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【解析】上海市闸北区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题


闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷(一模)
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规定区域内 贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ? 【答案】 a ? ?1 解:因为 (a ? i)2 ? a2 ? 2ai ? i 2 ? 2i ,所以 a 2 ? 1 ? 2ai ? 2i ,即 a 2 ? 1 ? 0, ?2a ? 2 ,解得 a ? ?1 。 且
6 2.已知 (1 ? px2 ) 5 的展开式中, x 的系数为 80 ,则 p ?





【答案】2
k k 3 解:二项展开式的通项为 Tk ?1 ? C5 ( px2 )k ? C5 pk x2k ,由 2k ? 6 得, k ? 3 ,即 T4 ? C5 p3 x6 ? 10 p3 x6 ,

因为 x 6 的系数为 80,所以 10 p3 ? 80 ,即 p3 ? 8, p ? 2 。 3.设 ?an ? 是公比为 【答案】3
2 解:因为 {a2 n?1} 的公比为 q ?

1 的等比数列,且 lim(a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ) ? 4 ,则 a1 ? n ?? 2



a 1 ,所以 lim(a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ) ? 1 ? 4 ,解得 a1 ? 3 。 n?? 1 4 1? 4

4.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另 9 16


一条渐近线交于点 B ,则 ?AFB 的面积为 【答案】

10 3 4 4 x ,过点 F 且与 y ? x 平行 3 3

解:双曲线的右顶点为 A(3, 0) ,右焦点 F (5, 0) ,双曲线的渐近线为 y ? ?

4 20 ? ?y ? 3 x ? 3 4 20 4 20 10 10 ? 的直线为 y ? x ? m ,则 m ? ? ,即 y ? x ? ,由 ? ,解得 y ? ? ,即 yB ? ? , 3 3 3 3 3 3 ?y ? ? 4 x ? 3 ?
-1-

所以 ?AFB 的面积为

1 1 10 10 AF ? yB ? ? (5 ? 3) ? ? . 2 2 3 3


?21? x ,  x ? 0, 5.函数 f ( x) ? ? 则 f (3.5)的值为 ? f ( x ? 1), x ? 0.
【答案】 2 2 解: f (3.5) ? f (3.5 ? 4) ? f (?0.5) ? 21?0.5 ? 2 2 。

6.一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 ? (0 ? ? ? 45 ) ,在海面上向山顶的方向行进 m 米后,测得
? ?

山顶 C 的仰角为 90? ? ? ,则该山的高度为 【答案】 m tan 2?

米. (结果化简)

1 2

? ? 解:由题意知 ?CAB ? ? , ?CDB ? 90 ? ? , ?CDA ? 90 ?? ,且 AD ? m ,则 ?ACD ? 90 ? 2? 。由
?

正弦定理得

m AD AC ? ? ,即 ? ? c o s? 2 sin(90 ? 2? ) sin(90 ? ? )

AC mc o ? s , 即 AC ? ,所以山高 c? s o c o s? 2

BC ? AC sin ? ?

m sin ? cos ? 1 ? m tan 2? 。 cos 2? 2
2

? 7.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小
值时,点 P 的坐标为 【答案】 ( , ?1) .

1 4

解:抛物线的焦点坐标为 (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。
-2-

,过点 P 做准线

的垂线 PE,则 PE ? PF ,所以 PF ? PQ ? PQ ? PE ? QM ,当且仅当 Q, P, E 三点共线时,最小,此时

yP ? yQ ? ?1 ,所以 xP ?

1 1 ,即 P ( , ?1) . 4 4

8.甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一 人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 【答案】20
3 2 解:从 5 天中任选 3 天有 C5 种,其中先安排甲,然后在任意安排,乙、丙有 A2 ,所以不同的安排方法有 3 2 C5 A2 ? 20 种。

种.

9. (文)若实常数 a ? ?1,??? ,则不等式 log a (1 ? ) ? 1 的解集为

1 x



【答案】 (

1 , 0) 1? a 1 x 1 1 1 ? a ,解得 ? x ? 0 ,即不等式的解集为 ( , 0) 。 x 1? a 1? a


解:因为 a ? 1 , log a (1 ? ) ? 1 得 1 ?

x ? ? x ? 2 , x ? 0, 10. (文)设函数 f ( x ) ? ? ? 2 则方程 f ( x) ? x 2 ? 1 有实数解的个数为 ? x ,   x ? 0. ?

【答案】2
2 x 2x 解: x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 1 得, ? ? x ? 1 , 2 ? x ? 当 由 即
x

1 1 x , 在坐标系中, 做出函数 y ? 2 , y ? x ? x x

?2 2 的图 象,由图象 可知,当 x ? 0 时 ,有一个交 点。当 x ? 0 时, 由 f ( x) ? x 2 ? 1 得 x ? x ? 1 , 即

x 4 ? x 2 ? 1 ? 0 ,解得 x 2 ?
数解的个数为 2.

5 ?1 2 ,所以总共有 2 个交点,即方程 f ( x) ? x ? 1 的实 ? 0 ,此时有一解, 2

二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题 纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11. (文)圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是
2 2





-3-

A. k ? (? 2, 2) C. k ? (? 3, 3) 【答案】C

B. k ? (??, ? 2) ? ( 2, ??) D. k ? (??, ? 3) ? ( 3, ??)

解:因为直线和圆没有公共点,则有圆心到直线的距离 d ? 1 ,即

2 k 2 ?1

? 1 ,解得 ? 3 ? k ? 3 ,即

k ? (? 3, 3) ,选 C.
12.已知向量 a , b 满足: | a |?| b |? 1 ,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0 ) .则向量 a 与向量 b 的夹角 的最大值为 A. 【 B. 】

? 6

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

【答案】B 解 : 由

| k a ? b |? 3 | a ? kb |





? ? ? ? | ka ? b |2 ? ( 3 | a ? kb |)2





? ? 1 ?? ?2 ?? ? ? ?2 ? 2? 2 ? ? 1 所以 k 2 ? 2ka? ? 1 ? 3(1 ? 2ka? ? k 2 ) , a ? ? (k ? ) , 即 b b b k 2 a ? 2ka? ? b ? 3(a ? 2ka? ? k 2 b ) , b b 4 k ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 1 1 1 a? b 1 因为 k ? 0 ,所以 a? ? (k ? ) ? ? 2 k ? ? ,所以 cos ? a, b ?? ? ? ? , ? a, b ?? [0, ] ,即 b 3 4 k 4 k 2 a b 2
向量 a 与向量 b 的夹角的最大值为

? ,选 B. 3

13.以下四个命题中,真命题的个数为 ①集合 ?a1 , a2 , a3 , a4 ?的真子集的个数为 15 ; ②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角; ③设 z1 , z 2 ? C ,若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? 0 且 z 2 ? 0 ;
2 2





④设无穷数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ?S n ? 是等差数列,则 ?an ? 一定是常数列. A. 0 【答案】B 解:①正确。②错误。③当 z1 ? i, z2 ? 1 时,满足 z1 ? z 2 ? 0 ,但 z1 ? 0 且 z2 ? 0 ,所以错误。④错误。
2 2

B. 1

C. 2

D. 3

若 Sn 为等差数列,设 Sn ? S1 ? (n ?1)d ,n=1 时, a1 ? S1 , n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? d ,所以若 S1 ? d , 则 {an } 为常数列。若 S1 ? d ,则 {an } 不是常数列,它从第 2 项开始为常数,但第 1 项不等于第 2 项。选 B.
-4-

三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) , x ? R . (1)请指出函数 f (x) 的奇偶性,并给予证明; (2)当 x ? ?0, 15.

? ?? ? 时,求 f (x) 的取值范围. ? 2?

(文) (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 如图, 某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内种植三种农作物, 三种农作物分别种植在并排排列 的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植 区的占地面积为 800 平方米. (1)设试验田 ABCD 的面积为 S , AB ? x ,求函数 S ? f (x) 的解析式; (2)求试验田 ABCD 占地面积的最小值. 16. (文) (本题满分 15 分,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 6 分) 设定义域为 R 的奇函数 y ? f (x) 在区间 (??,0) 上是减函数. (1)求证:函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上是单调减函数; (2)试构造一个满足上述题意且在 (??,??) 内不是单调递减的函数. (不必证明) 17. (文) (本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分)

设点 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点. 2

(1)求数量积 PF ? PF2 的取值范围; 1 (2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 点 G ,求点 G 横坐标的取值范围.

18. (文) (本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)
-5-

若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的准等差数
?

列.如:若 c n ? ?

?4n ? 1,当n为奇数时; . ?4n ? 9,当n为偶数时

则 ?cn ? 是公差为 8 的准等差数列.

(1)求上述准等差数列 ?cn ? 的第 8 项 c8 、第 9 项 c9 以及前 9 项的和 T9 ; (2)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证: ?an ? 为准等差数列,并
?

求其通项公式; (3)设(2)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 63 ? 2012,求 a 的取值范围.

闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷答案
一、1. ? 1 ; 2.2; 3.3; 4.

10 ; 3

5. 2 2 ;

6. m tan 2? ;

1 2

7. ? , 1? ; ? 二、11.C.

?1 ?4

? ?

8.20; 13.B.

9. ?

? 1 ? (文)2. ,0 ? ; 10. ?1? a ?

12.B.

三、14.解: f ( x) ?

2 ? ?? 1 sin ? 2 x ? ? ? 2 4? 2 ?

(3 分)

(1)? f ? ?

2 ?1 ? ?? 1 ?? ? ? ? f ? ? ,? f (x) 是非奇非偶函数. ?? ?? 2 ? 8? 2 ?8?

(3 分)

注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f (0) ? 1 ? 0 ,? f (x) 不是奇函数. (2)由 x ? ?0, 所以 0 ?

? ? 5? 2 ?? ? ?? ? ? ,得 4 ? 2 x ? 4 ? 4 , ? 2 ? sin? 2 x ? 4 ? ? 1 . ? 2? ? ?
? 2 ? 1? 2 ?1 .即 f (x) ? ?0, ?. 2 ? 2 ?

(4 分)

2 ? ?? 1 sin? 2 x ? ? ? ? 2 4? 2 ?

(2 分)

15.解:设 ABCD 的长与宽分别为 x 和 y ,则

( x ? 4)( y ? 2) ? 800
y? 792 ? 2 x x?4

(3 分) (2 分)

(792 ? 2 x ) x (2 分) x?4 3200 ? 808 ? 968 , 令 x ? 4 ? t , t ? 0 ,则 S ? 2t ? t
试验田 ABCD 的面积 S ? xy ?
-6-

(4 分)

当且仅当 2t ?

3200 时, t ? 40 ,即 x ? 44 ,此时, y ? 22 . t
2

(2 分)

答: 试验田 ABCD 的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 . (1 分) 16. (文)解(1)任取 x1 , x2 ? (0,??) , x1 ? x 2 ,则由 0 ? ? x1 ? ? x2 由 y ? f (x) 在区间 (??,0) 上是单调递减函数,有 f (? x1 ) ? f (? x2 ) , 又由 y ? f (x) 是奇函数,有 ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以,函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上是单调递减函数. (2 分) (3 分) (3 分) (1 分)

?? x ? 2, x ? 0, ?1 ? ? , x ? 0, (2)如 f ( x) ? ?0,   x ? 0, 或 f ( x) ? ? x 等 ?? x ? 2, x ? 0. ?0, x ? 0. ? ?
17. (文)解: (1)由题意,可求得 F1 (?1,0) , F2 (1,0) . 设 P( x, y) ,则有 F1 P ? ( x ? 1, y) , F2 P ? ( x ? 1, y)

(6 分)

(1 分) (3 分) (2 分) (1 分)

PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ?
所以, PF ? PF2 ? 0,1 . 1

1 2 x , x ? ? 2, 2 2

?

?

? ?

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

(1 分)

代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , (*) 2

(2 分)

因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F1 ,所以方程*有两个不相等的实根. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , AB 中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则

x1 ? x 2 ? ?

k 4k 2 2k 2 , x0 ? ? , y0 ? . 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
1 ( x ? x0 ) . k

(2 分)

线段 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y 0 ? ?

(1 分)

2k 2 k2 k2 1 1 ? 2 ?? 2 ?? ? 2 令 y ? 0 ,则 xG ? x0 ? ky 0 ? ? 2 . 分) (2 2 4k ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
因为 k ? 0 ,所以 ?

1 ? 1 ? ? xG ? 0 .即点 G 横坐标的取值范围为 ? ? ,0 ? . (1 分) 2 ? 2 ?
(2 分)
-7-

18. (文)解: (1) c8 ? 41, c9 ? 35

T9 ?

(3 ? 35) ? 5 (17 ? 41) ? 4 ? ? 211 . 2 2
① ②

(4 分)

(2)? an ? an?1 ? 2n

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)
②-①得 an?2 ? an ? 2 .

所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列. 当 n 为奇数时, a n ? a ? ?

(2 分)

? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ? ?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?

(2 分)

当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?

(2 分)

( ?n ? a ? 1, n为奇数) ? an ? ? ?n ? a,  (n为偶数)
(3)解一:在 S 63 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a63 中,有 32 各奇数项,31 各偶数项, 所以, S 63 ? 32 a ?

32 ? 31 31 ? 30 ? 2 ? 31(2 ? a) ? ? 2 ? a ? 1984 . 2 2

(4 分) (2 分)

? S 63 ? 2012,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .

解二:当 n 为偶数时, a1 ? a2 ? 2 ? 1 , a3 ? a4 ? 2 ? 3,… … an?1 ? an ? 2 ? (n ? 1) 将上面各式相加,得 S n ?

1 2 n . 2
(4 分) (2 分)

1 ? S 63 ? S 62 ? a63 ? ? 62 2 ? 63 ? a ? 1 ? a ? 1984 2

? S 63 ? 2012,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .

-8-


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