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2016


第 1 课时

复数的加减与乘法运算

1.掌握复数代数形式的加减运算.(重点) 2.理解复数乘法运算法则,能进行复数的乘法运算.(重点、难点) 3.掌握共轭复数的概念及应用.(易错点)

[基础·初探] 教材整理 1 复数的加减法 阅读教材 P113,完成下列问题. 1.复数的加法、减法法则 (1)条件:z1=a+bi,z2=c+di(其中 a,b,c,d 均为实数). (2)加法法则:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,减法法则:z1-z2=(a +bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 2.运算律 (1)交换律:z1+z2=z2+z1. (2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

判断正误: (1)复数与向量一一对应.( ) ) )

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.(

(3)因为虚数不能比较大小,所以虚数的模也不能比较大小.( 【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理 2 复数的乘法与共轭复数 阅读教材 P114 例 1 以下至 P115 练习以上部分,完成下列问题. 1.复数的乘法 (1)复数的乘法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),

z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)乘法运算律

1

对于任意 z1,z2,z3∈C,有 交换律

z1z2=z2z1

结合律

(z1z2)z3=z1(z2z3)

乘法对加法的分配律 2.共轭复数

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

(1)定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数 z=a+bi 的 共轭复数记作 z ,即 z =a-bi. (2)关系:若 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1,z2 互为共轭复数?a=c 且 b=-d. (3)当复数 z=a+bi 的虚部 b=0 时,z= z ,也就是说实数的共轭复数仍是它本身.

1.判断正误: (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( (2)若 z1,z2∈C,且 z +z =0,则 z1=z2=0.( (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( 【答案】 (1)× (2)× (3)√ )
2 1 2 2

)

)

2.(2016·北京高考)设 a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a=________. 【导学号:01580062】 【解析】 (1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i. ∵其对应点在实轴上, ∴a+1=0,即 a=-1. 【答案】 -1 [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________ 解惑:_______________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________ 解惑:_______________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________
2

解惑:_______________________________________________

[小组合作型] 复数的加、减法运算

?1 1 ? ?4 3 ? (1)? + i?+(2-i)-? - i?=________. 3 2 ? ? ?3 2 ?
(2)已知复数 z 满足 z+1-3i=5-2i,求 z. (3)已知复数 z 满足|z|+z=1+3i,求 z. 4? ?1 3? ?1 1 ? ?4 3 ? ?1 【自主解答】 (1)? + i?+(2-i)-? - i?=? +2- ?+? -1+ ?i 3 2 3 2 3 3 2 2? ? ? ? ? ? ? ? =1+i. 【答案】 1+i (2)法一:设 z=x+yi(x,y∈R),因为 z+1-3i=5-2i,所以 x+yi+(1-3i)=5- 2i,即 x+1=5 且 y-3=-2,解得 x=4,y=1,所以 z=4+i. 法二:因为 z+1-3i=5-2i,所以 z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. (3)设 z=x+yi(x,y∈R),则|z|= x +y ,又|z|+z=1+3i,所以 x +y +x+yi =1+3i,由复数相等得?
2 2 2 2

? x2+y2+x=1, ?y=3,

解得?

?x=-4, ? ?y=3, ?

所以 z=-4+3i.

1.复数加、减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. (2)把 i 看作一个字母,类比多项式加、减中的合并同类项. 2.当一个等式中同时含有|z|与 z 时,一般要用待定系数法,设 z=a+bi(a,b∈R).

[再练一题] 1.复数 z 满足 z-(1-i)=2i,则 z 等于________. 【解析】 ∵z-(1-i)=2i, ∴z=1-i+2i=1+i. 【答案】 1+i 复数的乘法运算

3

(1) 已知 a , b ∈ R , i 是虚数单位 . 若 a + i = 2 - bi ,则 (a + bi) = _______. (2)复数(3+2i)i=________. 【精彩点拨】 (1)结合复数相等分别求出 a,b 的值,然后再做复数的乘法运算或直接 运用完全平方公式进行运算. (2)直接运用结合律复数的乘法运算. 【自主解答】 (1)∵a+i=2-bi,∴a=2,b=-1, ∴(a+bi) =(2-i) =2 -2×2×i+i =3-4i. (2)(3+2i)i=3i+2i =-2+3i. 【答案】(1)3-4i (2)-2+3i
2 2 2 2 2

2

1.两个复数代数形式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开;再将 i 换成-1;然后再进行复数的加、减运算,化简为复 数的代数形式. 2.常用公式 (1)(a+bi) =a +2abi-b (a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a +b (a,b∈R); (3)(1±i) =±2i.
2 2 2 2 2 2 2

[再练一题] 2.若|z1|=5,z2=3+4i,且 z1·z2 是纯虚数,则 z1=________. 【导学号:01580063】 【解析】 设 z1=a+bi(a,b∈R),则|z1|= a +b =5,即 a +b =25,
2 2 2 2

z1·z2=(a+bi)·(3+4i)=(3a-4b)+(3b+4a)i.
∵z1·z2 是纯虚数. 3a-4b=0, ? ? ∴?3b+4a≠0, ? ?a2+b2=25,
?a=4, ? ?b=3 ? ?a=-4, ? ?b=-3. ?

解得?

或?

∴z1=4+3i 或 z1=-4-3i. 【答案】 4+3i 或-4-3i [探究共研型] 共轭复数的应用 探究 1 两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?
4

【提示】 若 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,则 z+ z =2a∈R.因此,和一定是 实数;而 z- z =2bi.当 b=0 时,两共轭复数的差是实数,而当 b≠0 时,两共轭复数的差 是纯虚数. 探究 2 若 z1 与 z2 是共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什么关系? 【提示】 |z1|=|z2|. 已知 z∈C, z 为 z 的共轭复数,若 z· z -3i z =1+3i,求 z. 【精彩点拨】 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi;代入所给等式,利用复数的运 算及复数相等的充要条件转化为方程组求解. 【自主解答】 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,(a,b∈R), 由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i, 即 a +b -3b-3ai=1+3i,
?a +b -3b=1, ? 则有? ? ?-3a=3,
2 2 2 2

解得?

?a=-1, ? ? ?b=0

或?

?a=-1, ? ? ?b=3.

所以 z=-1 或 z=-1+3i. [再练一题] 3.已知复数 z1=(-1+i)(1+bi),z2= 求 a,b 的值. 【解析】 z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,

a+2i
1-i

,其中 a,b∈R.若 z1 与 z2 互为共轭复数,

a+2i ?a+2i??1+i? a+ai+2i-2 a-2 a+2 z2= = = = + i,
1-i ?1-i??1+i? 2 2 2 由于 z1 和 z2 互为共轭复数,所以有

a-2 ? ? 2 =-b-1, ?a+2 ? ? 2 =-?1-b?,

解得?

?a=-2, ? ?b=1. ?

5

1.(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=________. 【解析】 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i. 【答案】 -11i 2.(2016·济南高二检测)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=________. 【解析】 (3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i =5-5i. 【答案】 5-5i 3.(2016·开封高二检测)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z + z 的虚部为________. 【解析】 z + z =(1+i) +(1-i) =0,∴z + z 的虚部为 0. 【答案】 0 4.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,则 z2=______. 【解析】 ∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴z1=2-i,设 z2=a+2i,a∈R,则 z1·z2=(2 -i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,∵z1·z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i. 【答案】 4+2i 5.计算: 3 ? ? 1 2 (1)(1-i)?- + i?(1+i);(2)(2-i) . ? 2 2 ? 3 ? ? 1 【解】 (1)法一:(1-i)?- + i?(1+i) ? 2 2 ? 3 1 3 ? ? 1 =?- + i+ i- i2?(1+i) 2 2 ? ? 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

6

=? =

3+1 ? ? 3-1 + i?(1+i) 2 ? 2 ? 3-1 3+1 3-1 3+1 2 + i+ i+ i 2 2 2 2

=-1+ 3i. 3 ? ? 1 法二:原式=(1-i)(1+i)?- + i? ? 2 2 ? 1 3 ? 2 ? =(1-i )?- + i? 2 2 ? ? 3 ? ? 1 =2?- + i? ? 2 2 ? =-1+ 3i. (2)(2-i) =(2-i)(2-i) =4-4i+i =3-4i.
2 2

我还有这些不足: (1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案: (1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________

7


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