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2019年版高中全程复习方略配套课件:212导数的应用(北师大版·数学理)语文_图文

第十二节 导数的应用

三年31考 高考指数:★★★★★ 1.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单 调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数 求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次); 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超 过三次). 3.会利用导数解决某些简单的实际问题.

1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的 极值(最值)是考查重点; 2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难 点; 3.题型有选择题和填空题,难度较小;与方程、不等式等知识 点交汇则以解答题为主,难度较大.

1.导数与函数单调性的关系 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 ①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内_单__调__递__增__; ②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_单__调__递__减__.(逆命题不成 立) ③如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为_常__数__函__数__.

(2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不 变号.

【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π )上的单调情况是_______. (2)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围 是_______.

【解析】(1)在(0,2π)上有f′(x)=1-cosx>0,所以f(x)在

(0,2π)上单调递增.

(2)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y′=3x2+2x+m≥0

恒成立,

即Δ=4-12m≤0,∴m≥ 1 .
3
答案:(1)单调递增

(2)m≥1
3

2.函数的极值
(1)极大值
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数 值都__小__于___x0点的函数值,称___点_x_0__为函数y=f(x)的极大值 点,其函数值__f_(_x_0)__为函数的极大值.

(2)极小值
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数 值都_大__于___x0点的函数值,称__点__x_0__为函数y=f(x)的极小值 点,其函数值__f_(_x_0_)_为函数的极小值. __极__大__值__与__极__小__值__统称为极值,极__大__值__点____与__极__小__值__点__统
称为极值点.

(3)导数与极值

x f′(x) y=f(x)

(a,x0) +
增加↗

x0 0 极大值

x f′(x) y=f(x)

(a,x0) -
减少↘

x0 0 极小值

(x0,b) -
减少↘
(x0,b) +
增加↗

【即时应用】

(1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“√”或“×”)

①导数为零的点一定是极值点

()

②如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)

是极大值

()

③如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)

是极大值

()

(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)

内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点

的个数为_________.

y=f′ (x)
y

b

a

o

x

(3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为________.

【解析】(1)①导数为零只是函数在该点取极值的必要条件, ②正确,③f(x0)为极小值,故错误. (2)从f′(x)的图像可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次 为增→减→增→减,所以f(x)在(a,b)内只有一个极小值点; (3)由f′(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3, 当x<-3时,f′(x)>0, 当-3<x<1时,f′(x)<0, 当x>1时,f′(x)>0, ∴1和-3都是f(x)的极值点.

答案:(1)①× ②√ ③× (2)1 (3)1和-3

3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数y=f(x)极值的步骤: ①求出导数f′(x); ②解方程f′(x)=0; ③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的解x0左右两侧的符号, 确定x0是否为极值点,若是,是极大值点还是极小值点.

(2)求函数在闭区间[a,b]上的最值可分两步进行: ①求y=f(x)在(a,b)内的_极__值__; ②将函数y=f(x)的各极值与区间[a,b]端点处的函数值f(a)、 f(b)比较,其中_最__大__的__一__个__为最大值,最__小__的__一__个__为最小值.

【即时应用】 (1)思考:最值是否一定是极值? 提示:不一定.如果最值在端点处取得就不是极值.

(2)函数f(x)=3x-4x3,x∈[0,1]的最大值是_____.

【解析】由f′(x)=3-12x2=0得x= ? 1,

2

∵f(0)=0,f(

1 2

)=1,f(1)=-1,∴f(x)max=1.

答案:1

(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则f(2)=___. 【解析】f′(x)=3x2+2ax+b,由题意

?f ??f

?((11))??100,即???13??a2a?

b ?

? b

a2 ? ?0

10 ,

得a

?

4或a

?

?3.

但当a=-3时,b=3,f′(x)=3x2-6x+3≥0,故不存在极值,∴a=4,

b=-11,f(2)=18.

答案:18

4.导数的实际应用 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、 效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模 型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中 要注意实际问题的意义.

【即时应用】 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位: 万件)的函数关系式为 y ? ? 1 x3 ? 81x ? 234, 则使该生产厂家获得
3
最大年利润的年产量为___________. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成
两块,其中一块是梯形,记 S ? (梯形的周长)2 , 则S的最小值是
梯形的面积
_______.

【解析】(1)y′=-x2+81,令y′=0得 x=9或x=-9(舍去),当x<9时y′>0; 当x>9时y′<0,故当x=9时函数有极大值,也是最大值; 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.

(2)设剪成的小正三角形的边长为x,

则:S ?

(3 ? x)2

1 (x ?1) 3 (1? x)

2

2

?

4 3

(3 ? 1?

x)2 x2

(0<x<1),

S(x) ?

4 3

(3 ? 1?

x)2 x2

,

4 (2x ? 6) (1? x2 ) ? (3 ? x)2 (?2x)

S?(x) ? 3

(1? x2 )2

?

4 3

?2(3x ?1)(x ? 3)

(1? x2 )2

,

令S′(x)=0(0<x<1),得 x ? 1 ,
3
当x∈(0, 1 )时,S′(x)<0,S(x)递减;
3

当x∈( 1 , 1)时,S′(x)>0,S(x)递增;
3

故当x=

1 3

时,S取得最小值

32 3

3

.

答案:(1)9万件

(2) 32 3
3

利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】 1.导数在函数单调性方面的应用 (1)利用导数判断函数的单调性; (2)利用导数求函数的单调区间; (3)已知函数单调性,求参数的范围.

2.导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)求定义域:求函数y=f(x)的定义域 (2)求根:求方程f′(x)=0在定义域内的根 (3)划分区间:用求得的方程的根把定义域划分为若干个区间 (4)定号:确定f′(x)在各个区间内的符号 (5)结果:求得函数在相应区间上的单调性,即得函数y=f(x) 的单调区间.

【提醒】当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f′(x)>0(或 f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.

【例1】(1)(2011·山东高考)函数y= x -2sinx的图像大致是
2
()

(2)(2012·景德镇模拟)已知f(x)=lnx: ①设F(x)=f(x+2)- 2x ,求F(x)的单调区间;
x ?1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1],
x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.

【解题指南】(1)排除法与求导相结合.根据导数与函数单调性
的关系判断.
(2)由题意只需解不等式F′(x)>0和F′(x)<0即可得到单调 区间;原不等式恒成立可转化为 ln x ?1 ≤3ma+4-m2恒成立,进
2x ?1
一步转化为( ln x ?1 )max≤(3ma+4-m2)min成立.
2x ?1

【规范解答】(1)选C.当x=0时,y=0,排除A.

当x>2π时,y= x -2sinx>0,排除D.

2

∵由y′= 1 -2cosx>0,得cosx< 1 ,在满足上式的x的区间内,

2

4

y是增函数.

由y′= 1 -2cosx<0,得cosx> 1 ,在满足上式的x的区间内,

2

4

y是减函数,

∴由余弦函数的周期性知,函数的增减区间有无数多个,∴B不

正确,C正确.

(2)①F(x)=ln(x+2)- 2x
x ?1
定义域为:(-2,-1)∪(-1,+∞).

F′(x)=

x

1 ?

2

?

2?x ?1? ? 2x ?x ?1?2

?

x

1 ?

2

?

?x

2
? 1?2

?

?

x
?

? x

1?2 ? 2?x ? 2? ? 2??x ?1?2

?

?

x

?

x2 ?3
2??x ?1?2

,

令F′(x)>0,得单调增区间为(-2,- 3 )和( 3 ,+∞)

令F′(x)<0,得单调减区间为(- 3 ,-1)和(-1, 3 )

②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为:
ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即
ln x ?1 ≤3ma+4-m2.
2x ?1
现在只需求y= ln x ?1 (x∈[0,1])的最大值和y=3ma+4-
2x ?1
m2(a∈[-1,1])的最小值.
因为 x ?1 ? 1 ? 1 在[0,1]上单调递减,
2x ?1 2 2(2x ?1)
所以y= ln x ?1 (x∈[0,1])的最大值为0,
2x ?1

而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的线性函数,故其最小值只 能在a=-1或a=1处取得,于是得到:

?0 ? ? ?3m

?3m ?0

?

4

?

m2



?0 ? 3m ??3m<0

?

4

?

m2

,

解得0≤m≤1或-1≤m<0,所以m的取值范围是[-1,1].

【反思·感悟】1.求函数的单调区间时,切记定义域优先的原 则,一定要注意先求定义域. 2.恒成立问题的处理,一般是采用“分离参数,最值转化”的 方法.

利用导数研究函数的极值 【方法点睛】1.应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f′(x0)=0是可导函数y=f(x)在x0 处取得极值的必要不充分条件. 2.数形结合求参数的范围 利用导数研究了函数的单调性和极值后,可以画出草图,进行 观察分析,确定满足条件的参数范围.

【例2】已知函数f(x)=xe-x(x∈R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对 称.证明当x>1时,f(x)>g(x). (3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2.

【解题指南】由f′(x)=0得出可能的极值点,再列表判断;利 用已知条件求出y=g(x)的解析式,构造新函数进行证明.讨论 x1,x2的可能取值,判断其范围,再利用f(x)的单调性证明.

【规范解答】(1)f′(x)=(1-x)e-x.

令f′(x)=(1-x)e-x=0,得x=1.

根据x值列表,分析f′(x)的符号,f(x)的单调性和极值点

x

(-∞,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

+

0

-

f(x)

单调递增

1

单调递减

e

所以f(x)在区间(-∞,1)内是增函数,在区间(1,+∞)内是减函

数.
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)= 1 .
e

(2)因为函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称, 所以g(x)=f(2-x),于是g(x)=(2-x)ex-2. 记F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=xe-x+(x-2)ex-2, F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x, 当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0, 又e-x>0,所以F′(x)>0, 于是函数F(x)在区间[1,+∞)上是增函数. 因为F(1)=e-1-e-1=0,所以, 当x>1时,F(x)>F(1)=0.因此f(x)>g(x).

(3)①若(x1-1)(x2-1)=0,由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与 x1≠x2矛盾; ②若(x1-1)(x2-1)>0,由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与x1≠x2 矛盾; 根据①,②可得(x1-1)(x2-1)<0. 不妨设x1<1,x2>1. 由(2)可知f(x2)>g(x2)=f(2-x2), 所以f(x1)=f(x2)>g(x2)=f(2-x2).

因为x2>1,所以2-x2<1,又x1<1,由(1)知f(x)在区间(-∞,1) 内是增函数, 所以x1>2-x2,即x1+x2>2.

【反思·感悟】1.求函数的极值时,极易弄混极大值、极小 值.2.利用导数研究了单调性和极值,就可以大体知道函数的 图像,为数形结合解题提供了方便.

导数在实际问题中的应用 【方法点睛】1.导数在实际问题中的应用 在求实际问题中的最值时,一般要先恰当地选择变量,建立函 数关系式,并确定其定义域,然后利用导数求函数最值的方法 加以解决.注意检验结果与实际是否相符. 2.实际问题中的最值 根据实际意义,函数存在最值,而函数只有一个极值,则函数 的极值就是最值.

【例3】(2011·山东高考)某企业拟建 造如图所示的容器(不计厚度,长度单 位:米),其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 80? 立方
3
米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知 圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米 建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r.

【解题指南】本题为应用题,(1)先求出l和r的关系,再根据 问题情境列出函数解析式,注意函数的定义域.(2)利用导数求 函数的最值.先求导,再判断函数的单调性,然后根据单调性 求出极值,再由函数的定义域求出最值.

【规范解答】(1)因为容器的容积为 80? 立方米,

所以 4?r3 ? ?r2l ? 80?,

3

3

3

解得l

?

80 3r 2

?

4r 3

,由于l

?

2r,因此0<r

?

2.

所以圆柱的侧面积为

2?rl

?

2?r(

80 3r2

?

4r ) 3

?

160? 3r

?

8?r 2 3

,

两端两个半球的表面积之和为4πr2,

所以建造费用 y ? 160? ? 8?r2 ? 4?cr2,定义域为(0,2].
r

(2)因为

y?

?

?

160? r2

?16?r

?

8?cr

?

8?[(c

?

2)r3 r2

?

20]

,

0<r

?

2.

由于c>3,所以c-2>0,

所以令y?>0得 : r>3 20 ; c?2
令y?<0得 : 0<r<3 20 , c?2

①当3<c ? 9,即3 20 ? 2 时,函数y在(0,2]上是单调递减

2

c?2

的,故建造费用最小时r=2.

②当 c>9,即0<3 20 <2 时,函数y在(0,2]上是先减后增

2

c?2

的,故建造费用最小时 r ? 3 20 .
c?2

【反思·感悟】1.解决实际问题,数学建模是关键,恰当变量 的选择,决定了解答过程的繁简;函数模型的确定,决定了能 否解决这个问题. 2.解决实际问题必须考虑实际意义,忽视定义域是这类题目失 分的主要原因.

【满分指导】函数综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011·湖南高考)设函数f(x)=x- 1 -alnx
x
(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2,记过点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a? 若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.

【解题指南】(1)对f(x)求导,就a的取值分类讨论; (2)假设存在a满足条件,判断条件是否满足.

【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

1 a x2 ? ax ?1 f ?(x) ? 1? x2 ? x ? x2

………………………………2分

令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4.

①当|a|≤2时,Δ≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递

增.………………………………………………………………3分

②当a<-2时,Δ>0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,+∞)上,

f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.…………………4分

③当a>2时,Δ>0,g(x)=0的两根为 x1 ? a ?

a2 2

?

4

,x2

?

a

?

a2 ?4, 2

当0<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x

>x2时,f′(x)>0,故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递

增,在(x1,x2)上单调递减.

…………………………………………………………………6分

(2)由(1)知,a>2.

因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ x1 ? x2 -a(lnx1-lnx2),所以
x1x 2

k ? f (x1) ? f (x2) ? 1? 1 ? a lnx1 ? lnx2 ……………………8分

x1 ? x2

x1x 2

x1 ? x2

又由(1)知,x1x2=1.于是k=2-a·lnx1 ? lnx2 ,
x1 ? x2
若存在a,使得k=2-a,则 lnx1 ? lnx2 =1,
x1 ? x2

即lnx1-lnx2=x1-x2,亦即x2-

1 x2

-2lnx2=0(x2>1)(*)………10分

再由(1)知,函数h(t)=t-

1 t

-2lnt在(0,+∞)上单调递增,而x2

>1,所以x2-

1 x2

-2lnx2>1-

1 1

-2ln1=0.这与(*)式矛盾.…11分

故不存在a,使得k=2-a.………………………………………12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议:
在解答本题时有两点容易造成失分: 失
(1)利用导数判断函数单调性和求极值(或最值)不熟练, 分
忽视a的值对f′(x)符号的影响. 警
(2)对存在性命题的解题方法不熟悉,不能准确、有效地 示
确定解题方法.

解决函数的综合问题时,还有以下几点在备考时要高度 关注: 备 (1)函数的定义域、单调性、最值(极值)的求解应熟练掌 考 握; 建 (2)与数列、三角、解析几何、不等式等综合时,能够迅 议 速、准确地进行转化; 另外需要较强的运算能力,才能快速正确地解决一些函 数综合问题.

1.(2011·湖南高考)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图 像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )

(A)1

(B) 1

2

(C) 5 2

(D) 2 2

【解析】选D.由题意|MN|=t2-lnt(t>0),不妨令h(t)=t2-

lnt,则h′(t)=2t- 1,令h′(t)=0解得t= 2 ,因为t∈(0, 2 )

t

2

2

时,h′(t)<0,当t∈( 2 ,+∞)时,h′(t)>0,所以当t= 2

2

2

时,|MN|达到最小.

2.(2012·合肥模拟)y=f(x)在定义域(-3,6)内可导,其图像 如图,其导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集是
()

(A)(-3,1]∪[2,4] (B)[-2,-1]∪[3,5] (C)[-1,2]∪[4,6) (D)(-3,-2]∪[1,3]∪[5,6) 【解析】选C.由导函数的符号与原函数的单调性的关系知, f′(x)≤0的解集是[-1,2]∪[4,6),故选C.

3.(2011·广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1在x=____处取得极小值. 【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), ∴f(x)的单调递增区间为:(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为 (0,2),∴f(x)在x=2处取得极小值. 答案:2

4.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数 f(x)=ex(x>0)的图像上的动点,该图像在P处的切线l交y轴于 点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标 为t,则t的最大值是_______.

【解析】设 P(x0,ex0 ),则l : y ? ex0 ? ex0 (x ? x0 ), ∴ M(0,(1? x0 )ex0 ),过点P作l的垂线,

垂线方程为 y ? ex0 ? ?e?x0 (x ? x0 ),

? N(0, ex0 ? x0e?x0 ),

?t

?

1 [(1? 2

x0 )ex0

? ex0

?

x0e?x0 ]

?

ex0

?

1 2

x0 (e-x0 -ex0 ),

t?

?

1 2

(ex0

?

e?x0

)(1 ?

x0 ),

所以,t在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,



x0

? 1时, tmax

?

1 (e ? 2

1). e

答案: 1 (e ? 1)

2e