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高中数学解题技巧 高中数学解题手稿 第一章:数列部分 1,已知: 求证: 证明:解法一: 由第一个式子得 。证毕。 解法二:由第二个式子知道: 成等比数列 2,已知,求证:a,b,c 至少有一个不小于 或,解得证明:方法一:假设,则: 由,有不等式组 即成立 将代入得到 ab ,解之得 ab 说明以上两组解中只能是 , ,则 另外,a,b,c 必定有一个大于零。如果是 ,这时根据均值不等式有,这与矛盾。如果 a,b 中,则由知,,所以,所以, 这和矛盾。综上可知,a,b,c 中必有一个不小于 2.证毕。 解法二:构造法: 无可否认解法二相当简单,但对于训练思维逻辑的作用来说,解法一是必要 的。 3.正数 a,b 满足,求证: 解法一: 4 解之即得 。 证毕。 解法二: 整理即得 (有点问题)解法三: 上式是基于不等式: (有问题) 4 (以上两种方法其实不无本质差别) 解法四: 分析:条件式中次数是 3 次,而结论式中是 1 次,所以需要降幂。 又结论式是 不等式,当且仅当时成立。于是考虑构造均值不等式。 解:由均值不等式得: (1) (2) 由(1)+(2)变形整理得: 4、已知 a,b,C?求证: cyc 同理有 各式相加即得证。 114.已知,。求证:。 xy 证明:法 1: y) y) y) 证法 2: xy: 证法 3: 证法 4: 5.已知,c11 。求 1111 。3 3 证明: 法 1:令,则 证: kkk1 xyz22123 1111 xyz k1k1k1 (3)3xyz 证毕。 1313131313 6.已知。求证:。 证明:法 1:, 在等式两边取对数得: 。这说明点(a,b)位于直线 上。对点(c,d)也有相同结论。易知点(1,1)也在直线 上。因此以下三点(a,b)、(c,d)、(1,1)共线。 当所形成的直线不垂直于横坐 标时,由斜率相等由:。 ,变形即得 当所形成的直线垂直于横轴时,有 a=c=1.等式仍成立。 证毕。 解法二:由题意知: 显然: 即有: 。 证毕。 (2008 年陕西高考理科卷 22 题) 已知数列{an}的首项,。 (1)求数列{an}的通项公式。 ,, (2)证明: n2 (3)。 解:(1)由题意知; 即 3n (2)令则: 令 23n 显然 故 (3)数学归纳法: 时不等式显然成立; 成立; 时, 假设时 n2 成立 时 k2 故只需证明 即证明 () 而由牛顿公式,我们有 说明:这个题用数学归纳证明时,有个特殊之处就是从开始。 1222 解法 2 利用第二问的结论,运用累加法,再取,经过简单 n333 的放缩就可得到。 由(2)得 累加: 欲使 n2 只需, n3 nn2 同时成立即可。 1 解之得到: 11 取 n2 代人 证毕。 说明,实际上,若设 13k 则有 使 n2 一个值。稍加分析后便可以知道,只要 n3 均可。例如,只不过代入的时候比较 麻烦。 成立的 x 值并非只有 (2011 年上海高考压轴题 22 题)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是 将集合中的 元素从小到大依次排列,构成数列 (I)求 c1,c2,c3,c4; 求证:在数列{cn}中、但不在{bn}中的项恰为; (iii)求{cn}的通项公式。 解: 中除{an}和{bn}的公共项外都在数列{cn}中、但不在{bn}中。因此只需求出 {an}和{bn}的公共项即可知道在数列{cn}中、但不在{bn}中的项。 为正数 是且仅是奇数。 故{an}和{bn}的公共项为 即 在数列{cn}中、但不在{bn}中的项恰为 (iii)由可知,{cn}的项其实就是在中插入{bn}中的一些项,而在{an}的两个 偶数项之间,必然可以且只可以插入{bn}的某一项(这是因为{an} ,{bn}的公差为 2.如果不能插入{bn}中的项,则{bn}的公差必大于或的公差为 3 等于 3;若能插入两项及两项以上,则{bn}的公差必小于 2。 而 这说明 在 an 和之间的{bn}的项必须满足 即 且, 在 3n 当 n 为偶数时,,此时; 2 当 n 为奇数时,,此时; 2 综上知 , n 为偶数 , n 为奇数 (2009 年.山东)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。已 知对任意的点(n,Sn)均在函数(且 均为常数)的图像上。 (i)求 r 的值; (ii)当时,记 证明:对任意的不等式 解: 则 而 即化简得到 (ii)解法一、 ( 2n 解法二、设 则 1 证毕。 解法三、数学归纳法 1 时,成立; 2 假设, 成立 当时, 成立。有归纳法原理知 2 成立。证毕。 42n 评析:由以上可以发现,有的不等式可以由数学归纳法可以发现“放缩”的途 径。 类似的题目还有: (2011 上海 13 所市级实验中学期末)已知数列{an}满足 (c 为常数)。 , (i)求 an 通项; (ii)问是否存在正整数使成立,若存在,请写出 c 满足的条件; 若不存在,说明理由。 若当时,数列{bn}为递减数列,试求 c 的最小值。 2 1(iii)设 解:变形得 是以为首项,c 为公差的等差数列 是二次函数,而 (iii)解法一 1 当恒成立。即 (1)时显然成立。 (2)时,必有只需 即可 综上所述 的最小值是 0. 解法二 设 则 令() g(t)在递增。 解法三 设 , 则 所以在上单调递增 的最小值为 0. 求证: 证明:1.放缩 2 2.加强命题:设 f(n) 则 13,即 (1) 13 设时 成立。 则有数学归纳法有 时 即 1 n设 于是对任意

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