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2019年版高中全程复习方略配套课件:213定积分与微积分基本定理(北师大版·数学理)语文_图文

第十三节 定积分与微积分基本定理

三年8考 高考指数:★★★ 1.了解定积分的实际背景,基本思想和概念; 2.了解微积分基本定理的含义.

1.定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点; 2.多以选择题、填空题的形式考查.

1.定积分的定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图 所示.
y y=f(x)

o

a xi-1 xi

bx

(1)将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0<x1<x2<…<xn-1 <xn=b, 第i个小区间为_[__x_i_-1_,_x_i_]___,设其长度为Δ xi. (2)在这个小区间上取一点ξ i,使f(ξ i)在区间[xi-1,xi] 上的值_最__大__,设S=_f_(_ξ__1_)_Δ__x_1+_f_(_ξ__2_)_Δ__x_2_+…__+_f_(_ξ__i_)_Δ__x_i_ _+_…__+_f_(_ξ__n_)_Δ__x_n _.

(3)在这个小区间上取一点ζ i,使f(ζ i)在区间 [xi-1,xi]上的值_最__小__,设 s=__f_(_ζ__1)_Δ__x_1_+_f_(_ζ__2_)_Δ__x_2+_…__+_f_(_ζ__i_)_Δ__x_i+_…__+_f_(_ζ__n_)_·__Δ__x_n__.

(4)如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于_0_,S与s的差 也趋于_0_,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,我们就
称A是函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作__?ab_f_?_x_?_d_x_, 即__?_ab_f_?_x_? d_x__=A.
其中_∫ _叫作积分号,_a_叫作积分的下限,_b_叫作积分的上限, _f_(_x_)叫作被积函数.

【即时应用】

(1)思考:积分

?

b a

f(x)dx与

?

b a

f(t)dt是否相等?

提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关,而与

积分变量无关.

(2)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上的平均值为

________.

【解析】由定积分的含义可知f(x)在[a,b]上的平均值为

b

1 ?

a

?

b a

f

?

x

?

dx.

答案:

b

1 ?

a

?

b a

f

?

x

?

dx

(3)设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分 ?ab f(x)dx的符号 为________(填“正”或“负”).
【解析】由定积分的几何意义可知 ?ab f(x)dx的符号为正. 答案:正

2.定积分的几何意义

f(x)

?ab f ?x?dx的几何意义

f(x)≥0 f(x)<0

表示由直线__x_=_a__,__x_=_b__,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积
表示由直线_x_=_a__,_x_=_b__,y=0及曲线y=f(x)所 围成的曲边梯形的面积的相反数

f(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 上有正有负 轴下方的曲边梯形的面积

【即时应用】

(1)设f(x)是连续函数,且为奇函数,在对称区间[-a,a]上

的定积分

?

a ?a

f(x)dx=________.

(2)若y=f(x)与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则

由这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为

_________.

【解析】(1)由定积分的几何意义和奇函数的性质知

?

a ?a

f(x)dx=0;

(2)利用定积分的几何意义可得,平面区域的面积应表示为

?

b a

|f(x)-g(x)|dx.

答案:(1)0 (2) ?ab |f(x)-g(x)|dx

3.定积分的性质

性质1 性质2 性质3 性质4

?

b a

1dx=_b_-_a__

?

b a

kf(x)dx=__k_?ab_f_?_x_?_d_x

?

b[f(x)±g(x)]dx=__?_ab _f _?x_?_d_x_?__?ab_g_?_x_?_d_x__
a

?

b a

f(x)dx=

?

c a

f(x)dx+

?cb f(x)dx

【即时应用】

(1)已知 ?10 f(x)dx=2,

?

2 0

f(x)dx=3,则

?12 f(x)dx=_______.

(2)

?

2 (sinx+2x)dx=________.
?2

【解析】(1)由定积分的性质得

?02 f ?x?dx ? ?10 f ?x?dx ? ?12 f ?x?dx,



?12

f

?

x

? dx

?

?

2 0

f

?

x

?dx

?

?10

f

?

x

?dx

?

3

?

2

?

1.

(2)由定积分的性质可得

? 2?2

?

sinx

?

2x

?

dx

?

?

2 ?2

sinxdx

?

?

2 ?2

2xdx,

又sinx与2x都是奇函数,所以所求定积分为0.

答案:(1)1 (2)0

4.微积分基本定理

如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F′(x),则



?

b a

f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个式子称为牛顿—莱布尼茨公式.

通常称F(x)是f(x)的一个原函数.

为了方便,常把F(b)-F(a)记成__F_?_x_?_|ab_,即

?

b a

f(x)dx=__F_?_x_? |_ab_

=F(b)-F(a).

【即时应用】

(1)

?

? 0

1? sin2?d? ? ______ .

(2)一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的

方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),所做的功为________.

【解析】(1)

?

? 0

?

1? sin2?d?

?

?

? 0

cos?

d?

?

?

2 0

cos?d? ?

?

? ?

(?cos?)d?

? 2.

2

(2)

所做的功为

?

4 0

?3x

?

4 ? dx

?

40.

答案:(1)2 (2)40 J

定积分的计算

【方法点睛】

定积分的计算方法

(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、

圆或其一部分等)的面积.

(2)应用微积分基本定理:

求定积分

?

b a

f(x)dx时,可按以下两步进行:

①求使F′(x)=f(x)成立的F(x).

②计算F(b)-F(a).

【例1】(1)(2011·福建高考) ? ? ?10 ex ? 2x dx 等于( )

(A)1

(B)e-1

(C)e

(D)e+1

(2)定积分

?

3 0

9 ? x2 dx 的值为(

)

(A)9π

(B)3π

(C) 9π
4

(D) 9 π
2

(3)(2011·陕西高考)设

f

?

x

?

?

??lgx(x

???x

?

?

a 0

? 0) 3t 2dt

?

x

?

,
0?

若f(f(1))=1,则a=_________.

【解题指南】(1)寻求使F′(x)=ex+2x的F(x),从而求得积分 值;(2)利用定积分的几何意义,化为求圆面积的一部分;(3) 分段函数问题通常需要分段进行计算或判断,从x=1算起是解 答本题的突破口.

【规范解答】(1)选C.∵(ex+x2)′=ex+2x,
? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ?10 ex ? 2x dx ? ex ? x2 |10 ? e1 ?12 ? e0 ? 0 ? e.
(2)选C.由定积分的几何意义知 ?30 9 ? x2 dx 是由曲线 y ? 9 ? x2 , 直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积,故 ?30 9 ? x2 dx ? ? 32 ? 9 ?, 故选C.
44
(3)因为x=1>0,所以f(1)=lg1=0,又因为 f ?x? ? x ? ?a0 3t2dt ? x ? a3,
所以f(0)=a3,所以a3=1,a=1.
答案:1

【反思·感悟】1.求定积分时,如果被积函数比较复杂,可把被 积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数 的积的和或差的形式,再求解. 2.求定积分值时,应首先选用微积分基本定理,当满足 F′(x)=f(x)的F(x)不易求时,可考虑应用定积分的几何意义求 解.

利用定积分求平面图形的面积 【方法点睛】
求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形; (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、 下限; (3)确定被积函数; (4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.

【提醒】利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、 下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.

【例2】(1)(2011·湖南高考)由直线x=- ? ,x= ? ,y=0与曲线
33
y=cosx所围成的封闭图形的面积为( )

(A) 1
2

(B)1

?x ? 2

(2)求函数

f ?x?

?

? ?

??2cosx

图形的面积.

(C) 3
2

(D) 3

(?2 ? x ? 0)
的图像与x轴所围成的封闭
(0 ? x ? ?) 2

【解题指南】(1)画出草图,分析如何用定积分表示该面积,再 求解.(2)画出草图,设法把所求图形的面积问题转化为求曲边 梯形的面积问题.

【规范解答】(1)选D.由定积分知识可得

?

?

S

?

?

3 ??

cosxdx

?

sinx

|3
?

?

?

3

3

3 ? (? 2

3) ? 2

3,

故选D.

(2)所求面积为图中阴影部分的面积,

由题意知A(-2,0),B(0,2),C( ? ,0),

2

∴所求图形的面积为

?

?

?

0 ?2

?

x

?

2?

dx

?

?02

?2cosx

?

dx

?

2

?

2sinx

|02

?

4.

【反思·感悟】1.在求平面图形的面积时,一般需画出草图, 观察图形的面积与定积分的关系; 2.在x轴上侧图形对应的定积分值是正的,下侧图形对应的定 积分值是负的.

定积分物理意义的应用 【方法点睛】
定积分的物理意义的应用 定积分在物理中可以用来求变速运动的速度、位移、变力做功 等.加速度关于时间的积分是速度,速度关于时间的积分是位 移,力关于力的方向上的位移的积分是所做的功.

【例】在某介质内作变速直线运动的物体,经过时间t(单位: s)所走过的路程 s=4t2(单位:m),若介质阻力F与物体的运 动速度v成正比,且当v=10 m/s时,F=5N,求物体在位移区 间[1,4]内克服介质阻力所做的功. 【解题指南】由题意可以先求出阻力F,再利用变力做功公式, 求物体克服阻力所做的功.

【规范解答】∵物体经过时间t所走过的路程 s=4t2,

∴速度v(t)=s′=8t.

设F=kv(t),由“当v=10 m/s时,F=5N”知k= 1 ,
2
∴F=4t,dW=Fds=4t·d(4t2)=32t2dt,

∵s∈[1,4],∴t∈[ 1 ,1],
2
∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功

W

?

?11
2

32t 2dt

?

32t3 3

|11
2

?

28 3

?J?.

【反思感悟】用定积分解决变速运动的位移与路程问题时,把 物理问题转化为数学问题是关键.另外注意变速直线运动的速 度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分 成几段积分,然后求出积分的和.

【易错误区】利用定积分求平面图形面积的易错点

【典例】(2011·新课标全国卷)由曲线y= x ,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( )

(A) 10

(B)4

(C) 16

(D)6

3

3

【解题指南】画出图形,确定积分区间,然后用积分求面积.

【规范解答】选C.y= x 与y=x-2以及y轴所围成的图形面积为 如图所示的阴影部分,

联立

?y ? ?

x

得交点坐标为(4,2),故所求面积为

?y ? x ? 2

S ? ?[04

x

??x

?

2?]dx

?[ 2 3

3
x2

? ( x2 2

?

2x)]|04 ?

16 . 3

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议:

误 在解答本题时有两点容易出错: 区 (1)写错图形面积与定积分间的关系致错; 警 (2)积分上、下限确定错误,实际是解析几何的相关知识 示 和运算能力不够致错.



解决利用定积分求平面图形的面积问题时,还有以下几 点容易出错,在备考时要高度关注:

考 建

(1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必 要时能正确分割图形;

议 (2)准确确定被积函数和积分变量.

1.(2012·西安模拟)已知 ?10(3ax+1)(x+b)dx=0,a,b∈R,则
a·b的取值范围为( )
(A)(-∞, 1 )
9
(B)(-∞, 1 )∪(1,+∞)
9
(C)(-∞, 1 ]∪[1,+∞)
9
(D)(1,+∞)

【解析】选C.∵(3ax+1)(x+b)=3ax2+(3ab+1)x+b,

[ax3+ 1 (3ab+1)x2+bx]′=3ax2+(3ab+1)x+b.

2

?

?10

?3ax

? 1?

?

x

?

b

?

dx

?[ax3

?

1 2

?3ab

?

1?

x

2

?

bx]|10

? a ? 1 ?3ab ?1? ? b ? a ? b ? 3 ab ? 1 ? 0.

2

22

∴ a(1? 3 b) ? ?b ? 1 ,

2

2

显然

b

?

?

2 ,?a

?

?b

?

1 2

?

?2b

?1,

3

1? 3 b 3b ? 2

2

?a b ? ?2b2 ? b ,令3b ? 2 ? t,则b ? 1 ?t ? 2?,

3b ? 2

3

? ? ? 2 t2 ? 4t ? 4 ? 1 t ? 2

∴ab= 9

33

t

?

? 2 t2 9

?

5t? 9

2 9

?

?2t?

2

?

5.

t

9 9t 9

当t<0时,ab≥
2

4 ? 5 ? 1,

81 9

当t>0时,ab≤ ?2 4 ? 5 ? 1 .
81 9 9
∴ab的取值范围是(-∞, 1 ]∪[1,+∞).
9

2.(2012·合肥模拟)曲线y= 2 与直线y=x-1及x=4所围成的封闭
x
图形的面积为( )

(A)2-ln2

(B)4-2ln2

(C)4-ln2

(D)2ln2

【解析】选B.y= 2 与直线y=x-1及x=4所围成的面积为如图所示
x
的阴影部分,

联立

??y ? ?

2 x

得在第一象限的交点为(2,1),

??y ? x ?1

故所求面积为

?

4 2

(x

?1?

2 x

)dx

=

(

1 2

x

2

?

x

?

2lnx)

|42

=4-2ln2.

3.(2012·广州模拟)若

?

a 0

x2dx

? 9,

则a=_________;

?

2 ?2

4 ? x2 dx ? _______ .

【解析】∵

?

a 0

x 2dx

?

1 3

x3

|a0

?

1 3

a3

?

9,?a

?

3,



?

2 ?2

4 ? x2 dx 表示圆x2+y2=4在x轴上方的面积,



?

2 ?2

4 ? x2 dx ? 2?.

答案:3 2π

4.(2012·衡水模拟)设函数f(x)=ax2+b(a≠0),

若 ?02 f(x)dx=2f(x0),x0>0,则x0=________.

? ? 【解析】

?

2 0

f

?

x

?

dx

?

?

2 0

ax2 ? b

dx

?

(1 3

ax3

?

bx)

|02

?

1 3

a

?

23

?

b

?

2

?

2f

?

x

0

?

?

2ax

2 0

?

2b,

?

x

2 0

?

4 3

,

又x

0

?

0,? x 0

?

2 3. 3

答案:2 3

3