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扬州中学2014届高三开学检测数学(文)


扬州中学 2013—2014 学年高三开学检测(文) 数 学 试 卷
象限.

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1? i 1.在复平面内,复数 (其中 i 为虚数单位)对应的点位于第 2?i

2.已知集合 M ? {a, 0} , N ? {x | 2 x ? 3x ? 0, x ? Z } ,如果 M ? N ? ? ,则 a ?
2



3.已知 ? ? (?

?
2

, 0) , cos ? ?

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4



4.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , S k ? 63 ,则

k ? ___ ___.
【答案】6 【解析】

1

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号是

.

m?? ,则n?? ; ①.若 m ? n ,
③.若 m ?? , m ? ? ,则 ? ? ? ;

m ?? ,则 n ?? ; ②.若 m ? n ,
④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? .

6.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 S ?0 For I From 1 to 28 Step 3 S ? S+I End For Print S (第 6 题)



7. 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,若点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的最大值

???? ????



.

2

8.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区 域 ? 上随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 .

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象向右平移

?
2

) 的部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的

? 个单位后,得到的图像解析式为________. 6

第(9)题 【答案】 y ? sin(2 x ?

?
6

)

3

10.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?

1 ,则 x ? y ? ___ ___. 3

11.求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x) 在 R
x x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

上 单 调 递 减 , 且 f ( 2)? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程

x6 ? x 2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 的解集为



p 2 p2 12.已知实数 p ? 0 , 直线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线 x ? 2 py 和圆 x ? ( y ? ) ? 从 2 4
2

2

左到右的交点依次为 A, B, C, D ,则

AB 的值为 CD



4

13.设函数 f ( x ) ? ?

?2 x

( x ? 0)

?log 2 x (x ? 0)

,函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为



14. 设 实 数 x1 , x2 , x3 , x4 ,均x5不 小 于

1 , 且 x1 ? x ? , 则 2x ? x 3 ? x 4? 729 5 . ( max{a, b, c, d } 是指 a, b, c, d 四个数

M ?m a x x 1x { 2
中最大的一个)

2

x , 3x ,3x 4x , 4x 5x } 的最小值是

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

f ( A) ? 2cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值;
5

(Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ?

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , 底面 ABCD 为矩形, E 为 PD 上一点, AD ? 2 AB ? 2 AP ? 2 , PE ? 2DE . P F E A B (I)若 F 为 PE 的中点,求证 BF ? 平面 ACE ; (II)求三棱锥 P ? ACE 的体积. 【答案】 (I)详见解析; (II)三棱锥 P ? ACE 的体积为 C D

第 16 题

2 . 9

6

17.(本小题满分 15 分) 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动” :商场内所有商品按标价的八折出售,折后价 格每满 500 元再减 100 元.如某商品标价为 1500 元,则购买该商品的实际付款额为 1500× 0.8-200=1000(元) .设购买某商品得到的实际折扣率 ? 实际付款额 .设某商品标价为 商品的标价 x 元,购买该商品得到的实际折扣率为 y . (Ⅰ)写出当 x ? (0,1000] 时, y 关于 x 的函数解析式,并求出购买标价为 1000 元商品得 到的实际折扣率; (Ⅱ)对于标价在[2500,3500]的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折 扣率低于

2 ? 3

(Ⅱ)当 x ?[2500,3500] 时, 0.8x ?[2000, 2800] .

7

① 当 0.8x ?[2000, 2500) 即 x ?[2500,3125) 时 , ∴ 2500 ? x ? 3000 ;

0.8 x? 400 2 解 得 x ? 3000 , ? x 3

18.(本小题满分 15 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异于点 4

A, B ,直线 AP, BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N ,
(Ⅰ)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求线段 MN 的长的最小值; (Ⅲ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论. y A P

O y B N F 第 18 题

x

M

8

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , BP 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0

y ? 1 y0 ? 1 y0 2 ? 1 x0 2 1 ? ? ?? . ( x0 ? 0 ) ,从而有 k1 ? k2 ? 0 ? y0 2 ? 1 , 2 x0 x0 x0 4 4

19. 已 知 a, b 是 实 数 , 函 数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx , f ?( x) 和 g ?( x) , 分 别 是
3 2

f ( x), g ( x)
的导函数, 若 f ?( 则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致. xg ) ( x?) 0? 在区间 I 上恒成立, (Ⅰ) 设a ? 0, 若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致, 求实数 b 的取值范围;

9

(Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致,求

a ? b 的最大值.
【答案】 (Ⅰ) b ? [2, ??) ; (Ⅱ)

1 . 3

a, b 中的小者;
因为 a, b 都不大于 0,所以, 2x ? b ? 0 ,所以,由 f ?( x) g ?( x) ? 0 知 3x ? a ? 0 ,所以
2

? ?

a ? x ?0; 3
10

当 0?a?b?? ?

a 时 , 由 f ?( x) ? g ( ?x) 在0 区 间 (b a 上 恒 成 立 , 即 , ) 3
0
在 区 间

( 3 x2 ? a ) ( x ? 2 b? )

(b a

,



)

20.(本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个无穷数列 {an } 、 {bn } 满足 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) . (Ⅰ)当数列 {an } 是常数列(各项都相等的数列) ,且 b1 ?
?

1 时,求数列 {bn } 的通项公式; 2

(Ⅱ) 设 {an } 、{bn } 都是公差不为 0 的等差数列, 求证: 数列 {an } 有无穷多个, 而数列 {bn } 惟一确定; (Ⅲ)设 an ?1 ?
2n 2an 2 ? an S (n ? N ? ) , Sn ? ? bi ,求证: 2 ? n ? 6. an ? 1 n2 i ?1

【答案】 (Ⅰ) bn ? n ? 【解析】

1 (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)详见解析. (n ? N ? ) ; 2

试题分析: (Ⅰ)由 {an } 是常数列,得 bn ?1 ? bn ? 2n(n ? N ) ,进而探求数列项间的关系; (Ⅱ)将等差数列 {an } 、{bn } 的通项公式代入 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) ,根据等
?

?

式恒成立,求首项和公差; (Ⅲ)利用题中所给关系式对 S n 进行适当放缩,求出上界和下界. 试题解析: (Ⅰ)因为数列 {an } 是常数列,且 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) ,所以
?

11

bn ?1 ? bn ? 2n(n ? N ? )? ①,因此 bn ? bn -1 ? 2(n-1)(n ? N ?,n ? 2)? ②,①-②得,
bn ?1 ? bn -1 ? 2(n ? N ?,n ? 2) ,这说明数列 {an } 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按
原顺序组成公差为 2 的等差数列,又 b1 ?

3 1 , b1 ? b2 ? 2 ,所以 b2 ? , 2 2

12


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