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2005学年杭州二中高三年级第四次月数学试卷


2005 学年杭州二中高三年级第四次月考 理科) 数学试卷 (理科) 06.1.13
命题:杨永华 校对:徐存旭 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 在每小题给出的四个选项中 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的 (1)设全集 U=R,集合 M={x| x>1},P={x| x2>1},则下列关系中正确的是 ( ) (A)M=P (2)复数 Z = ( 6 + (B)P

?

M

(C)M

?

P

(D)

?U M I P = ?
( )

2i ) 3 等于

(A) 16 2 (B) 16 2i (C) ? 16 2i (D) ? 16 2 (3)若“p 或 q”成立的充分条件是“┐r”,则推理:①p 或 q ? ┐r;②┐r ? p;③r ? ┐(p 或 q) ;④┐p 且┐q ? r ,正确的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C) 2 (D)3 (4)已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的函数,它的反函数为 f (A) 2a (B) a
?1

( x) ,若 f ?1 ( x + a ) 与
( )

f ( x + a ) 互为反函数,且 f ( a ) = a ( a 为非零常数),则 f (2a ) 的值为
(D) ? a

(C)0 (5)市区某公共汽车站有 10 个候车位(成一排),现有 4 名乘客随便坐在某个座位上 候车,则恰好有 5 个连续空座位的候车方式的概率为( )

2 (A) 21
(6)函 数

4 (B) 21
x

1 (C) 21

5 (D) 21
)

y = 23 的 图 象 与 直 线

y = x 的 位置关系是 (

(7)已知
?

1 {an } 是等比数列,公比为 q ,设 Sn = a1 + a2Cn + a3Cn2 + L + an +1Cnn (其中

n ∈ N , n > 2 ) 且 Tn = C + C + C + L + C , 有极限,则公比 q 的取值范围是
0 n 1 n 2 n

n n (其中

Sn } n ∈ N , n > 2 ) 如果数列 Tn ,
?

{





(A) ?3 < q ≤ 1 且 q ≠ 0 (C) ?1 < q ≤ 1 且 q ≠ 0
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(B) ?3 < q < 1 且 q ≠ 0 (D) ?1 < q < 1 且 q ≠ 0

n n ?1 (8)一同学在电脑中按 1 编制一个程序生成若干个实心圆( n n 次生成的实心圆的个数)并在每次生成后插入一个空心圆,当某次生成的实 表示第 心圆个数达到 2016 时终止,则此时空心圆个数为 ( ) (A)445 (B)64 (C)63 (D)62

a = 1, a = a

+ n(n ≥ 2)

a

(9)当

0< x<

π
2 时,函数

f ( x) =

1 + cos 2 x + 8 sin 2 x sin 2 x 的最小值为

(

)

(B) 2 3 (C)4 (D) 4 3 uuu r uuu r uur uuu uuu r r OB = ( ?2,0), OC = (2,0), CA = (cos θ ,sin θ ) ,则 cos < OA, OB > 的 (10)已知向量 (A)2 取值范围是 ( )

[
(A)

15 ,1] 4

(B)

[?

3 ,1] 2

(C)

[ ?1,

2 5 ] 5

(D)

[ ?1, ?

3 ] 2

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题:

x 1 ( ? 3 )8 x 的展开式中常数项是第 (11)在 2 1 lim = 1 ? x →3 x ?3 x+2 (12) .

项.

(13)某次高三的两个班级数学单元测验服从正态分布 N 绩为 60 分,问笫 20 名的成绩为

= 0.8315 )

.

( 70,100 ) ,巳知第 100 名的成 φ (1) = 0.8413, φ ( 0.96 ) (参考数据:

(14)有 9 个乒乓球,其中 2 只是相同的,均为红色,有 4 只是白色的,也是相同的, 剩下 3 只球均不相同,颜色为黄,兰,黑.某人从这 9 个球中至少拿一只,有多少种拿 法 .

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2005 学年杭州二中高三年级第四次月考 数学(理科) 数学(理科)答题卷 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 在每小题给出的四个选项中 有一项是符合题目要求的.把答案填写在对应方格内 有一项是符合题目要求的 把答案填写在对应方格内. 把答案填写在对应方格内

题 1 号

2

3

4

5

6

7

8

9 10

答 案

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 填空题: 小题, 把答案填在答卷中的横线上. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答卷中的横线上 (11) (13) (12) (14)

三.解答题:本大题共 6 小题,每小题 14 分,共 84 分.解答应写出文字说明,证明过 解答题: 小题, 解答应写出文字说明, 程或演算步骤. 程或演算步骤 (15)(本小题满分 14 分) (

A = {x | ( x ? 2)[ x ? (3a + 1) < 0}, B = {x |
已知集合 (Ⅰ)当 a = 2 时,求 A ∩ B ; (Ⅱ)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

x ? 2a < 0} x ? (a 2 + 1) .

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(16)(本小题满分 14 分) (

(Ⅰ)求

uuur 5 uuu r uuur uuu r r r AC = 5, AB = 8, AD = DB, uuu uuu CD ? AB = 0 , 11 在△ABC 中,已知 uuu uuur r AB ? AC


4 π cos(θ + x) = , ?π < x < ? 5 4 ,求 sin x . (Ⅱ)设∠BAC= θ ,且已知

(17)(本小题满分 14 分) (

1 3 4 x + ax + b ? 3 已知函数 , (a, b ∈ R ) 在 x = 2 处取得极小值 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; 1 3 10 x + ax + b ≤ m 2 + m + 3 对 x ∈ [?4,3] 恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 3 f ( x) =

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(18)(本小题满分 14 分) ( 数列{

an

}满足递推式

an = 3an ?1 + 3n ? 1(n ≥ 2),

其中 a4 = 365 ,

? an + λ ? ? n ? a ,a ,a 3 ? 为等差数列,求 λ 值; (Ⅰ)求 1 2 3 ; (Ⅱ)若存在一个实数 λ ,使得 ? an
(Ⅲ)求数列{ }的前 n 项之和.

(19)(本小题满分 14 分) 某医院为了提高服务质量,进行了下面的调查发现:当 ( 还未开始挂号时,有 N 个人已经在排队等候挂号.开始挂号后排队的人数平均每分钟增 加 M 人.假定挂号的速度是每窗口每分钟 K 个人,当开放一个窗口时,40 分钟后恰好不 会出现排队现象;若同时开放两个窗口时,则 15 分钟后恰好不会出现排队现象.根据以 上信息,请你解决以下问题: (Ⅰ)若要求 8 分钟后不出现排队现象,则至少需要同时开放几个窗口? (Ⅱ)若医院做出承诺,开始挂号后每人等待的时间不超过 25 分钟,问:若 N =60,当 只开放一个窗口时,能否实现做出的承诺?

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(20)(本小题满分 14 分) ( 设关于 x 的方程 2 x ? tx ? 2 = 0 的两根为 α , β (α < β ), 函数
2

f ( x) =

4x ? t . x2 + 1

(Ⅰ)求 f (α ) ? f ( β ) 的值; (Ⅱ)证明: f ( x ) 在[ α , β ] 上是增函数; (Ⅲ)对任意正数 x1 , x2 ,求证:

f(

x1α + x 2 β x β + x 2α )? f( 1 ) < 2α ? β x1 + x 2 x1 + x 2

.

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参考答案 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分

题 1 号

2

3

4

5

6

7

8

9 10

答 C 案

B

B

C

A

C

A

C

C

D

二、填空题,每小题 4 分,共 16 分 12.7 13.79.6 14.959 三、解答题(共 74 分) 15.解:(1)当 a=2 时,A=(2,7),B=(4,5)∴A∩B=(4,5)………………4 分

1 11. 3

1 (2)∵B=(2a,a +1),当 a< 3 时,A=(3a+1,2)………………………………6 分
2

?2a ≥ 3a + 1 B ? A, 必须? 2 , 此时a = ?1; ?a + 1 ≤ 2 ……………………………… 8 分 要使 1 当 a= 3 时,A=φ,使 B ? A 的 a 不存在;………………………………… 10 分 1 当 a> 3 时,A=(2,3a+1) ?2 a ≥ 2 B ? A, 必须? 2 , 此时1 ≤ a ≤ 3. ?a + 1 ≤ 3a + 1 要使 …………………………12 分 ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}……………… 14 分 综上可知,使 B
16.(本小题满分 14 分) (

1



uuur 5 uuu uuur 5 uuu uuu r r r uuur 5 uuu uuu r r uuu uuur r Q AD = DB,∴ AD = AB Q AB = 8,∴ AD = ,Q CD ? AB = 0,∴ CD ⊥ AD 11 16 2 uuur 1 uuu uuur r Rt ?CAD,Q AC = 5,∴ cos ∠BAC = , AB ? AC = 7 2 ,

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1 π π? 4 ? cos θ = , θ = , cos (θ + x ) = cos ? x + ? = , 2 3 3? 5 ? (2)
Q ?π < x < ?

π π π? 3 ? 2π π π < x + < , ∴? < x + < 0,∴ sin ? x + ? = ? 2 3 3? 5 ? 4 3 3 12 ?? π? π? 3+ 4 3 ∴ sin x = sin ?? x + ? ? ? = ? 3 ? 3? 10 ??
π
,∴?

′ ′ 17. (1) f ( x ) = x + a ,由 f (2) = 0得a = ?4
2


2

4 f (2) = ? 得b = 4 3



f ( x) =

1 3 x ? 4x + 4 3



令f ′( x) = x ? 4 > 0得x > 2或x < ?2 ∴ f ( x)的增区间为( ? ∞, 2),(2, ∞); ? + 4 28 4 f ( ?4) = ? , f ( ?2) = , f (2) = ? , f (3) = 1 3 3 3 (2)由 28 10 28 ≤ m2 + m + f ( x )的最大值为 , 3 3 则 3 1 3 10 10 x + ax + b ≤ m 2 + m + f ( x) max ≤ m 2 + m + x ∈ [?4,3] 恒成立,只要 3对 3 要使 3
就可以了,

28 10 ≤ m2 + m + 3 即 3

得 m ≥ 3或m ≤ ?2

所以实数 m 的取值范围是 m ≥ 3或m ≤ ?2 18.解:(1)由 同理求得 a2=23,

a n = 3a n ?1 + 3 n ? 1, 及a 4 = 365知a 4 = 3a 3 + 3 4 ? 1 = 365, 则a3 = 95
a1=5

an + λ a +λ }为一个等差数列, 于是设 n n = xn + y n 3 3 n ∴ a n = ( xn + y ) ? 3 ? λ , 又由a1 = 5, a 2 = 23, a3 = 95 ( 2) Q {

? ?5 = a1 = ( x + y ) ? 3 ? λ ? 知?23 = a 2 = (2 x + y ) ? 9 ? λ ? ?95 = a3 = (3 x + y ) ? 27 ? λ ?

1 1 求得λ = ? , x = 1, y = 2 2

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1 1 1 1 ∴ an = (n + ) ? 3n + , 而an = (n + ) ? 3n + 满足递推式 2 2 2 2 1 因此λ = ? . 2
1 1 1 (3) Q a n = (n + ) ? 3 n + 先求bn = (n + ) ? 3 n 的前n项和, 2 2 2 1 1 1 记Tn = (1 + ) ? 3 n + (2 + ) ? 3 2 + L + (n + ) ? 3 n 2 2 2 1 1 1 2 3 则3Tn = (1 + ) ? 3 + (2 + ) ? 3 + L + (n + ) ? 3 n +1 2 2 2 由上两式相减

1 1 Tn ? 3Tn = (1 + )3 + 32 + 33 + L + 3n ? (n + ) ? 3n +1 2 2 2 n +1 9 3 ?3 1 9 1 1 ?2Tn = + ? (n + ) ? 3n +1 = + (3n +1 ? 9) ? (n + ) ? 3n +1 2 1? 3 2 2 2 2 n +1 = ?n ? 3 1 Tn = n ? 3n +1 2 n n n n 因此{an } ? 前n项和为Tn + = ? 3n +1 + = (3n +1 + 1). 2 2 2 2
19.解:(Ⅰ)设要同时开放 x 个窗口才能满足要求, 解

( ? N + 40 M = 40 K ,LL 1) ? ( ? N + 15M = 15 K × 2,LL 2) ? N + 8M ≤ 8 Kx. LL 3) ( 则 ? ? K = 2.5M , ? N = 60M . 由(1)、(2)得 ?
代入(3)得 60M+8M ≤8×2.5Mx,解得 x≥3.4. 故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求. (Ⅱ)N=60 时,K=2.5,M=1,设第 n 个人的等待时间为 f (n) . 当 n≤60 时,第 n 个人的等待时间为他前面的 n-1 个人挂号完用去的时间; 当 n>60 时,第 n 个人的等待时间为他前面的 n-1 个人挂号. 用去的时间减去他在开始挂号后到来挂号用去的时间 ,即

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?n ?1 (n ≤ 60), ? 2 .5 ? f ( n) = ? ? n ? 1 ? (n ? 60) (n > 60). ? 2 .5 ? 当 n≤60 时,则当 n=60 时, f (n) 取最大值为 23.6 分钟.
当 n>60 时,则当 n=61 时, f (n) 取最大值为 23 分钟. 故等待时间最长为 23.6 分钟,说明能够实现承诺.

20.解析:(1)由根与系数的关系得,

α + β = , αβ = ?1.

t 2

∴ f (α ) =

同法得 f(

4α ? t 4α ? 2(α + β ) 2 = = = ?2 β α 2 +1 α 2 ? αβ α β ) = ?2α ? f (α ) ? f ( β ) = 4αβ = ?4

4( x 2 + 1) ? (4 x ? t )2 x ? 2(2 x 2 ? tx ? 2) = , / ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2 (2).证明:Q f (x)= 而当 x ∈ [α , β ] 时,
2x -tx-2=2(x- α )( x ? β ) ≤ 0, 故当 x ∈ [α , β ] 时, f (x)≥0, ∴ 函数 f(x)在[ α , β ] 上是增函数。
2 /

x1α + x 2 β x (β ? α ) x α + x2 β x (α ? β ) ?α = 2 > 0, 1 ?β = 1 < 0, x1 + x 2 x1 + x 2 x1 + x 2 x1 + x 2 (3)。证明: x1α + x 2 β x β + x 2α <β α< 1 <β x1 + x 2 x1 + x 2 , 同理 . x1 β + x 2α x β + x 2α ∴ f (α ) < f ( ) < f ( β ), 故 ? f ( β ) < ? f ( 1 ) < ? f (α ). x1 + x 2 x1 + x 2 x α + x2 β α) < f ( 1 ) < f ( β ). x1 + x 2 两式相加得: 又 f( ∴α < ? [ f ( β ) ? f (α )] < f (
f(


x1α + x 2 β x β + x 2α )? f( 1 ) < f ( β ) ? f (α ), x1 + x 2 x1 + x 2

x1α + x 2 β x β + x 2α )? f( 1 ) < f ( β ) ? f (α ). x1 + x 2 x1 + x 2

β ) ? f (α ) = f ( β ) ? f (α ) 而由(1),f( α ) = ?2 β , f ( β ) = ?2α 且 f( , x α + x2 β x β + x 2α f( 1 )? f( 1 ) < 2α ? β x1 + x 2 x1 + x 2 ∴ .

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