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中考几何中的最值问题讲义及答案


几何中的最值问题
一、知识点睛
几何中最值问题包括: “面积最值”及“线段(和、差)最值”. 求面积的最值,需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解; 求线段及线段和、差的最值,需要借助“垂线段最短” 、 “两点之间线段最短”及“三角形三边 关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法: 线段和(周长)最小 平移 对称 旋转 使点在线异侧
(如下图)

线段差最大 平移 对称 旋转 使点在线同侧
(如下图)

线段最大(小)值 转化 构造三角形

使目标线段与定长 线段构成三角形

两点之间,线段最短 垂线段最短 常用定理:

三角形三边关系定理 三点共线时取得最值

两点之间,线段最短(已知两个定点时) 垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时) 三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)
A B'

B A P B'
PA+PB 最小, 需转化,使点在线异侧

l
B

P

l

|PA-PB|最大, 需转化, 使点在线同侧

1

二、精讲精练
1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂 蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为______cm.
A

蚂蚁 A C 蜂蜜
O

M

P

N

B

第 1 题图 2. 3. 则△PMN 周长的最小值为 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值为
A P Q D E

第 2 题图 . .
A K Q D

如图,点 P 是∠AOB 内一定点,点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动,若∠AOB=45°,OP=3 2 , 如图,正方形 ABCD 的边长是 4,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q 分别是 AD 和 AE

B

C

B

P

C

第 3 题图 4. 5. 则 PK+QK 的最小值为 .

第 4 题图

如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任意一点, 如图,当四边形 PABN 的周长最小时,a=
y
y P(a,0) N(a+2,0) O B(4,-1) x



B

C

D

A(1,-3)

O

E

F A

x

第 5 题图

第 6 题图

2

6.

在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点. 若 E、F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,则点 F 的坐标为 .

7.

如图,两点 A、B 在直线 MN 外的同侧,A 到 MN 的距离 AC=8,B 到 MN 的距离 BD=5,CD=4, P 在直线 MN 上运动,则 PA ? PB 的最大值等于
A B
y A



O
M D P C N

B

x

8.

第 7 题图 第 8 题图 点 A、 B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上, 建立平面直角坐标系如图所示. 若 P 是 x 轴上使得 PA ? PB 的值最大的点,Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点,则 OP ? OQ = .

9.

如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,M 为 EF 中点,则 AM 的最小值为_________.
A F E B M P C
A P B C D

第 9 题图 第 10 题图 10. 如图,已知 AB=10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边△APC 和等边△BPD,则 CD 长度的最小值为 . 11. 如图,点 P 在第一象限,△ABP 是边长为 2 的等边三角形,当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时, 点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动,运动过程中,点 P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边 PA 的长度改为 2 2 ,另两边长度不变,则点 P 到原点的最大距离变为_________.

3

y B P
B P A' C

O

A

x

A

Q

D

第 11 题图

第 12 题图

12. 动手操作:在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的 A′ 处,折痕为 PQ,当点 A′在 BC 边上移动时,折痕的端点 P、Q 也随之移动.若限定点 P、Q 分 别在 AB、AD 边上移动,则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为 沿 EF 翻折,点 A 的落点记为 P. (1)当 P 落在线段 CD 上时,PD 的取值范围为 (2)当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时,PD 的最小值等于 ; . . 13. 如图, 直角梯形纸片 ABCD, AD⊥AB, AB=8, AD=CD=4, 点 E、 F 分别在线段 AB、 AD 上, 将△AEF

D

C

D F

P

C

D F P E

C

A

B

A

E

B

A

B

14. 在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M、N 两点分别是边 AB、AC 上的动点,将△AMN 沿 MN 翻折,A 点的对应点为 A′,连接 BA′,则 BA′的最小值是_________.
A M A' B C N

4

【参考答案】 1. 15 9.
12 5

2.6 10.5

3. 2 2 11.

4. 3

5.

7 4

7 6. ( ,0) 7.5 3

8.3

3+1 ; 5+1

12.2

13.(1) 8 ? 4 3 ? PD ? 4 ;(2) 4 5 ? 8 14. 4 3 ? 4

5


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