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向量法求空间距离教案

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龙文学校个性化辅导教案提纲
教师:_______ 学生:_______ 年级:______ 授课时间:_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析:向量法求空间距离
能用向量方法解决空间距离问题,了解向量方法在研究集合问题中的应用.

二、授课内容及过程:
1、点到平面的距离
? 方法:已知 AB 为平面 ? 的一条斜线段, n 为平面 ? 的法向量, ??? ? ? AB ? n 则 A 到平面 ? 的距离 d = ? . n

C
? n

A

a

b

2、两条异面直线距离:
??? ? ? AB ? n 方法: a 、 b 为异面直线, a 、 b 间的距离为: d ? ? . n

?

B D

其中 n 与 a 、 b 均垂直, A 、 B 分别为两异面直线上的任意两点 S 题型 1:异面直线间的距离 例 1、如图 2,正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 ,底边长 AB ? 2 。求异 面直线 BD 和 SC 之间的距离? A 题型 2:点面距离 D
x

?

z

O 图2 B

C
y

如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 ,中, AD ? AA ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AD 上移动.(1)证明: D1E ? A D ; 1 1 1 (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y , z 轴, 建立空间直角坐标系,设 AE ? x ,则 A (1,0,1), D1 (0,0,1), E(1, x,0), A(1,0,0), C(0, 2,0) 1 (1) 因为DA , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA ? D1 E. 1 1

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(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

?n ? AC ? 0, ?? a ? 2b ? 0 ? 也即 ? , AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ?n ? AD1 ? 0, ?? a ? c ? 0 ?
得?

| D1 E ? n | 2 ? 1 ? 2 1 ?a ? 2b ? ? . ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 h ? 3 3 |n| ?a ? c

(3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

?n ? D1C ? 0, ?

?2b ? c ? 0 令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x ,∴ n ? (2 ? x,1,2). ?? ?n ? CE ? 0, ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?

依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . ∴ x1 ? 2 ? 3(不合, 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5

舍去) x2 ? 2 ? 3 .∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 , 题型 3:线面距离

? . 4

A1

C1

B1

例 3、已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 8,对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的 中点。 (1)求点 B1 到直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB1 到平面 C1BD 的距离。 A D B 六、本次作业及点评: 课后练习 四、学生对本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:______________ 五、教师评定: 1、学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差 教师签字:_______________ 2、学生本次上课情况评价: ○ 好 C