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高中数学必修2(北师版)第一章1.5 平行关系 (与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.5 平行关系

一、知识清单
空间的平行关系

二、知识讲解
1.空间的平行关系 描述: 空间四边形 顺次连接不共面的四个点 A 、B 、C 、D 所构成的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点 叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻的顶点的 线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.例如,图中的四边形可 以表示为空间四边形 ABCD ,线段 AC ,BD 是它的对角线.

直线与平面平行的判定 定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 用符号表示: a ?? α,b ? α,且a||b ? a||α.

平面与平面平行的判定 定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.用符号表示:a ? β, b ? β,a ∩ b = P ,a||α,b||α ? β||α .

平面与平面平行的判定定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.

直线与平面平行的性质 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.用符

a||α

α ∩ β = b ? a||b

号表示:a||α,a ? β,α ∩ β = b ? a||b.

平面与平面平行的性质 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.用符号表示:α||β , α ∩ γ = a,β ∩ γ = b ? a||b .

例题: 下列命题(其中 a ,b 表示直线, α 表示平面)中,正确的个数是( ) ①若 a ∥ b,b ? α,则 a ∥ α; ②若 a ∥ α,b ∥ α,则 a ∥ b; ③若 a ∥ b,b ∥ α,则 a ∥ α; ④若 a ∥ α,b ? α,则 a ∥ b. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解:A ①中缺少 a ?? α 这一条件;②中 a ,b 还有可能相交或异面;③中还有可能 a ? α;④中 a 与 b 还有可能异面. 若平面 α ∥ β ,直线 a ? α,点 B ∈ β ,则在 β 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.有且只有一条与 a 平行的直线 解:D 直线 a 与点 B 确定平面 γ ,设 β ∩ γ = l,则 l 唯一. )

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E 是棱 P D 的中点.求证: P B ∥ 平面 EAC .

证明:

连接 BD ,与 AC 相交于点 O ,连接 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点 . 又因为 E 为棱 P D 中点,所以 P B ∥ EO. 又 P B ?? 平面 EAC ,EO ? 平面 EAC ,故 P B ∥ 平面 EAC . 如图所示,三棱锥 A ? BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EF GH .求证:CD ∥ EF .

证明: 因为四边形 EF GH 为平行四边形,所以 EF ∥ GH . 又 GH ? 平面BCD,EF ?? 平面BCD ,所以 EF ∥ 平面BCD. 而 EF ? 平面ACD ,平面ACD ∩ 平面BCD = CD,所以 EF ∥ CD. 如图所示,在三棱锥 S ? ABC 中,D ,E,F 分别是棱 AC ,BC ,SC 的中点,求证: 平面DEF ∥ 平面SAB.

证明: 因为 D ,E分别是棱 AC ,BC 的中点, 所以 DE 是 △ABC 的中位线,DE ∥ AB. 因为 DE ?? 平面SAB,AB ? 平面SAB,所以DE ∥ 平面SAB. 同理,DF ∥ 平面SAB. 又因为 DE ∩ DF = D,DE ? 平面DEF ,DF ? 平面DEF ,所以 平面DEF ∥ 平面SAB.
如图所示,已知在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1D 1 中,M ,N ,P 分别是 CC1 ,B 1 C1 ,C1D 1 的中点.求证: 平面 MN P ∥ 平面 A 1 BD .

证明:

连接 B 1 D 1 ,B 1 C,因为 N ,P 分别是 B 1 C1 ,C1D 1 的中点 同理可得,MN ∥ A 1 D .

,所以 PN ∥ B 1 D 1 .

又因为 ABCD ? A 1 B 1 C1D 1 是正方体,所以 B 1 D 1 ∥ BD ,所以 PN ∥ BD . 因为 PN , MN ? 平面MN P ,PN ∩ MN = N ,A D , BD ? 平面A 1 BD,A 1 D ∩ BD = D ,所以 平面 MN P ∥ 平面 A 1 BD .

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