bc a>b>0,c>d>0 ac<bd a>b>0 dn>bn(n∈Z,n>1) a>b>0 > (n∈Z,n>1) (a-b)2≥0 a,b∈R a2+b2≥2ab

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 证明不等式的基本方法 比较法 (1)要证明不等式 a>b(或 a<b),只需证明 a-b>0(或 a-b<0=即可 (2)若 b>0,要证 a>b,只需证明 , 要证 a<b,只需证明 综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式 (由因导果)的方法。 分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手,逐步寻求所需条件成立的充分条件,直至 所需的条件已知正确时为止,明显地表现出“持果索因”
复数
代数形式 三角形式 a+bi=c+di a=c,b=d
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a+bi)(c+di )=(ac-bd)+(bc+ad)i
a+bi=r(cosθ+isinθ) r1=(cosθ1+isinθ1)?r2(cosθ2+isinθ2) =r1?r2〔cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)〕 〔r(cosθ+sinθ)〕n=rn(cosnθ+isinnθ)
k=0,1,……,n-1
解析几何
1、直线 两点距离、定比分点 直线方程 |AB|=| | |P1P2|=
y-y1=k(x-x1) y=kx+b

两直线的位置关系 夹角和距离
或 k1=k2,且 b1≠b2 l1 与 l2 重合 或 k1=k2 且 b1=b2 l1 与 l2 相交 或 k1≠k2 l2⊥l2 或 k1k2=-1 l1 到 l2 的角
l1 与 l2 的夹角
点到直线的距离
2.圆锥曲线 圆椭圆 标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心为(a,b),半径为 R 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 其中圆心为( ), 半径 r (1)用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 判断或用判别式判断直线与圆的位置关系 (2)两圆的位置关系用圆心距 d 与半径和与差判断 椭圆 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) (b2=a2-c2) 离心率 准线方程 焦半径|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0 双曲线 抛物线 双曲线 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) (a,b>0,b2=c2-a2) 离心率 准线方程 焦半径|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a 抛物线 y2=2px(p>0) 焦点 F 准线方程
坐标轴的平移
这里(h,k)是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。

十一、比例的几个性质 1、比例基本性质: 2、反比定理: 3、更比定理: 5、 合比定理; 6、 分比定理: 7、 合分比定理: 8、 分合比定理: 9、 等比定理:若 , ,则 。当 是 一个完全平方数时,对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。⑵并集元素个数:n(A∪ B)=nA+nB-n(A∩B)5.N 自然数集或非负整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 6.简易逻 辑中符合命题的真值表 p 非 p 真 假假 真 1.二次函数的极点坐标:函数 的顶点坐标为 2.函 数 的单调性:在 处取极值 3.函数的奇偶性:在定义域内,若 ,则为偶函数;若 则为奇 函数。