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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 6.4 基本不等式限时集训 理


限时集训(三十五)

基本不等式

(限时:50 分钟 满分:106 分) 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( 1 2 A.lg(x + )>lg x(x>0) 4 B.sin x+
2

)

1 ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x

C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 1

x2+1

>1(x∈R)

2.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均 时速为 v,则( A.a<v< ab C. ab<v< ) B.v= ab D.v=

a+b
2

a+b
2 )

1 1 3.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是(

a b

A.

1 4

B.1 D.8 )

C.4

4.(2013·宁波模拟)已知 a,b∈R,且 ab=50,则|a+2b|的最小值是( A.20 C.75
2

B.150 D.15 10

5.(2013·淮北模拟)函数 y= A.2 3+2 C.2 3

x +2 (x>1)的最小值是( x-1
B.2 3-2 D.2

)

1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 C.-4 B.4 D.-2

)

7.已知 M 是△ABC 内的一点,且 AB · AC =2 3,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA 和 1 1 4 △MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( 2 x y A.20 B.18
1

??? ?

????

)

C.16 8.若 a>b>0,则代数式 a + A.2 C.4
2

D.19

b?

1 的最小值为( a-b? B.3 D.5

)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 9.设 x>0,则 y=3-2x- 的最大值为________.

x

1 1 x y 10. (2013·济南模拟)已知 x>0, >0, 2 +lg 8 =lg 2, + 的最小值为________. y lg 则 x 3y 11.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存 货物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站______公里处. 12. a>0, >0, +b=2, 若 b a 则下列不等式对一切满足条件的 a, 恒成立的是______(写 b 出所有正确命题的编号). ①ab≤1;② a+ b≤ 1 1 ⑤ + ≥2. 2;③a +b ≥2;④a +b ≥3;
2 2 3 3

a b

13.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 14. 对于使-x +2x≤M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做-x +2x 的“上 1 2 确界”.若 a,b∈(0,+∞),且 a+b=1,则- - 的“上确界”为________. 2a b 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知 a>0,b>0,c>0,d>0.求证:
2 2

ad+bc bc+ad + ≥4. bd ac

2

16.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值.

17.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

3





[限时集训(三十五)] 1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.C 1 9.解析:∵x>0,∴2x+ ≥2 2,

x

1? ? ∴-?2x+ ?≤-2 2,

?

x?

则 y≤3-2 2. 答案:3-2 2 1 1 ?1 1 ? x y 10. 解析: lg 2 +lg 8 =(x+3y)lg2=lg2, x+3y=1, + =(x+3y)? + ? 由 得 故 x 3y ?x 3y? 3y x =2+ + ≥4. x 3y 答案:4 20 11.解析:设 x 为仓库与车站距离,由已知 y1= ;y2=0.8x 费用之和 y=y1+y2=0.8x

x

20 + ≥

x

2

20 20 0.8x· =8,当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时“=”成立.

x

x

答案:5
4

? a+b? 12.解析:两个正数,和为定值,积有最大值,即 ab≤ 4
2

2

=1,当且仅当 a=b

时取等号,故①正确;( a+ b) =a+b+2 ab=2+2 ab≤4,当且仅当 a=b 时取等号, 得 a+ b≤2,故②错误;由于

a2+b2 ? a+b?
2 ≥ 4

2

=1,故 a +b ≥2 成立,故③正确;a +

2

2

3

b3=(a+b)(a2+b2-ab)=2(a2+b2-ab),∵ab≤1,
1 1 2 2 2 2 3 3 ∴- ab≥-1,又 a + b ≥2,∴ a + b - ab≥1,∴ a + b ≥2,故④错误; + =

a

b

?1+1?·a+b=1+ a + b ≥ ?a b? 2 2b 2a ? ?
1+1=2,当且仅当 a=b 时取等号,故⑤正确. 答案:①③⑤ 13.解析:依题意得(x+1)(2y+1)=9, (x+1)+(2y+1)≥2 ?

x+1? ? 2y+1? =6,x+2y≥4,当且仅当 x+1=2y+1,即

x=2,y=1 时取等号,故 x+2y 的最小值是 4.
答案:4 14.解析:由题意知,求- 1 2 1 2 - 的“上确界”相当于求- - 的最大值. 2a b 2a b

b 2a? 1 2 ? 1 2? ?1 ∵- - =-? + ?(a+b)=-? +2+ + ? 2a b? 2 2a b ? 2a b ? ?
5 ≤- -2 2

b 2a 5 · =- -2 2a b 2

9 1 2 1 2 9 =- (当且仅当 a= ,b= 时等号成立),∴- - 的“上确界”为- . 2 3 3 2a b 2 9 答案:- 2 15.证明:

ad+bc bc+ad a c + = + + bd ac b d

b d ?a b? ?c d? + =? + ?+? + ?≥2+2=4(当且仅当 a=b,c=d 时,取“=”), a c ?b a? ?d c?


ad+bc bc+ad + ≥4. bd ac

16.解:(1)∵x>0,y>0, ∴xy=2x+8y≥2 16xy, 即 xy≥8 xy,∴ xy≥8,即 xy≥64. 当且仅当 2x=8y, 即 x=16,y=4 时,“=”成立.
5

∴xy 的最小值为 64. (2)∵x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 2 8 ∴2x+8y=xy,即 + =1.

y x

2x 8y ?2 8? ∴x+y=(x+y)·? + ?=10+ + ≥10+2

?y x?

y

x

2x 8y · =18,

y

x

2x 8y 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时“=”成立.

y

x

∴x+y 的最小值为 18. 17.解:(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 则由已知得? ? ?20a+b=60,

?a=-1, ? 3 解得? 200 ? ?b= 3 .
故函数 v(x)的表达式为

v(x)=

?60,0≤x<20, ? ?1 ?3? 200-x? ,20≤x≤200. ?
(2)依题意并由(1)可得

f(x)=

?60x,0≤x<20, ? ?1 ?3x? 200-x? ,20≤x≤200. ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,f(x)取得最大值为 60×20=1 200; 当 20≤x≤200 时,

f(x)= x(200-x)≤
1?x+? ? 3? 200-x? ?2 10 000 ?= 3 , 2 ?

1 3

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时, 等号成立. 10 000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3
6

10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

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