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高中数学教案 线面平行的判定定理和性质定理


高中数学教案

第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

教学目的: 教学目的: 1.掌握空间直线和平面的位置关系; 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定 掌握理实现"线线" "线面 "平行的转化 教学重点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学重点: 教学难点: 教学难点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体,实物投影仪 内容分析: 内容分析: 本节有两个知识点,直线与平面和平面与平面平行,直线与平面,平面与平面 平行特征性质 这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广 直线与平面, 平面与平 面平行判定的依据是线,线平行 这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线,面和面,面平行的判定与性质 这两个平行关系是下 一大节学习共面向量的基础 前面 3 节主要讨论空间的平行关系,其中平行线的传递性和平行平面的性质是 这三小节的重点 教学过程: 教学过程 复习引入: 一,复习引入: 1 空间两直线的位置关系 (1)相交; (2)平行; (3)异面 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行
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推理模式: a // b, b // c a // c . 3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这 两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线 所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法
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a b

b a
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b
A1

D1 B1 D A B

C1 C

A B

a

α

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面 内不经过此点的直线是异面直线 推理模式: A α , B ∈ α , l α , B l AB 与 l 是异面直线
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第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a, b ,经过空间任一点 O 作直线 a′ // a, b′ // b , a′, b′ 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把

a b
π
2
O

b′

a′, b′ 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a, b 所成的角(或夹角) .为
了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围: (0,
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]

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8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两 条异面直线 a, b 垂直,记作 a ⊥ b . 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角 即为所求 10.两条异面直线的公垂线,距离 和两条异面直线都垂直相交的直线, 我们称之为异面直线 D1 .... C
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1

A1 B1 的公垂线 在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度, 叫做两条异面直线间的距离. D C 两条异面直线的公垂线有且只有一条 A B 讲解新课: 二,讲解新课: 1.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类. 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a α , a ∩ α = A , a // α .
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a
a

a
α

α

A
α

2. 线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 推理模式: l α , m α , l // m l // α . 证明:假设直线 l 不平行与平面 α , ∵ l α ,∴ l ∩ α = P , 若 P ∈ m ,则和 l // m 矛盾, 若 P m ,则 l 和 m 成异面直线,也和 l // m 矛盾,

β α m P

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第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

∴ l // α . 3. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行. 推理模式: l // α , l β , α ∩ β = m l // m . 证明:∵ l // α ,∴ l 和 α 没有公共点, 又∵ m α ,∴ l 和 m 没有公共点;
β
l m

l 和 m 都在 β 内,且没有公共点,∴ l // m .
三,讲解范例: 讲解范例: 空间四边形 ABCD 中,E , F 分别是 AB, AD 的 例 1 已知:
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α

A E B D F

中点,求证: EF // 平面BCD . 证明:连结 BD ,在 ABD 中, ∵ E , F 分别是 AB, AD 的中点, ∴ EF // BD , EF 平面BCD , BD 平面BCD , ∴ EF // 平面BCD .

C

例 2 求证:如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线,那么这条直 线在此平面内.
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已知: l // α , P ∈ α , P ∈ m, m // l ,求证: m α . 证明:设 l 与 P 确定平面为 β ,且 α ∩ β = m′ , ∵ l // α ,∴ l // m′ ; 又∵ l // m , m, m′ 都经过点 P , ∴ m, m′ 重合,∴ m α . 例 3 已知直线 a‖直线 b,直线 a‖平面α,b α, 求证:b‖平面α 证明:过 a 作平面β交平面α于直线 c ∵a‖α∴a‖c 又∵a‖b ∴b‖c,∴b‖c ∵ b α, c α,∴b‖α.
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β
m

m′

P
α

β
a

b

α

c

例 4.已知直线 a ‖平面 α ,直线 a ‖平面 β ,平面 α ∩ 平面 β = b ,求证 a // b . . 分析: 利用公理 4,寻求一条直线分别与 a,b 均平行,从而达到 a‖b 的目的.可 借用已知条件中的 a‖α及 a‖β来实现.

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第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

证明:经过 a 作两个平面 γ 和 δ ,与平面 α 和 β 分别相交于直线 c 和 d , ∵ a ‖平面 α , a ‖平面 β , ∴ a ‖ c , a ‖ d ,∴ c ‖ d , 又∵ d 平面 β , c 平面 β , ∴ c ‖平面 β , 又 c 平面 α ,平面 α ∩平面 β = b ,

b c a α γ d δ β

∴ c ‖ b ,又∵ a ‖ c , 所以, a ‖ b . 课堂练习: 四,课堂练习 1.选择题 (1)以下命题(其中 a,b 表示直线,α表示平面) ①若 a‖b,bα,则 a‖α ②若 a‖α,b‖α,则 a‖b ③若 a‖b,b‖α,则 a‖α ④若 a‖α,bα,则 a‖b 其中正确命题的个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 (2)已知 a‖α,b‖α,则直线 a,b 的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 ( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 (3)如果平面α外有两点 A,B,它们到平面α的距离都是 a,则直线 AB 和平面α 的位置关系一定是( ) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)ABα (4)已知 m,n 为异面直线,m‖平面α,n‖平面β,α∩β=l,则 l ( ) (A)与 m,n 都相交 (B)与 m,n 中至少一条相交 (C)与 m,n 都不相交 (D)与 m,n 中一条相交 答案:(1) A (2) D (3) C (4)C 2.判断下列命题的真假 (1)过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. ( ) (2)过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. ( ) (3)若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行. ( ) (4)若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行. ( ) 答案:(1) 真 (2) 假 (3) 假 (4)真 3.选择题 (1)直线与平面平行的充要条件是( )

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第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

(A)直线与平面内的一条直线平行 (B)直线与平面内的两条直线平行 (C)直线与平面内的任意一条直线平行 (D)直线与平面内的无数条直线平行 (2)直线 a‖平面α,点 A∈α,则过点 A 且平行于直线 a 的直线 ( ) (A)只有一条,但不一定在平面α内 (B)只有一条,且在平面α内 (C)有无数条,但都不在平面α内 (D)有无数条,且都在平面α内 (3)若 aα,bα,a‖α,条件甲是"a‖b" ,条件乙是"b‖α" ,则条件甲是条 件乙的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 (4)A,B 是直线 l 外的两点,过 A,B 且和 l 平行的平面的个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)无数个 (D)以上都有可能 答案: (1)D(2)B(3)A(4)D 4.平面α与⊿ABC 的两边 AB,AC 分别交于 D,E,且 AD:DB=AE:EC, 求证:BC‖平面α B 略证:AD:DB=AE:EC
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BC // DE BC α BC // α DE α

C

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α E

D A
A E D B F C

5.空间四边形 ABCD,E,F 分别是 AB,BC 的中点, 求证:EF‖平面 ACD. 略证:E,F 分别是 AB,BC 的中点

EF // AC EF ACD EF // α AC ABC

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6.经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E‖B1B
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略证: AA1 BEE1 B1 AA1 // BEE1 B1 BB1 BEE1 B1 AA1 // BB1

A1

D1 E1 B1 D E

C1

C B

A
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第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

AA1 ADD1 A1 AA1 // EE1 ADD1 A1 ∩ BEE1 B1 = EE1 AA1 // BEE1 B1

AA1 // BB1 BB1 // EE1 AA1 // EE1

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7.选择题 (1)直线 a,b 是异面直线,直线 a 和平面α平行,则直线 b 和平面α的位置关系 是( ) (A)bα (B)b‖α (C)b 与α相交 (D)以上都有可能 (2)如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面 (A)只有一个 (B)恰有两个 (C)或没有,或只有一个 (D)有无数个 答案: (1)D (2)A 8.判断下列命题的真假. (1)若直线 lα,则 l 不可能与平面α内无数条直线都相交. ( ) (2)若直线 l 与平面α不平行,则 l 与α内任何一条直线都不平行 ( ) 答案: (1)假 (2)假 9.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M , N 分别是 AB , PC 的中点 P (1)求证: MN // 平面 PAD ;
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(2)若 MN = BC = 4 , PA = 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小 略证(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,
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H

N

D A B

C

1 NH // DC , NH = DC 2
NH // AM , NH = AM AMNH 为平行四边形

M

MN // AH , MN PAD, AH PAD MN // PAD
解(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM,ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半, ON 平行且等于 PA 的一半,所以 ∠ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,由

MN = BC = 4 , PA = 4 3 得,OM=2,ON= 2 3
0 0

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所以 ∠ONM = 30 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30 的角

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10. 如图,正方形 ABCD 与 ABEF 不在同一平面内, M ,N 分别在 AC , 上, AM = FN 求证: BF 且 MN // 平面 CBE
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C
T
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M D B N A F
H

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E

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第九章直线平面简单几何体(B)(第 6 课时)

略证:作 MT // AB, NH // AB 分别交 BC,BE 于 T,H 点 从而有 MNHT 为平行四边形 MN // TH MN // CBE

AM = FN CMT ≌ BNH MT = NH

"线线"与"线面"平行关系:一条直线和已知平面平行,当且仅当这 五,小结 : 条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线. 后作业: 六,课后作业
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七,板书设计(略) 板书设计 八,课后记: 课后记:

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