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2.4.2 等比数列的性质


课时训练 12 等比数列的性质
一、等比数列性质的应用
1.若{an}是等比数列,那么( A.数列 是等比数列 C.数列{2 }是等比数列 答案:A 2.在等比数列{an}中,a2 013=8a2 010,则公比 q 的值为( A.2 答案:A 3.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为 q1,q2(q1,q2≠1),则数列①{3an};② {2an-3bn};⑤{2an· 3bn}中等比数列的个数是( A.1 答案:C
+1 3 解析:在①中, +1 =q1,是等比数列;在②中, 2 3 2

) B.数列{ }是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 ) D.8

1

B.3

C.4

2

;③{3 };④

) D.4

B.2

C.3

=

1 ,是等比数列;在③中,令 an=2n-1,则数列{3 }为 1

3,32,34,…,因为
2 · 3

3 3

2



3

4

32

,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤

+1 +1 中, 2 =q1· q2,是等比数列. · 3

4.(2015 山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 答案:A 5.(2015 河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的最小值为( A.16 答案:B 解析:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2, B.8 ) C.2 2 D.4 B.7 C.6 D.4 2

)

∴a4· a14=(2 2)2=8, ∴a7· a11=8, ∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2 27 · 11 =2 2 × 8=8.故选 B.
二、等差、等比数列的综合问题
6.等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) B.n(n-1) C.
(+1) 2

)

D. 2

(-1)

1

答案:A
2 解析:因为 a2,a4,a8 成等比数列,所以4 =a2· a8,所以(a1+6)2=(a1+2)· (a1+14),解得 a1=2.所以

Sn=na1+

(-1) d=n(n+1). 2

7.数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= 答案:1

.

解析:设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1,故 q=
3 +3 1 +1

=

1 -2+3 =1. 1 +1 1 +2 的值为 2

8.已知 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 答案:2.5 解析:∵a1+a2=1+4=5,
2 2 =1×4=4,且 b2 与 1,4 同号,∴b2=2,

.



1 +2 2

= 2=2.5.

5

9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为 a-d,a,a+d, (a-d)+a+(a+d)=48,即 a=16. 再设后三个数分别为 ,b,bq, 则有· b· bq=b3=8 000,即 b=20.


∴四个数分别为 m,16,20,n. ∴m=2×16-20=12,n= 16 =25,
即这四个数分别为 12,16,20,25. 10.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d(d≠1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10. (1)求 a1 和 d 的值; (2)b16 是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得 所以 1 + 3 = 1 3 , 1 + 9 = 1 9 ,
202

3 = 1 · ( 3 -1), 9 = 1 · ( 9 -1).
-1 -1
3 9

两式相除,得 3=

=d6+d3+1,

解得 d3=-2 或 d3=1(舍去). 所以 d=- 2,代入得 a1=-d= 2. 2
3 3

(2)b16=a1d15= 2×(- 2)15=-32 2, an=a1+(n-1)d= 2+(n-1)×(- 2) =- 2n+2 2. 令 an=-32 2,得- 2n+2 2=-32 2,解得 n=34∈N*,故 b16 是数列{an}中的第 34 项.
3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

3

(建议用时:30 分钟)
1.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则 a9a10a11 的值为( A.48 答案:D 解析:∵
6 7 8 9 =q =8(q 为公比), 3 4 5

)

B.72

C.144

D.192

∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
2.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=( A.1 答案:A
2 解析:∵a3a11=7 =16,且 an>0,∴a7=4.

)

B.2

C.4

D.8

又 a7=a5· q2=4a5,∴a5=1. 3.已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5 等于( A.33 答案:B 解析:由条件得,4a1+(a1q2)=2×(2a1q), 即(q-2)2=0,∴q=2. B.84 C.72 D.189 )

∴a3+a4+a5=3×(22+23+24)=84.
4.等比数列{an}中,已知 a9=-2,则此数列的前 17 项之积为( A.2
16

)
17

B.-2

16

C.2

17

D.-2

答案:D 解析:∵数列{an}为等比数列,∴a1a2a3…a17=17 9 . 又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217. 5.已知 1<a<b<c,且 a,b,c 成等比数列,且 n≥2,n∈N*,则 logan,logbn,logcn 的关系为( A.成等差数列 答案:C 6.已知数列{an}是等比数列,公比 q>1,且 a1+a6=8,a3a4=12,则 11 =
6

)

B.成等比数列 D.以上都不对

C.各项倒数成等差数列



.

答案:3 解析:由已知 a3a4=12 得 a1a6=12, 3

又∵a1+a6=8.当 q>1 时,解得 a1=2,a6=6.
2 又∵a1a11=6 ,∴

11 6

=

6 =3. 1

7.在等比数列{an}中,若 an>0,a1· a100=100,则 lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100= 答案:100 解析:由等比数列性质知:a1· a100=a2· a99=…=a50· a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=lg(a1· a2· a3· …· a100)=lg(a1· a100)50=lg 10050=lg 10100=100.

.

2 8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=

.

答案:16
2 2 2 解析:∵2a3-7 +2a11=2(a3+a11)-7 =4a7-7 =0, 2 ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=7 =16.

9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为 12, 求这三个数. 解:设这三个数为 a-d,a,a+d, 则(a-d)+a+(a+d)=12,所以 a=4. 所以这三个数可以表示为 4-d,4,4+d.

①若 4-d 为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得 d=12,或 d=0(舍去).
此时,这三个数是-8,4,16.

②若 4+d 为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得 d=-12,或 d=0(舍去).
此时,这三个数是 16,4,-8.

③若 4 为等比中项,则有 42=(4-d)×(4+d),
解得 d=0(舍去), 综上所述,这三个数是-8,4,16 或 16,4,-8. 10.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2. 由 b1,b2,b3 成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2), 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2.

∴{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1.
(2)设{an}的公比为 q, 则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 得 aq2-4aq+3a-1=0(*). 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0, 故方程(*)有两个不同的实根. 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 代入(*)得 a=3. 4
1


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